专题训练04 垂直平分线+角平分线 2024—2025学年人教版数学八年级上册

专题04 垂直平分线+角平分线 一、解答题 1．如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的周长． 2．如图，在中，平分交BC于点D，，，垂足为E、F．    (1)若，，求的长度； (2)连接，求证：． 3．如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 4．在中，，，平分，交于点，点与点关于直线对称，连接，，延长交于点，过点作于． (1)补全图形； (2)直接写出、、之间的相等关系：________________； (3)求证： 5．如图，中，，的垂直平分线交于D，交于点E，，求的长． 6．已知如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F．求证：    (1)； (2)垂直平分． 7．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）说明：BE=CF； （2）若AF=6，△ABC的周长为20，求BC的长． 8．如图，中，，，平分，，垂足为 ． (1)求的度数； (2)若，求的长． 9．如图，已知，中，平分，于，于，，求证：．    10．如图，AD、BE分别是的高和角平分线，，求的度数． 11．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 12．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． (1)求证：△BCD为等腰三角形； (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； (3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 13．如图，E是的外角平分线上一点，且．    (1)求证：； (2)试判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)若点P，Q分别在线段上运动（不含端点），的周长是否有最小值？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 14．如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 15．已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：． 16．如图，已知E是的平分线上一点，，，C，D是垂足，连接，交于点F． (1)请回答：是的垂直平分线吗？说明理由； (2)若，猜想之间有什么数量关系？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)的周长为 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据已知能推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：由（1）知：， ∵， ∴， ∴的周长为． 答：的周长为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 2．(1)4 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，等边对等角性质，三角形面积公式等知识， （1）首先根据三角形面积公式求出，然后利用角平分线的性质定理求解即可； （2）连接，根据等边对等角得到，然后结合得到，即可证明． 解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上． 【详解】（1）∵，， ∴，即 解得 ∵平分交BC于点D，，， ∴， （2）如图所示，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 3．(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质； （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； （2）解：∵，的周长是， ∴， ∵， ∴． 4．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线等知识； （1）按照要求补全图形即可； （2）过作于，证明，则，，证明是等腰直角三角形，则，则，则，由即可得到结论． （3）延长交于点，先证明，得到，再证明，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：补全图形如下． （2）； 过作于，如图：    平分， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）证明：延长交于点， 于， ，， ， 在和中， ∴， ， 在和中， ， ， ． 5．8 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的运用，连接，求出的度数，根据是的垂直平分线，求出，根据含角的直角三角形求出的长即可, 能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】连接, ∵ ∴ ∵是的垂直平分线 ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 6．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定； （1）根据平分，，，得出，根据证明即可； （2）根据，得出，，根据垂直平分线的判定得出A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）证明：∵， ∴，， ∴A、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 7．（1）见解析；（2）BC=8． 【分析】（1）连结BD，CD，由GD为BC的中垂线可得BD=CD，由角平分线定理可得DE=DF，易证Rt△BDE≌Rt△CDF﹙HL），可得BE=CF； （2）易证Rt△ADE≌Rt△ADF，可得AE=AF=6，由△ABC的周长为20，列出关系式进行等线段代换，进而可得BC长度． 【详解】（1）连结BD，CD， ∵D在BC的中垂线上， ∴BD=CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE=DF， ∵∠BED=∠DCF=90°， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF﹙HL﹚， ∴BE=CF； （2）∵AD=AD，DE=DF，∠AED=∠AFD=90°， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF﹙HL﹚， ∴AE=AF=6， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+AC+BC=20， 即AE+BE+BC+AC=20， ∴AE+CF+BC+AC=20， ∴AE+AF+BC=20， ∴BC=20-AE-AF=8． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等的判定定理是解题的关键． 8．(1) (2)4 【分析】（1）根据题意可得，从而可得Rt中 根据等腰Rt可得，从而可得的度数． （2）延长与的延长线交于，根据角边角可得，可得，，根据题意， ，由（1）可得，可得RtRt，从而可得． 【详解】（1）解： ， 平分 ， （2）解：延长与交于点，如图： ，，为 和 公共边 RtRt（ASA） ， ，， 又， RtRt（ASA） 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时利用角平分线的性质和三角形内角和等于求三角形内角的度数，利用数形结合的思想是解题的关键． 9．见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．首先根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得出，然后由证得，即可得出． 【详解】证明：∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 10．62° 【分析】根据AD、BE分别是的高和角平分线，可得∠ADB=∠ADC=90°，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵AD、BE分别是的高和角平分线， ∴∠ADB=∠ADC=90°，， 又∵， ∴∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=64°，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=60°， ∴， ∴， ∴的度数为62°． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，AD=CD，根据的周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， ∴的周长． 12．(1)见解析 (2)见解析 (3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由见解析 【分析】（1）如图所示，先根据三角形内角和的得∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得，∠DBC=∠ACB=35°，可得结论； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC=AD+CD=BD+AD 证法二：如图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C=35°，得BF=BE，可得结论 （3）正确画图，做辅助线，构造等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，则线段的和与差可得结论 【详解】（1）如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝35°， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴△BCD为等腰三角形； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH， 由（1）得：△BCD为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠EAH， ∴△ABE≌△AHE（SAS）， ∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°， ∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°， ∴EH＝HC， ∴AB+BE＝AH+HC＝AC， ∴BD+AD＝AB+BE； 证法二：如下图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF， 由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠EAC， ∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴∠F＝∠C， ∵∠C＝35° ∴∠F＝∠C＝35° 由（1）知∠ABC＝70° ∴∠BEF=35°                             ∴∠F=∠BEF ∴BF＝BE， ∴AB+BE＝AB+BF＝AF， ∴BD+AD＝AB+BE； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由是： 如上如图所示，在BE上截取BF＝AB，连接AF， ∴∠AFB＝∠BAF ∵∠ABC＝70°， ∴∠AFB＝∠BAF＝35°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠HAB＝105°， ∵∠BAC＝75° ∴∠BAH＝105° ∵AE平分∠HAB， ∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°， ∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°， ∴AF＝EF， ∵∠AFC＝∠C＝35°， ∴AF＝AC＝EF， ∴BE-AB＝BE-BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和和外角的性质，正确作出辅助线是解题关键 13．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的周长有最小值，此时的度数为 【分析】（1）由角平分线求得，如图1，在上截取使，则是等边三角形，证明，则； （2）由（1）知，，根据，作答即可； （3）证明是等边三角形，则，如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接交、分别于、，由轴对称的性质可求，的周长为，当四点共线时，的周长最小，然后根据三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形两锐角互余角等，计算求解角度即可． 【详解】（1）证明：∵E是的外角平分线上一点，且， ∴， 如图1，在上截取使，则是等边三角形，        ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接交、分别于、，      ∴，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴当四点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∴的周长有最小值，此时的度数为． 【点睛】本题考查了角平分线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，等边对等角．有时构造等边三角形，根据轴对称的性质求解两动点一定点的三角形的周长问题是解题的关键． 14．见解析 【分析】先证明，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可． 【详解】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键． 15．见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及角平分线的性质定理．先证明，得到，再由角平分线性质证明． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 16．(1)是的垂直平分线，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）角平分线的性质，得到，证明，得到，进而得到是等腰三角形，根据三线合一即可得证； （2）利用含30度角的直角三角形的性质，进行证明即可． 【详解】（1）是的垂直平分线．理由如下： ∵是的平分线上一点，，， ∴， 又∵，， ∴． ∴． ∴是等腰三角形， ∵是的平分线， ∴是的垂直平分线（等腰三角形三线合一）； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$