3.1.1椭圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选择性必修第一册 情景探究 情景探究 平面内，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 追问：如何画圆？ 问题1：圆的定义是什么？ 问题2：在平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是什么？ 实验探究： [1]取一条定长的细绳 [2]把它的两端点（F1、F2）固定在纸上 [3]用笔尖（M）把细绳拉紧，在纸上慢慢移动观察画出的图形. 情景探究 1.观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？ 笔尖移动的过程中，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 3.改变两钉之间的距离，使之与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 如果绳长小于两钉之间的距离呢？ M F1 F2 思考 MF1，MF2的长度是变化的 F1F2不变 细绳的长度保持不变 2.在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 情景探究 椭圆的定义 F1 F2 M 文字表述： 符号表述： （ ） 我们把平面内与两个定点距离的和等于常数（大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 新知探究 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　　) (2)平面内到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为3的点M的轨迹是椭圆．(　　) (3)平面内到两定点F1(0，－1)和F2(0，1)的距离之和为3的点M的轨迹是椭圆．(　　) × × √ 概念辨析 (1)在椭圆定义中，2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件； (2)在椭圆定义中，设M为平面内任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则满足|MF1|＋|MF2|＝2a的动点M一定在椭圆上；反过来，椭圆上的任何点都满足|MF1|＋|MF2|＝2a.　 概念辨析 ①建系： x O y M F1 F2 y x o F 2 F 1 M 如何求椭圆的方程？ 思考 F1 F2 M 对称性，以两定点所在直线为x轴，线段F1F2中垂线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy 新知探究 ②设点：设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . ③动点的限制条件： ④代入点的坐标：由两点间的距离公式可得: x O y M F1 F2 (x,y) (-c,0) (c,0) 如何求椭圆的方程？ 思考 新知探究 因为，即，所以 将上式两边同时除以，得： ⑤化简： 则 则 整理得 两边平方得 整理得 x O y M F1 F2 (x,y) P (-c,0) (c,0) 新知探究 ①焦点在x轴上 新知探究 y x o F 2 F 1 M ②焦点在y轴上 新知探究 ①焦点在x轴上 y x o F 2 F 1 M ②焦点在y轴上 定义 图形 方程 焦点坐标 (c，0)、(c，0) (0，c)、(0，c) a、b、c之间的 关系 椭圆的标准方程 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M 知识总结 小试牛刀 练习1：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？并指明 . 总结：如何判断椭圆的焦点在哪个轴上？ 小试牛刀 练习2.已知椭圆的方程为：,则a=____，b=___, c=____，焦点坐标为： ，焦距等于_____; 2 1 (0,-1)、(0,1) 2 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程. 解1: (定义法) 是否还有其他方法 例题讲解 例1.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程. 解2: (待定系数法) 例题讲解 归纳总结 求椭圆标准方程的主要方法： 根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： 待定系数法更为常用，是解此类问题的通法. 课堂练习 (1) √ 课堂练习 标 准 方 程 相 同 点 不 同 点 图 形 焦 点 坐 标 a, b, c 的关系 y x M O F1 F2 O x F1 F2 M y 定 义 焦点位置判断 x2与y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上. 课堂小结 课后作业 教材P109练习第1、2、3、4题 例2.　已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围． $$