2024--2025学年北师大版八年级数学上册期中复习讲义4-一次函数

2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义4-一次函数 一、一次函数图像与性质 1．（八年级下·河南南阳·阶段练习）下列曲线中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数的概念 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此逐项判断即可． 【详解】A．当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示是的函数，不符合题意； B．当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示是的函数，不符合题意； C．当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，故该选项能表示是的函数，不符合题意； D．在图象中，在x轴正半轴上取一点，即确定一个x的值，这个x对应图象上两个点，即一个x的值有两个y值与之对应，故此图象不是y与x的函数图象，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了函数的概念．对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． 2．（八年级下·广东肇庆·期末）下列四个图象中，y不是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图象识别 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， A、y是x的函数，故此选项不符合题意； B、y是x的函数，故此选项不符合题意； C、y是x的函数，故此选项不符合题意； D、y不是x的函数，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 3．（16-17八年级·甘肃张掖·期末）下列函数中不经过第四象限的是（　　） A．y=﹣x B．y=2x﹣1 C．y=﹣x﹣1 D．y=x+1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【详解】试题解析：A.，图象经过第二、四象限. B.，图象经过第一、三、四象限. C., 图象经过第二、三、四象限. D., 图象经过第一、二、三象限. 故选D. 4．（八年级·全国·课后作业）下列各点在正比例函数图像上的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象 【分析】分别代入坐标计算分析即可. 【详解】A、当x=2时，y=（-2）×2=-4≠4，故本选项错误； B、当x=6时，y=（-2）×6=-12≠-，故本选项错误； C、当x=-1时，y=（-2）×（-1）=2，故本选项正确； D、当x=时，y=（-2）×=-1≠1，故本选项错误． 故选C． 【点睛】考核知识点：正比例函数图象上点的坐标特征.理解意义便可. 5．（八年级下·甘肃定西·阶段练习）将一次函数与的图像画在同一坐标系中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数的图像与系数的关系依次分析各项即可． 【详解】解：一次函数的与一次函数的矛盾，错误； 从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误； 一次函数的与一次函数的一致，正确； 从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误． 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像，掌握一次函数的图像是解决问题的关键． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，那么一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象、点的坐标特征，根据点在第二象限得出，，从而得出，由此即可得出一次函数的图象经过二、三、四象限，即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， 一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：C． 7．（八年级期末数学模拟试卷02（测试范围：第十六章---第二十章）【好题汇编】-备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（天津专用））若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴ ∴ ∴一次函数图象第一、二、三象限， 故选：B． 8．（17-18八年级上·安徽亳州·期末）若实数、满足，，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】当a＞0，b＜0，图象经过一、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 9．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，则一次函数的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴该一次函数的图像经过第一、二、四象限； 故选D． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 10．（11-12八年级上·江苏无锡·期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 11．（八年级下·山西吕梁·阶段练习）已知直线经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据一次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵直线经过点和点，且， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）若点，都在一次函数的图象上，则 ．（用“”或“”填空） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 根据一次函数的增减性先看一次函数的值，然后根据已知两点的横坐标的大小关系，确定两个值的大小关系． 【详解】解：由题意，， 随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 13．（八年级下·吉林长春·期中）若点和都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：由可得：， ∴一次函数的图象y随的增大而减小，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 14．（2022九年级下·浙江·专题练习）关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象与x轴的交点坐标为（，0） C．y随x的增大而增大 D．图象不经过第三象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、把x＝0代入y＝﹣2x+1＝1，所以它的图象与y轴的交点坐标是（0，1），故本选项说法正确，不符合题意； B、把x＝代入y＝﹣2x+1＝0，所以它的图象与x轴的交点坐标是（，0），故本选项说法正确，不符合题意； C、k＝﹣2＜0，所以y随自变量x的增大而减小，故本选项说法错误，符合题意； D、k＝﹣2＜0，b＝1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，解题的关键是逐一分析四个选项的正误． 15．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象过点 B．y随x的增大而减小 C．它的图象经过第二象限 D．