2024-2025学年人教版九年级数学上点拨训练第24章第14讲圆锥的侧面积和全面积

2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第24章 第14讲 圆锥的侧面积和全面积 学习目标： 1.体会圆锥侧面积的探索过程。 2.会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题。 老师告诉你 化曲为直法： “化曲为直”是把曲面（圆锥的侧面）展开成平面（扇形，即圆锥的侧面展开图），利用（两点之间线段最短）来解决路程最短问题。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 圆锥及有关概念 （1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． （2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2 【新知导学】 例1．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【对应导练】 1．如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ） A． B． C． D． 2．将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 知识点2 圆锥侧面积展开图 （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． （2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． 注意：在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 【新知导学】 例2．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【对应导练】 1．圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ． 2．如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 3．如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于 ．（结果保留）   4．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 知识点3 圆锥的侧面积和全面积的实际应用 求阴影部分面积的几种常见方法： （1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形构造方程法；（5）去重法。 说明：1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。 2.扇形面积公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。 【新知导学】 例3．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【对应导练】 1．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 2．在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是 ．（填写序号） 3．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 二、题型训练 1.圆锥的性质在圆中的应用 1．如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．    (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径． 2．如图，已知圆锥底面的直径，高求该圆锥侧面展开图的面积． 2.利用圆锥的性质计算圆锥侧面展开图的面积 3．小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径，高，求这个圆锥形漏斗的侧面积． 4．已知扇形的圆心角为，面积为. (1)求扇形的弧长； (2)若把此扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的全面积是多少？ 3.利用圆锥全面积计算设计方案 5．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积. 6．小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计） 你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？ 如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？    4.化曲为直解决实际问题 7．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 8．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 3、 课堂达标 一、单选题（每小题4分.共32分） 1．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 2．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 7．已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 8．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 二、填空题（每小题4分。共20分） 9．圆锥的底面圆的半径为2，母线长为7，则圆锥的侧面积 ． 10．在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 11．小宁要制作一个圆锥形冰激凌包装纸筒，其底面圆的半径是．他先在一张纸片上，以点为圆心，为半径画一个扇形，再将扇形剪下围成一个圆锥，则所画扇形的圆心角 ． 12．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为 ． 13．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为 ．    三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 15．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？ 16．（1）某商场今年2月份的营业额为万元，3月份的营业额比2月份多万元，5月份的营业额达到万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率． （2）如图，扇形的半径为，圆心角的度数为，将此扇形围成一个圆锥．求这个圆锥的底面圆的半径． 17．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 18．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 19．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第24章 第14讲 圆锥的侧面积和全面积（解析版） 学习目标： 1.体会圆锥侧面积的探索过程。 2.会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题。 老师告诉你 化曲为直法： “化曲为直”是把曲面（圆锥的侧面）展开成平面（扇形，即圆锥的侧面展开图），利用（两点之间线段最短）来解决路程最短问题。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1 圆锥及有关概念 （1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． （2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：r2+h2=l2 【新知导学】 例1．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的弧长以及勾股定理，先根据留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）得出圆锥的底面半径为，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：留下的扇形的弧长为， 则圆锥的底面半径为， 圆锥的高为． 故选：C 【对应导练】 1．如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，扇形的弧长计算，勾股定理等知识点，先根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，再求出圆锥的底面圆的半径，最后勾股定理求出圆锥形容器的高即可， 掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为， 故选：． 2．将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握公式是解题的关键．