第一章至第三章综合测试-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章至第三章综合测试 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 36 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. -27 B. 27 C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（ ） A. ，， B. ，， C. D. ， 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若a､b､c为实数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 函数与为同一个函数 B. 若函数的图像与x轴有两个交点，一个大于2，另一个小于，则的取值范围是 C. 不等式的解集为 D. 若的定义域为，则的定义域为 11. 已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 关于对称 C. 的对称中心为 D. 的图象关于对称 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题的否定是____________． 13. 函数的单调递减区间为 ___________． 14. 我国后汉时期的数学家赵爽通过弦图利用出入相补法证明了勾股定理，在我国历史上还有多人通过出入相补法证明过勾股定理，如下图为我国清末数学家华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，在该图中是以为斜边的直角三角形，分别以为边作3个正方形，点在直线上，，记的周长与面积分别为，则的最大值为__________. 4． 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求关于的不等式的解集； （2）求最小值． 17. 已知函数，二次函数满足：且. （1）求的解析式； （2）若，解关于的不等式. 18. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）判断并证明的单调性; （2）解关于的不等式. 19. 对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点． （1）试判断点是否领先于点，并说明理由； （2）若点领先于点，试证明：点领先于点． （3）对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章至第三章综合测试 参考答案 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】B 解不等式可得，所以 ， 又，所以，所以中元素的个数为3个. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【解析】A由题意得，解得且 所以函数的定义域为. 3. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 36 【解析】 C 由于，所以，所以，当且仅当，即时取等号. 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. -27 B. 27 C. D. 【解析】D 设，由题意得， 所以. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由题意，，令，则， 所以函数解析式为， 所以，则． 6. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（ ） A. ，， B. ，， C. D. ， 【解析】A因为、，且， ， 当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9， 若有解，则，解得或， 即实数的取值范围为，，. 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的减函数， 所以有解得． 8. 设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【解析】C 为偶函数，, 为奇函数，,, , , . 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若a､b､c为实数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【解析】ACD A：若，则，故不成立； B：，在中两边同时乘以，得，若两边同时乘以b，得，故，成立； C：在两边同时除以，可得，不成立； D：令，，则有，，，不成立. 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 函数与为同一个函数 B. 若函数的图像与x轴有两个交点，一个大于2，另一个小于，则的取值范围是 C. 不等式的解集为 D. 若的定义域为，则的定义域为 【解析】ABD对于A，由题意可知，的定义域均为R， 且，所以，为同一函数，故正确； 对于B，由题意可得，解得，故正确； 对于C，由题意可知，所以，解得且， 所以不等式解集为，故错误； 对于D，因为的定义域为，由，解得， 所以的定义域为，故正确. 11. 已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 关于对称 C. 的对称中心为 D. 的图象关于对称 【解析】AB A选项，，设 ， 为奇函数， 所以的对称中心为，所以A选项正确. B选项，， 设 ， 为偶函数， 所以关于对称，所以B选项正确. C选项，，设， ，所以不是奇函数，所以C选项错误. D选项，，设， ，所以不是奇函数，所以D选项错误. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题的否定是____________． 【解析】由题，命题p的否定是：. 13. 函数的单调递减区间为 ___________． 【解析】由，得或， 令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数， ∴函数的单调递减区间为． 14. 我国后汉时期的数学家赵爽通过弦图利用出入相补法证明了勾股定理，在我国历史上还有多人通过出入相补法证明过勾股定理，如下图为我国清末数学家华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，在该图中是以为斜边的直角三角形，分别以为边作3个正方形，点在直线上，，记的周长与面积分别为，则的最大值为__________. 【解析】设，则， 由，可得， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 4． 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得到，所以， 又时，， 所以. （2）由（1）知，又，所以， ①当时，有，则，满足题意； ②当时，则，解得，即 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求关于的不等式的解集； （2）求最小值． 【解析】（1）由题意得是方程的两实数根，且， 则有，即，，即， 由，得，解得或， 则不等式解集为或. （2）因为，且由（1）得 ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为16. 17. 已知函数，二次函数满足：且. （1）求的解析式； （2）若，解关于的不等式. 【解析】（1）设二次函数 ， 所以， 即，故， 解得，所以， 所以，解得， 所以. （2）因为， 所以，即， 因为， ①当，即时，不等式解集为：； ②当，即（舍）或时，不等式的解集为：； ③当，即时，不等式为，解集为：. 综上所述，当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 18. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）判断并证明的单调性; （2）解关于的不等式. 【解析】（1）设，则 又当时， 在上为增函数. （2）在中，令，则. ，不等式，可转化为，即， 由函数在上为增函数，可得. ，原不等式解集为. 19. 对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点． （1）试判断点是否领先于点，并说明理由； （2）若点领先于点，试证明：点领先于点． （3）对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数． 【解析】（1）由条件，证否成立，即证， 即证，即证，即证，该式显然正确， 所以点领先于点． （2）要证点领先于点，即证， 即证， 即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证． （3）由条件知，有， 即，有， 先考虑变量，需要恒成立，所以，有， 再考虑变量，存在即可，所以，解得， 又因为，故，易知该集合中有1个元素． 学科网（北京）股份有限公司 $$