与y轴交于点 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，，故选项A错误； ，y随x的增大而增大，故选项B错误， ，，该函数的图象过第一、三、四象限，故选项C错误， 当时，，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 二、一次函数其他问题 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的识别，一次函数是函数中的一种，一般形如（k，b是常数，），其中x是自变量，y是因变量；特别地，当时，（k为常数，），y叫做x的正比例函数．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不符合一次函数的定义，故错误； B．不符合一次函数的定义，故错误； C．不符合一次函数的定义，故错误； D．符合一次函数的定义，故正确； 故选：D． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列函数中，不是一次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：A、函数是一次函数，不符合题意； B、函数是一次函数，不符合题意； C、函数不是一次函数，符合题意； D、函数是一次函数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如（、是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列函数①；②；③；④中，是y关于x的一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①中，是一次函数，正确，故符合要求； ②中，不是整式，不是一次函数，错误，故不符合要求； ③中，是一次函数，正确，故符合要求； ④中，不是一次函数，错误，故不符合要求； 故选：B． 19．（八年级上·四川成都·期末）若函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，则k＝ ． 【答案】-2 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】由一次函数定义得到，即可求出答案． 【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数， ∴， ∴k=-2， 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了一次函数的定义：形如：y=kx+b（）的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线经过点，，点在坐标轴上，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理以及解无理方程，分点在轴上及点在轴上两种情况，找出关于长的方程是解答本题的关键． 利用一次函数图像上点的坐标特征，可求出点，点的坐标，进而求出，，当点在轴上时，，，由，得到的长，结合的位置，得到点的坐标；当点在轴上时，，，由，得到的长，结合的位置，得到点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得， 点的坐标为， ， 如图，当点在轴上时， ， ， ，即， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 点的坐标为； 当点在轴上时， ， ， ，即， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 21．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，直线与线段没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，分别求出当点在直线上时对应的b值，再根据直线与线段没有公共点求解即可，能够确定出直线的两个特殊位置时b的值是解题的关键． 【详解】当在直线上时，， ∴， 当在直线上时，， ∴， ∵线与线段没有公共点， ∴的取值范围为或， 故答案为：或． 22．（八年级下·湖南长沙·期中）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数图象识别、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，依据题意， 求出与的函数关系式，再根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， 解得， 即与的关系式为，是一次函数图象的一部分，且随的增大而减小，观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：． 23．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线分别与x，y轴交于点A，B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、翻折变换（折叠问题）、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法，求出的长是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，利用勾股定理可求出的长，由折叠的性质，可知，再利用面积法，可求出的长，结合点C所在的位置，即可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ． 由折叠的性质，可知：． ， ， ， ∴点C的坐标为． 故选：A． 三、一次函数与方程之间的关系 24．（八年级下·西藏那曲·期末）如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】由函数的图象过点可知时，，即可得到关于x的方程的解是． 【详解】解：由图象可得：关于x的方程的解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 25．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知一次函数的图象为直线l，直线l过和，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，关于x的方程的解就是函数的图象与x轴交点的横坐标．根据函数与x轴的交点坐标找出方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象为直线l，直线l过， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 26．（八年级上·山东济南·期中）如图，的图像经过（3，0），则关于的方程的解为 ． 【答案】x=3． 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】所求方程的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可． 【详解】方程kx+b=0的解，即为函数y=kx+b图象与x轴交点的横坐标， ∵直线y=kx+b过B（3，0）， ∴方程kx+b=0的解是x=3， 故答案为x=3． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程，解题关键在于掌握任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 27．（八年级下·河南安阳·期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．    【答案】x＝﹣2 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2， 故答案为：x＝﹣2． 【点睛】本题题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答． 28．（2022九年级下·浙江·专题练习）如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】将（m，4）代入y=x+2求解． 