根据圆锥侧面积公式求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥的底面圆的半径，即直角三角形的一直角边为5，设直角三角形的另一条直角边的长为x，利用股沟定理求出，即这条边的长为圆锥的高． 【详解】解：扇形的面积，即， 解得，即圆锥的底面周长为， 由可得圆锥的半径，即直角三角形的一直角边为， 设直角三角形的另一条直角边的长为， 由勾股定理可知， 解得：， 直角三角形的另一直角边为，即圆锥的高为． 故选：B． 知识点2 圆锥侧面积展开图 （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． （2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）． 注意：在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 【新知导学】 例2．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 【对应导练】 1．圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为， 由题意，得：， ∴（负值舍去）， ∴母线长为． 故答案为：． 2．如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面周长，然后根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长”即可到关于母线长的方程，解方程求得母线长． 【详解】圆锥的底面周长是：， 设圆锥的母线长是，则， 解得：； 故答案为：12． 3．如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于 ．（结果保留）   【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，先计算母线长，再根据侧面积等于计算即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积等于， 故答案为：． 4．如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥． (1)若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积． (2)若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据扇形面积公式计算； （2）根据弧长公式计算． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）解：圆锥的母线长为， 扇形的半径为， 扇形面积为：， 圆锥的侧面积为； （2）解：设扇形的半径为， 圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长为， 扇形弧长为， 则， 解得：， ∴扇形的半径为． 知识点3 圆锥的侧面积和全面积的实际应用 求阴影部分面积的几种常见方法： （1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形构造方程法；（5）去重法。 说明：1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。 2.扇形面积公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。 【新知导学】 例3．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】 解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 【对应导练】 1．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 2．在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习： 如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，． 依据上述条件，小明得到如下结论： ①； ②； ③若，则． 正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ①错误，不符合题意； ， ②正确，符合题意； ， ， ， ， ③正确，符合题意； 综上所述， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图；解题的关键是熟练掌握圆锥和和展开图的关系． 3．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 二、题型训练 1.圆锥的性质在圆中的应用 1．如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．    (1)计算这个圆锥侧面展开图的面积； (2)求这个圆锥的底面半径． 【答案】(1) (2)这个圆锥的底面半径为． 【分析】（1）利用图形可以得到扇形的圆心角，和半径，利用扇形面积公式计算扇形的面积即可； （2）根据（1）的结果可求得圆锥底面半径． 【详解】（1）解：由图可知，； 则弧的长为， ∴面积为：； （2）解：设底面半径为r， 则， ． 这个圆锥的底面半径为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题需要准确掌握扇形的弧长公式，并且要善于读图． 2．如图，已知圆锥底面的直径，高求该圆锥侧面展开图的面积． 【答案】 【分析】圆锥的计算，由于圆锥的高、母线及底面圆的半径围成一个直角三角形，故根据勾股定理算出圆锥母线的长，进而根据圆锥的侧面展开扇形的面积=底面圆的周长与母线长乘积的一半即可算出答案． 【详解】解：∵的直径 ∴ 底面的周长为 在中，由勾股定理得 所以侧面展开图的面积为：． 答：圆锥的侧面展开图的面积为． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是扇形，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键． 2.利用圆锥的性质计算圆锥侧面展开图的面积 3．小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径，高，求这个圆锥形漏斗的侧面积． 【答案】 【分析】首先根据底面半径OB=3cm，高OC=4cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：根据题意，由勾股定理可知． , 圆锥形漏斗的侧面积． 【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键． 4．已知扇形的圆心角为，面积为. (1)求扇形的弧长； (2)若把此扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的全面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用扇形的面积公式求出R，再利用弧长公式计算即可． （2）求出圆锥底面圆的半径r，然后求出底面面积再加上侧面积即可． 【详解】(1)设扇形的半径为， 则，解得. ∴弧长． ∴扇形的弧长为 (2)设圆锥的底面半径为. ∵，∴， ∴圆锥的底面积是， ∴这个圆锥的全面积是． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握基本知识． 3.利用圆锥全面积计算设计方案 5．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积. 【答案】（1）圆锥的底面半径为；（2） 【分析】（1）扇形的弧长公式=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径； （2）S圆锥=，（r1=扇形半径即圆锥母线长，r2=底面圆半径）将已知条件代入即可. 【详解】解：（1）设圆锥的底面半径为， 扇形的弧长， ∴ 解得，，即圆锥的底面半径为； （2）圆锥的全面积 【点睛】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分. 6．小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计） 你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？ 如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？    【答案】（1）120°（2）方案二所用的矩形铁皮面积较少 【分析】（1）先根据勾股定理求出母线长为60，然后根据圆锥侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式计算锥形漏斗的侧面展开图的圆心角；（2）如图1，矩形的一边长等于母线长60，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OB，从而得到BC长，再计算矩形ABCD的面积；如图2，矩形的一边长等于母线长60，再利用含30°的直角三角形三边的关系计算出OF，从而得到CG长，再计算矩形EFGH的面积，然后比较两矩形的面积即可． 