专题03 多边形的边数+角度+长度2024-2025学年人教版数学八年级上册

专题03 多边形的变数+求角度+求长度 一、解答题 1．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 2．一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数． 3．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． 5．已知一个多边形的内角和与外角和相加等于，求这个多边形的边数及对角线的条数． 6．一个多边形的内角和与外角和的差为1260度，求它的边数． 7．在中，，比大，求、的度数． 8．如图所示，已知，为的中线，，的周长为24，求的周长． 9．如图，在中，是的平分线，且，，求的度数． 10．如图，从的纸片中剪去，得到四边形．若，求与的和．    11．如图，在中，，点分别在边上，且．求的度数． 12．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．    13．已知△ABC≌△DFE，∠A=100°，∠B=50°，DF=12cm，求∠E的度数及AB的长． 14．如图，在中，，D为的中点，，，求的度数． 15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数．    16．如图，在中，，点D在上，且，求的度数．    17．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 18．在中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求三角形各边的长． 19．已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E是CD的中点. （1）求证：AB=AD＋BC （2）求证：AE⊥BE                                     20．如图，已知，，，求的度数． 21．已知：如图，比长，的垂直平分线交于点，交于点，的周长是，求和的长．    22．如图，中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．这个多边形的边数为8 【分析】运用方程的思想，设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和与边数的关系和任意多边形的外角和等于，得，求得，进而解决此题． 【详解】解：设这个多边形的边数为n． 由题意得，． ∴． ∴这个多边形的边数为8． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与边数的关系、任意多边形的外角和为是解决本题的关键． 2．这个多边形的边数为9；内角和度数为1260°． 【分析】设多边形边数有n条，由题意可得方程180（n-2）=3×360+180，解出n的值，再根据内角和公式计算出内角和即可． 【详解】解：设多边形边数有n条，由题意得： 180（n-2）=3×360+180， 解得：n=9， 内角和度数：180°×（9-2）=1260°． 答：这个多边形的边数为9；内角和度数为1260°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的外角和等于360度；多边形内角和180°（n-2）． 3．10 【分析】根据多边形的外角和为360°，内角和公式为：（n−2）180°，由题意可得到方程（n−2）×180°＝360°×4，解方程即可得解． 【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得： （n−2）×180°＝360°×4， 解得：n＝10． 答：这个多边形的边数是10． 【点睛】此题主要考查了多边形的外角和与内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n−2）180°，外角和为360°． 4．7 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得, ， ． ∴这个多边形的边数是7． 5．这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54． 【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是360度，因而内角和是1800度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． 【详解】解：设这是边形，则 ， ， ． 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54． 【点睛】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决． 6．11 【详解】分析：设多边形的边数是n，则内角和为(n－2)·180，外角和为360°，然后根据内角和与外角和的差为1260度列方程求解即可. 详解：设多边形的边数是n，则 (n－2)·180－360＝1 260.解得n＝11. 答：它的边数为11. 点睛：本题考查了多边形的内外角和的应用，熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解答本题的关键. 7．， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意可知，，再根据三角形内角和定理列式求解即可． 【详解】解：∵比大， ∴， 根据三角形内角和定理得：， ∴， 解得：， ∴． 8．40 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，根据等腰三角形三线合一的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：∵，为的中线， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴的周长． 9．，详见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，依据三角形内角和定理可得，再根据是的平分线，可得，依据三角形内角和定理，即可得到答案，熟练掌握并灵活运用三角形内角和是其性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴， 10． 【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角，利用四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． 11．的度数为，的度数为 【分析】设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，进而求出，最后可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为，的度数为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．131° 【分析】先根据∠A=65°，∠ACB=72°得出∠ABC的度数，再由∠ABD=30°得出∠CBD的度数，根据CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，根据∠BEC=180°-∠BCE-∠CBD即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中， ∵∠A=65°，∠ACB=72° ∴∠ABC=43° ∵∠ABD=30° ∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=13° ∵CE平分∠ACB ∴∠BCE=∠ACB=36° ∴在△BCE中，∠BEC=180°﹣13°﹣36°=131°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，在两个三角形中，三个角之间的关系是解决此题的关键． 13．∠E=30°，AB=12cm． 【分析】根据全等三角形性质得出∠D=∠A=100°，∠F=∠B=50°，利用三角形内角和定理即可求出∠E的度数，再根据DF=AB，即可求出AB的长． 【详解】∵△ABC≌△DFE， ∴∠D=∠A=100°，∠F=∠B=50°，DF=AB ∴∠E=180°-100°-50°=30°， ∵DF=12cm， ∴AB=12cm． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键． 14． 【分析】利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 15．∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 【分析】设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数． 【详解】解：设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x， ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∴在△ABC中，x+2x+2x=180°， ∴x=36°，2x=72°， 即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键． 16． 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理．明确角度之间的熟练关系是解题的关键． 由等边对等角可得，，由三角形外角的性质可得，即，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴的度数为． 17．∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 18．三角形的各边长为或 【分析】由在中，，边上的中线把三角形的周长分成和两部分，可得，，然后分别从与去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图，    ∵是边上的中线， 即， ∴， 若，则， 又∵， 联立方程组:, 解得：， 三边能够组成三角形； 若，则， 又∵， 联立方程组, 解得：， 三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的定义．注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 19．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】(1) 延长AE交BC的延长线于点F，根据角平分线和平行线的性质得到 ，然后等角对等边AB=BF ，再证明△FCE≌△ADE，进而等量代换求解；(2)由全等得出AE=EF，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可得结论； 【详解】解：如图：延长AE交BC的延长线于点F， ∵AE平分∠BAD ∴ ∵E是DC中点 ∴DE=CE ∵AD∥BC ∴ ∴ ∴AB=BF 又∵在△FCE和△ADE中， ∴△FCE≌△ADE， ∴AD=CF ∴AB=BF=BC+CF=BC+AD 即AB=AD＋BC （2）由（1）可知△FCE≌△ADE ∴AE=FE 又∵BA=BF ∴根据等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥BE. 【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，根据题意适当作出辅助线是解题关键. 20． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据两直线平行内错角相等求出，问题随之得解． 【详解】，， ， 在中，，， ． 21．AB=8cm ，AC=6cm 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB-2cm，即可求出答案． 【详解】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， ∴BD=DC， ∵△ACD的周长是14cm， ∴AD+DC+AC=14cm， ∴AD+BD+AC=AB+AC=14cm， ∵AB比AC长2cm， ∴AC=AB-2cm， ∴AC=6cm，AB=8cm． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于AB、AC的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 22．． 【分析】利用角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，熟练利用直角三角形的两个锐角互余解答是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$