【详解】解：将（m，4）代入y＝x+2得4＝m+2， 解得m＝2， ∴点P坐标为（2，4）， ∴方程组的解为：． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系． 四、一次函数下的新定义 29．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点P关于直线m的对称点在图形Q的内部（不包含边界），则称点P是图形Q关于直线m的“伴随点”．如图，已知，，，直线l：，若原点O是关于直线l的“伴随点”，则b的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】代入消元法、求一次函数解析式、画轴对称图形 【分析】本题主要考查轴对称变换后点的轨迹问题，如果满足必须在的内部，那么这个对称点一定在线段的下方，线段上方， 线段下方，可以发现点O关于直线对称后的轨迹是直线，并且点是在直线上的， 只需求直线与直线的交点即可，利用中点坐标公式，继续求此时b的值，就可以求出b的取值范围了． 【详解】解：如下图所示，点O关于直线的对称点，并且轨迹为直线； 直线与直线交点为点，与直线交点为点接下来只要求两个点的交点坐标即可，B点通过观察，直角在直线上，直接求G点即可； ∵，； 设直线解析式为； 把两个点带入解析式中的得； ； 解得：，； ∴； 在联立两条直线求交点G坐标； ； 解得：，； ∴； 在计算线段中点坐标，线段中点坐标，分别带入中； 其中线段中点为，线段中点为 可以求出两个b的值，，； ∴； 故答案为：．    30．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，直线交轴，轴于点，，点的坐标是，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，点是线段的动点，以为对称轴，作与成对称的，当点由到的运动过程中，直线经过点时，线段扫过的图形与重叠部分的周长是 ．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出直线的解析式，再得出当点D与点O重合时，点与A重合，且线段扫过的图形与重叠部分是弓形，继而求解即可；能够得出点由到的运动过程中，线段扫过的图形是扇形是解题的关键． 【详解】∵点的坐标是， ∴点A的坐标是，即， 代入直线，得， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点由到的运动过程中，线段扫过的图形是扇形，如图， ∴当点D与点O重合时，点与A重合，且线段扫过的图形与重叠部分是弓形， 当点在图象上时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴重叠部分的周长为：， 故答案为：． 五、一次函数下的规律问题 31．（九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】如图所示，设直线与轴交于点，可求出，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数图形与几何的变换规律的综合，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，点的变换规律是解题的关键． 32．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ，解得， ，即点的横坐标为， 同理，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在直线上， 点的横坐标为． 故答案为：． 六、A卷解答题--基础 33．（八年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． （1）求m和b的值； （2）求的面积； （3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）m=2，b=4；（2）4；（3）<t<8 【难度】0.65 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）先把代入，求出m的值，再把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）先求出点A和点B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）设出平移后的解析式，然后分别把点D和点A的坐标代入即可解答． 【详解】解：（1）把代入，得 ， 把代入，得 ， ∴b=4； （2）当时， 解得x=2， ∴A(2，0)； 当时， 解得x=-2， ∴B(-2，0)； ∴AB=4， ∴的面积=； （3）设平移后的解析式为， 当x=0时，， ∴D(0，)， 把D(0，)代入，得 ， ∴t=； 把A(2，0)代入，得 ， ∴t=8； ∴t的取值范围<t<8． 【点睛】本题考查了一次函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，利用函数图象解不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 34．（八年级上·四川成都·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线交于点A，． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上找一点P，使，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先证明，则点Ｃ的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为，则，求出点A的坐标，根据，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴点Ｃ的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设点P的坐标为， ∴， 联立， 解得， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出直线的解析式是解题的关键． 35．（17-18八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求点C和点D的坐标； （3）求△AOB的面积．    【答案】（1）y=x+；（2）C点坐标为（，0），D点坐标为（0，），（3）． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【详解】分析：（1）先把A点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）令x=0，y=0，代入y=x+即可确定C、D点坐标； （3）根据三角形面积公式和△AOB的面积=S△AOD+S△BOD进行计算即可． 详解：（1）把A（-2，-1），B（1，3）代入y=kx+b得 ， 解得，． 所以一次函数解析式为y=x+； （2）令y=0，则0=x+，解得x=-， 所以C点的坐标为（-，0）， 把x=0代入y=x+得y=， 所以D点坐标为（0，）， （3）△AOB的面积=S△AOD+S△BOD =××2+××1 =． 点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 36．（八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，一次函数y=﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式是 ． 【答案】y=x+3　． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式． 【详解】∵一次函数y=-x+3中， 令x=0得：y=3；令y=0，解得x=4， ∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）， 如图，作CD⊥x轴于点D， ∵∠BAC=90°， ∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∵∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠BAO． 在△ABO与△CAD中， ， ∴△ABO≌△CAD（AAS）， ∴OB=AD=3，OA=CD=4，OD=OA+AD=7， 则C的坐标是（7，4）， 设直线BC的解析式是y=kx+b（k≠0）， 根据题意得：， 解得， ∴直线BC的解析式是y=x+3． 故答案是：y=x+3． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：与坐标轴交于，两点，点的坐标是，． (1)求直线的函数表达式和点的坐标． (2)如图，点在第一象限，若是等腰直角三角形且，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为， 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了待定系数法、一次函数的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质； （1）将点的坐标代入直线解析式中可求出值，从而得出结论； （2）过点作轴于，由是等腰直角三角形且，可得，由等角的余角相等，可得，根据全等三角形的性质即可得出，，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：点的坐标是，． 代入直线：得， 直线：， 令， 即，； （2）如图：过点作轴于， ， ， 是等腰直角三角形且， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为，． 七、一次函数最值问题 38．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ，k的最大值为 ． 【答案】 2 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 利用直线的表达式求得A、B的坐标，进一步求得点C的坐标，求得直线分别过B、C时k的值，即可得到结论． 【详解】解：直线函数表达式为，其中点，点， ， ， ，， ∵点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点， ， ∵一次函数的图象过点， ， ， ∴一次函数为， 当经过点B时，则，解得， 当经过点C时，则，解得， 故k的最小值为，k的最大值为2， 故答案为：，2． 39．（八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】垂线段最短、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查最短距离，全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，得，可证，将转化到上，轴时为最小值，即可求得答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接， ∵点A的坐标为， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 八、一次函数A卷解答题 40．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 【答案】(1)； (2)存在，或或； (3)，证明见解析． 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1） 解：如图：过点作轴于． ， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2）存在，求解如下： 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； （3），证明如下： 过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 41．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与直线l2交于点，直线与y轴交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)点M在直线上，当的面积为面积的时，求点M坐标； (3)如图2，已知点，点P在直线上，点Q在直线上，若且，求点P坐标． 【答案】(1) (2)M坐标为或 (3)点P坐标为 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）由直线：与直线l2交于点，得，利用待定系数法即可解决问题； （2）求出，设，分两种情况：①点M在上方，②点M在下方，根据的面积为面积的，即可求解； （3）过点P作y轴的平行线，交x轴于E，过Q作，垂足为F，证明，可得，，设，可得，由点Q在直线上，可得，解得，即可得点P坐标． 【详解】（1）解：（1）∵直线：与直线交于点， ， ， 设直线的函数表达式为， ∵直线与y轴交于点，与直线交于点， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）（2）∵直线的解析式为， 令，则，解得， ， ， ， ， 设， ①点M在上方时，如图， ， ， ∴点M坐标为； ②点M在下方，如图， ， ， ∴点M坐标为； 综上，点M坐标为或； （3）（3）如图，过点P作y轴的平行线，交x轴于E，过Q作，垂足为F， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设， ∵点， ，， ， ∴Q ， ∵点Q在直线上，直线的解析式为， ，解得， ∴点P坐标为． 42．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于点，，取轴上一点，作直线．     (1)求直线的函数表达式； (2)为直线上一动点，连接． ①当时，求点P的坐标； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①或； ②或 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先求出点坐标，设直线的函数表达式为，已知点和点坐标，利用待定系数法求解即可； （2）①先分别求出的值，设，由题意得点的横坐标为底边上的高，再分两种情况讨论点的位置，然后利用三角形面积相等列方程，即当点在线段上时，，当点在的延长线上时，列方程求解即可； ②分情况讨论点的位置，当点在线段上时，令与轴相交于点，先证明和全等，求出点的坐标，再根据点和点，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与直线的交点坐标，再根据点到点的距离公式求解即可，当点在线段延长线上时，令与轴相交于点，同理求出点的坐标，再利用点到点的距离公式求解． 【详解】（1）解：直线分别交，轴于点，， ，， 设直线的函数表达式为， 由题意得，解得， 直线的函数表达式为． （2）解：① 点，点，点， ，， ， 设点， 当点在线段的上时， ， ， ，， ， 当点在的延长线上时， ， ， ，， ， 综上所述得点的坐标为或； ②如图，当点在线段上时，令与轴交于点， 在和中， ， ， ， ， 设直线函数表达式为， 点和点在直线上， ，解得， 直线函数表达式为， 点为直线与的交点，设， 得 ，解得， ， ， 当点在延长线上时，令与轴相交于点， 在和中， ， ， ， ， 设直线函数表达式为， 点和点在直线上， ，解得， 直线函数表达式为， 点为直线与的交点，设， 得 ，解得， ， ， 即当点在延长线上时，的长为， 综上所述得的长为或． 【点睛】本题考查了一次函数，方程组的应用，全等三角形判定与性质，点到点的距离，熟练掌握待定系数法求解析式，利用分类讨论思想解题是解本题关键． 43．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点．    (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是等腰直角三角形 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数的性质，勾股定理与逆定理，等腰直角三角形的判定等知识．