【详解】圆锥的母线长， 设这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为， 所以，解得，    即这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角为；如图，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴方案一所需的矩形铁皮的面积， 如图，，， 在中，∵， ∴，    ∴， ∴方案二所需的矩形铁皮的面积， ∴方案二所用的矩形铁皮面积较少． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形半径等于圆锥的母线长. 4.化曲为直解决实际问题 7．综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 8．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 3、 课堂达标 一、单选题（每小题4分.共32分） 1．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，根据圆锥的侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：C． 2．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：该圆锥的侧面积为； 故选B． 3．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故选：B． 4．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴这个圆锥形筒的高为． 故选：B． 5．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 6．如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：依题意，的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 7．已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵底面半径是，母线长为， ∴， ∴侧面扇形圆心角为：， ∴， ∵为母线中点， ∴， 由两点间线段距离最短得， ， 故选：B． 8．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 二、填空题（每小题4分。共20分） 9．圆锥的底面圆的半径为2，母线长为7，则圆锥的侧面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握：，其中是底面圆的半径，是母线长是解题的关键． 根据，其中是底面圆的半径，是母线长，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积， 故答案为：． 10．在数学实践活动中，某同学用一个扇形制作了一个圆锥形的纸帽，若扇形的圆心角为，半径为6，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，也考查了弧长公式和勾股定理． 先利用弧长公式得到圆心角为，半径为6的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：圆心角为，半径为的扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长为， 圆锥的底面圆的半径为2， 圆锥的高为． 故答案为：． 11．小宁要制作一个圆锥形冰激凌包装纸筒，其底面圆的半径是．他先在一张纸片上，以点为圆心，为半径画一个扇形，再将扇形剪下围成一个圆锥，则所画扇形的圆心角 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的相关计算，由底面圆的半径是可知底面圆的周长为，等于侧面展开后的扇形弧长，圆锥的母线为，等于侧面展开后的扇形的半径长度，设展开后的扇形圆心角为，则根据弧长公式得，即可求解． 【详解】解：∵依题意，由底面圆的半径是可知底面圆的周长为，圆锥的母线为， 设展开后的扇形圆心角为， ∴， 解得： 故答案为：． 12．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为 ． 【答案】cm. 【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设AB=xcm，则DE=（6-x）cm， 根据题意，得 解得x=4． 故选：4cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为 ．    【答案】 【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程． 【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程． 设∠BAB′＝n°． ∵＝4， ∴n＝120即∠BAB′＝120°． ∵E为弧BB′中点， ∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°， ∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝， ∴最短路线长为． 故答案为：．    【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维． 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？ 【答案】cm 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r cm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式得到2πr＝，解得r＝6，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r cm， 根据题意得2πr＝， 解得r＝6， 所以这个圆锥的高＝（cm）． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解题关键是掌握圆锥相关知识． 16．（1）某商场今年2月份的营业额为万元，3月份的营业额比2月份多万元，5月份的营业额达到万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率． （2）如图，扇形的半径为，圆心角的度数为，将此扇形围成一个圆锥．求这个圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1）3月份到5月份的营业额的平均月增长率是；（2）这个圆锥的底面圆的半径为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；求圆锥的底面半径； （1）设3月份到5月份的营业额的平均月增长率是x．根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设这个圆锥的底面圆的半径为．根据弧长公式可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：设3月份到5月份的营业额的平均月增长率是x．        ∴，（舍） 答：3月份到5月份的营业额的平均月增长率是 （2）解：设这个圆锥的底面圆的半径为． ∵   ∴   ∴ 答：这个圆锥的底面圆的半径为3cm 17．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 18．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 【答案】这个圆锥侧面展开图的圆心角为 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度，则， 解得：， 这个圆锥侧面展开图的圆心角为． 【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 19．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的半径为4m，高为3m． (1)求这个圆锥的母线长； (2)为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（π取3.14，结果精确到1m2） 【答案】(1)5m (2)63m2 【分析】（1）如图，构造Rt，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长，根据勾股定理进而得出结论； （2）先求出顶部圆锥的底面圆周长，再求出圆锥的侧面积即可求出所需油毡的面积． 【详解】（1）如图，圆锥的轴截面为， 为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，为圆锥的母线长， 由题意可知，m，m， ∴母线长m； （2）顶部圆锥的底面圆周长为m， ∴圆锥的侧面积为m2， ∴所需油毡的面积至少是m2． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和顶部圆锥的底面圆周长，正确掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$