2024—2025学年人教版数学八年级上册专题训练05 尺规作图

专题05 尺规作图 一、解答题 1．如图，已知在△ABC中，AB=AC． （1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD=BD（不写作法，但需保留作图痕迹）． （2）在（1）中，连接BD，若BD=BC，求∠A的度数．    2．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且C是线段AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)作BC的中点P； (2)过点C作AD的垂线． 3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AB为水平边，D为AB边上一点． （1）只用圆规在B的正上方作一点E，使BE=AD（说明作法，不需要证明）； （2）在（1）的条件下，连接DE，若AC=，AD=3，求DE的长度． 4．已知：如图，在中，，．        (1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的角度？ 5．如图，已知． (1)用直尺和圆规作出的外角的角平分线和边的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，交于点E，于点F，求证：． 6．如图，为的高，，，．    (1)尺规作图：画出边的垂直平分线，交于点E，垂足为点F； (2)在（1）的条件下，求的长． 7．如图，已知△ABC中，AB＝AC，在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连接AE． （1）作图：作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF． 8．作图题（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知点M、N和，求作一点P，使到点的距离相等，且到的两边的距离相等． 9．如图，在中，，．    (1)用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到的距离相等； (2)若，求点P到的距离． 10．如图，已知，．    (1)请用直尺和圆规作使所画三角形与全等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求作线段，使平分，交于点D； (3)若，，求的面积． 11．如图，在中，，点P在线段上，点Q在线段上，且．    (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接．若，，求四边形的周长． 12．（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______cm． 13．如图，在，． (1)作垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，的周长是17，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． (1) 作图见解析；（2）36°. 【详解】试题分析：（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案． 试题解析：（1）如图所示：    （2）设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠DBA=∠A=x， 在△ABD中 ∠BDC=∠A+∠DBA=2x， 又∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， 在△ABC中 ∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°． 【点睛】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 2．(1)画图见解析；(2)画图见解析. 【分析】（1）由题意可知AC=CE，∠ACB=∠BCE=60°，连接AE交BC于点P，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC⊥AE，在等边△ABC中，再根据三线合一的性质可得BP=CP，即点P为BC的中点；（2）连接AE、BD交于点Q，连接CQ，由（1）的方法可得∠CAQ=∠CDQ=30°，即可得AQ=DQ，再由AC=CD，根据三线合一的性质即可得CQ⊥AD. 【详解】. (1)如图①所示，点P即为所求． (2)如图②所示，CQ即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，熟练运用等腰三角形及等边三角形的性质是解决问题的关键. 3．（1）作图见解析；（2） 【分析】（1）以CB为边在CB右侧作，即可得到答案； （2）利用（1）的全等，证明，即可得解； 【详解】（1）以C为圆心，CD长为半径作圆，再以B为圆心，AD长为半径画弧，两弧的交点即为所求； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 结合（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了基本作图，已知三边作三角形，同时考查了三角形全等、勾股定理，准确计算是解题的关键． 4．(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出； （2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义进行计算得出答案． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点P，如图所示：即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】此题主要考查了基本作图—尺规作图作角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，正确掌握尺规作图作角平分线解题关键． 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线和垂直平分线的作图方法进行作图即可； （2）过点E作于点H，连接、，根据证明，得出，再根据证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求作的角平分线，即为所求作的垂直平分线，如图所示： （2）证明：过点E作于点H，连接、， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟记尺规作角平分线和垂直平分线的一般方法． 6．(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据要求，作垂直平分线即可解答； （2）连接，根据垂直平分线的性质，可得，则可得，再根据，可得，利用三线合一，证明，即可求得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求垂直平分线， （2）解：如图，连接， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．    【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确出辅助线，得到是解题的关键． 7．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的作法作出AF即可； （2）求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ACF． 【详解】解：（1）如图，AF即为所求； （2）∵AB=AC，AE=AB， ∴AE=AC， ∵AF是∠EAC的平分线， ∴∠EAF=∠CAF， 在△AEF和△ACF中， ， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴∠E=∠ACF， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠E， ∴∠ABE=∠ACF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键． 8．见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法进而求出其交点即可． 【详解】解：如图所示：P点即为所求 ． 9．(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）根据角平分线的性质只需要求出的长，先证明，再利用含度角的直角三角形的性质得到，据此可得答案．， 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求；    （2）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴点P到的距离为2．    10．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—三角形，作角平分线，角平分线的性质： （1）取，以点为圆心，取为半径画弧，以点为圆心，取的长为半径画弧，两弧相交于一点，即为，连接，即可； （2）以点A为圆心，画弧分别交，于一点M，N，再以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于一点，即为，连接，并延长交于于一点，即为点D； （3）过点D作，由（2）知平分，根据角平分线的性质即可作答；正确掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：线段如图所示：    （3）解：过点D作，    由（2）知平分 因为， 所以 则 11．(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）首先判定是等边三角形，得到，再根据垂直平分线的性质得到，继而将的周长转化为求解． 【详解】（1）解：如图所示：      （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形的周长为． 12．（1）作图见解析；（2）8． 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求； （2）由作图可知， 的周长， 故答案为：8． 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．(1)见解析； (2)的周长为． 【分析】此题考查了垂直平分线的作法和垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键； （）分别以点，点为圆心，以大于长度为半径画弧交的两侧于两个交点，，连接，交于点，交于点，连接即可； （）先根据垂直平分线性质将的周长转化为的长，再将三边相加即得． 【详解】（1）如图所示，分别以点，点为圆心，以大于长度为半径画弧交的两侧于两个交点，，连接，交于点，交于点，连接； ∴为所求； （2）∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$