解题的关键是： （1）先求点A的坐标，然后求点B的坐标，最后把B、D的坐标代入函数解析式求解即可； （2）把、函数解析式联立方程组，求出点C的坐标，然后国库三角形面积公式求解即可； （3）设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，可证，求出点F的坐标，然后利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或； （3）解：是等腰直角三角形 理由：设设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，    ∵ ∴， 对于，当，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 44．（八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，的度数为 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得； （2）设，，由，，知，又，故，可解得； （3）延长到G，使，连接，，设，，根据，有，，从而，，再证，可得，，故，即得． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解， ∴直线BC的函数表达式为； （2）解：设，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，       ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； （3）是定值，的度数为，理由如下： 延长到G，使，连接，，如图：    设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，        ∵，， ∴， ∵， ∴，      ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上． (1)求直线表达式； (2)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)如图2，若点，过点作轴平行线，点为直线上一动点，直线与交与点，当平分时，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是明确题意，合理分类讨论求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a，b，然后根据待定系数法求直线表达式即可； （2）分，两种情况讨论即可； （3）分点Q在点D的右上方；点Q和D重合；点Q在点D的左下方讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， 设直线表达式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， 设， 当时，轴， ∴C的坐标为， 当时， 则， 解， 解， ∴C的坐标为， 综上，当C的坐标为或时，是直角三角形； （3）解： 如图，当点Q在点D的右上方时， 此时， 故不符合题意，舍去； 当Q和D重合时，N也与D重合，故不符合题意，舍去； 如图，当点Q在点D的左上方时，过点M作于E，于F，    ∵平分， ∴， 又， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， 当时， 设表达式为， 则， 解得， ∴表达式为， 联立方程组， 解得， ∴的坐标为 同理：当时，Q的坐标为 综上，当的坐标为或时，平分． 46．（八年级上·浙江湖州·期末）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C． ①求证：； ②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②存在，的值为或或 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①连接，根据等腰直角三角形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等腰直角三角形的性质和等量代换，得出，进而得出，再根据勾股定理和等量代换，即可得出结论；②根据点的坐标，得出，再根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出是等腰直角三角形，然后分三种情况进行分类讨论：当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合；当时；当时，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴直线的函数表达式是； （2）解：①如图，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②存在，理由如下： ∵、， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图，当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合， ∴， ∴为等腰三角形， ∴此时； 如图，当时， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和分类讨论思想． 47．（八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、正比例函数的定义 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 48．（八年级上·广东深圳·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点P为直线上一个动点． (1)A点坐标为______，B点坐标为______； (2)求直线的解析式； (3)当时，求点P坐标． 【答案】(1)A点的坐标为，B点的坐标为； (2)直线的解析式为； (3)点P坐标为或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、其他问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题 【分析】（1）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握x轴和y轴上点的特征； （2）本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，一次函数解析式的求法，解题的关键是求出C点的坐标； （3）本题考查了三角形的面积，一次函数的性质，解题的关键是求出，再分类讨论． 【详解】（1）解：当时，，解得：， A点的坐标为； 当时，， B点的坐标为； （2）如下图，过点C作轴于点E， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为， 设直线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为； （3），即， ， ， 当时，，解得：， 点P坐标为； 当时，，解得， 点P坐标为， 综上所述：点P坐标为或． 49．（八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面有角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1．若a、b满足，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ； (2)如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，设的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值，过点作轴于点，然后证明，进而得出结论； （2）过点E作轴于点M，根据题意证明，在和中，根据三角形内角和定理可得结论； （3）作轴于H，轴于H，交的延长线于K，先证明可得 ，然后证明 可得，进一步可得结果． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， 故答案为：； （2）证明：过点E作轴于点M， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，即， ∴，， ∴， ∴， 又∵，设与相交于点N， ∴在和中，，， ∴； （3）解：，理由如下： 作轴于H，轴于H，交的延长线于K，则 ， ∵平分轴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算术平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键． 50．（八年级下·福建福州·期末）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点横坐标为．    (1)求直线的函数解析式； (2)连接，，若面积等于面积的，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)10或 (3) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可； （2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或； （3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入，解得， 将代入，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为． 将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图：    ∵设点横坐标为，， ∴， ∵点在直线：上， 将代入解得， ∴， ∵面积等于面积的， ∴， ∴ 解得：或． （3）如图，过点作点，      在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得，， ∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中， ∵， ∴， ∵， 根据勾股定理，得 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键． 九、一次函数B卷解答题 51．（八年级上·四川成都·期中）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，k的值是2 (2)所在直线解析式为或 (3)存在，P的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为； （3）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 把代入得： ， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：    由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图：     ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或； （3）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：   ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：    同理可得， 由，可得解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 52．（八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形．    (1)求点A，B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1)， (2)①是，定直线为；②点坐标为或． 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）分别将，代入求解，再根据，即可求解； （2）①过点作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点重合，作点关于直线的对称点，可得，求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：分别将，代入可得 ，，即， ∴， 由可得， 即， （2）解：①过点作轴，如下图：    由题意可得： ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， 由题意可得：，即， 所以点E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∵四边形为正方形， ∴ ∴，此时点与点重合 由①可得，， 设直线为，将、代入可得 ，解得 当时，， 即点 作点关于直线的对称点，可得 此时，所以点为直线与的交点， 可得直线为： 联立，解得 此时    综上，点坐标为或 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 53．（八年级下·新疆喀什·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点C的坐标； (2)求一次函数的表达式； (3)若点P是y轴上一点，且的面积为3，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点C坐标为 (2) (3)点P的坐标为或 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）根据的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （3）点P是y轴上一点，且的面积为3，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴把代入得，， ∴点C坐标为． （2）解：∵一次函数过点、点， ∴ 解得： ∴一次函数的表达式为：． （3）解：由，令，得， 则， 点P是y轴上一点，且的面积为3， 设，则， 解得或， 点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 54．（23-24八年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，、满足．    图1                         图2 (1)求、两点的坐标； (2)如图1，为上一点，连接，过点作交于，若，求点的坐标； (3)如图2，点、关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点，使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质、非负数的性质：算术平方根． （1）首先根据已知条件和非负数的性质得到a的值，进而得到b的值，也就能写出A，B的坐标； （2）作出的平分线，通过证得到其对应角相等，再证明解决问题； （3）过N作轴，垂足为P，连接．先证明，得到，由得到，证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）如图，作的角平分线，交于G，    ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∴ （3）过N作轴，垂足为P，连接．    ∵，， ∴， 由对称性可得， ∴， ∴， 当， 则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 55．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型. 【模型应用】 （2）①如图2，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．    【答案】（1），；（2）①见解析；②或 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、求一个角的余角、全等三角形综合问题、三线合一 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①如图2，作于，于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点是的中点； ②分两种情况讨论，如图3，过作轴于，过作轴于，与相交于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，则，于是得到结论，如图4，同理可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，； 故答案为：，； （2）①如图2，作于，于，    ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； ②如图3，过作轴于，过作轴于，与相交于，    ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图4，过作轴于，过作轴于，与相交于，    ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 56．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，且，，过作交轴和轴于点和点，过点作轴的垂线，交于点． (1)求直线的解析式． (2)在第一象限内，是否存在P，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，线段上有一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒．连接，求的面积与运动时间的函数关系式． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 (3) 【难度】0.15 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据已知条件和含30度角的直角三角形的性质求出点E和点F的坐标，利用待定系数法可求直线的解析式； （2）分四种情况：当，时；当，时；当，，且点P在左侧时；当，，且点P在右侧时，通过作辅助线构造全等三角形，利用垂直平分线的性质等，分别求解即可； （3）先证，分两种情况，当点N在线段上时，当点N在线段上时，用含t的代数式表示出和点P到的距离，然后代入三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形，， ， ， 在中，， ， 解得， ， ，， ， ， ， 设直线的解析式为，将，，代入： 得， 解得， 设直线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点B， 是等边三角形，，， ， ． 当，时，作轴于点，如图： ，， ，， ， 又，， ， ，， ， ； 当，时，作交的延长线于点，如图： 同可证， ，， ，， ； 当，，且点P在左侧时，作轴于点，连接交延长交于点K，如图： ，， 垂直平分， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ； 当，，且点P在右侧时，作轴于点，如图： 同理可得， 则，， ； 综上可知，存在，点P的坐标为或或或； （3）解：由（1）知，，， 轴，， 垂直平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由题意得：， 当点N在线段上时，，过点N作于点P，如图： 则，， ， ，， ； 当点N在线段上时，，过点N作于点T，如图： 则，， ， ，， ； 综上，． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，二次函数的应用，勾股定理，三角形面积公式等，综合性强，难度大，适当添加辅助线，会运用分类讨论思想是解题的关键． 57．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．                                                     (1)求直线的表达式； (2)点是直线上的一个动点，若，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，求点的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一元函数的应用，掌握待定系数法、两点间的距离公式是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入直线的表达式得： ，解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：对于，当，则，∴点， 对于，当，则，∴点， ∴， 设点的坐标为：， 由题意得：， 即， 解得：或， 即点的坐标为：或； （3）解：对于，当，则，解得， ∴点， 设， 当时， 则， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， 则， 解得， ∴M的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴M的坐标为； 综上，当M的坐标为或或或时，是等腰三角形． 58．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点，直线l1与l2分别与x轴交于A、B两点． (1)请直接写出b的值和A、B两点的坐标； (2)点P是直线l1上一动点，过点P作x轴的垂线交l2于点Q，设点P的横坐标为n． ①若，求的长； ②当时，能否构成以为腰的等腰三角形？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，点点 (2)①2或6；②能，或2或或1 【难度】0.15 【知识点】求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将点 C 坐标代入解析式可求解； （2）①由面积关系，列出方程，即可求解； ②分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：直线l2：过点， ， ， 当 时，，则， 故点， 当时，，则， 故点； （2）①如图， 点P的横坐标为n， 点，点， 当点P在点C右侧时，， ， ， ， ， 当点P在点C左侧时，， ， ， ， ， 的长为2或6； ②点，点，点， ， ， 当时，， ，（舍去）， 当时，， ， 当时，， （舍去）， ∴n的值为或2或或1． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，，在的图象上，且在第二象限，在第四象限，是轴负半轴上一点，，，．    (1)求证：； (2)求直线的函数表达式； (3)在第二象限是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在第二象限存在点，使得是等腰直角三角形，点坐标为，， 【难度】0.65 【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、求一次函数解析式 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的的性质，两点的距离公式，掌握以上性质，运用数形结合的思想，分情况讨论是解答本题的关键． （1）由题意，得，由此可以证明． （2）根据题意，在中，利用勾股定理求出，进而得到点的坐标为，从而求出直线的函数表达式． （3）根据题意分三种情况，当点为直角顶点时，，由，，根据两点距离公式，得到点坐标；当点为直角顶点时，同样的方法得到点坐标；当点为直角顶点时，点刚好为线段的中点，直接求出此时的坐标，得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ， 在和中， ， ． （2）由题意得： ，， ， ， 在中， ， 即， ， 解得：， 即点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 直线的函数表达式为． （3）由题意， ，，，直线的函数表达式为， 是等腰直角三角形， 如图，当点为直角顶点时，， 设， ， ， 联立两式，得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 又， 解得：或（舍去）， ； 如图，当点为直角顶点时， ，，， 设 ， ， 联立两式，得， ， 直线的解析式为, 设点的坐标为， 解得：或， （舍去）或； 如图，当点为直角顶点时， 点为线段的中点， ， 满足条件的点坐标为，，． 60．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，连接并延长交直线l于点F．若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接，，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点Q的坐标为或或或 【难度】0.15 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证明，利用勾股定理列方程可求得的值，再利用待定系数法求解直线的解析式，再求出的中点T的坐标，过点T作于点S，得，进一步计算得的值，从而求得A点坐标； （2）在y轴上取一点，使得，可求得满足条件的两个点，的坐标，然后求出的解析式，作交l于P，可求得直线，的解析式，从而可求得答案； （3）分三种情况讨论：，，，画出对应的图形，逐步计算即可得到答案． 【详解】（1），， ，， ， 解得， ， 设直线为， 把M、N的坐标代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 垂直平分， 的中点T的坐标为，， 过点T作于点S，如图1， 则， ， ， ； （2）在y轴上取一点，使得， ， ， 解得，， ，， ，， 可求出的解析式为 ， 作交l于P，如图2， ∴直线的解析式为， ，即， 同理，直线的解析式为， ， 综上所述，点P的坐标为或； （3）①如图，当时， 由轴对称的性质可得， ， ， 由垂直平分线的判定定理可得，互相垂直平分， 点在y轴上，且， 设， ， 解得， ， ； ②当时，如图， 由， 得为等边三角形， 此时Q，N重合， ； ③当时，在直线上，如图， ， ，，， 作，R在y轴上， ，， ，， ； 同理：如图，当Q在K的位置，M1在H的位置， 此时． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线的判定与性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 61．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且．    (1)________，________． (2)点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，求点N的坐标； (3)若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，2 (2)； (3)直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先求出，由全等三角形的性质可得； （2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，2； （2）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵， ∴， 把代入得， 解得， ∴直线对应的函数表达式为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； （3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点， ∴， ∴， ①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，    ∵， ∴轴，，点M的纵坐标为2，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴Q点的纵坐标为3， 把代入中得：， ∴点； ②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．      则， ∴N点的横坐标为1， 则， ∵是以E为直角顶点的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M点的纵坐标为1， ∴Q点的纵坐标为1， 把代入中得：， ∴； 综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 62．（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0． (1)求直线AP的解析式； (2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP的面积等于6，请求出点M的坐标； (3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=3x-3； (2)（-2，3）； (3)Q的坐标为（-，0）或（0，）或（0，） 【难度】0.4 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到a+3=0，p-1=0，求出a，p，得到点P，A的坐标，设直线AP的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出函数解析式； （2）过M作MD交x轴于D，连接AD，由MD，△MAP的面积等于6，顶点△DAP的面积等于6，求出DP，得到点D坐标，求出直线DM的解析式，即可求出M的坐标； （3）设B（t，3t-3），分三种情况，①当点Q在轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，证明△BEQ≌△QNC（AAS），得到OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，求出t值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，证明△CQF≌△QBG（AAS），得到OQ=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），得到OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，求出t值即可． 【详解】（1）解：∵+（p﹣1）2＝0． ∴a+3=0，p-1=0， 解得a=-3，p=1， ∴P(1,0)，A(0,-3)， 设直线AP的解析式为y=kx+b， ∴，解得， ∴直线AP的解析式为y=3x-3； （2）解：过M作MD交x轴于D，连接AD， ∵MD，△MAP的面积等于6， ∴△DAP的面积等于6， ∴，即， ∴DP=4， ∴D（-3，0） 设直线DM的解析式为y=3x+c，则， ∴c=9， ∴直线DM的解析式为y=3x+9， 令x=-2，得y=3， ∴M（-2，3）； （3）解：存在 设B（t，3t-3）， ①当点Q在x轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，如图， ∴OE=t，BE=3-3t， ∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形， ∴BQ=CQ，∠BQC=90°， ∴∠BQE=90°-∠NQC=∠QCN， 又∵∠BEQ=∠QNC， ∴△BEQ≌△QNC（AAS）， ∴QN=BE=3-3t，QE=CN=4， ∴OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t， ∴t=， ∴OQ=， ∴Q（-，0）； ②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，如图， ∴BG=t，OG=3t-3， ∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形， ∴BQ=CQ，∠BCQ=90°， ∴∠CQF=90°-∠BQG=∠GBQ， 又∵∠CFQ=∠BGQ=90°， ∴△CQF≌△QBG（AAS）， ∴CF=QG=2，QF=BG=t， ∴OQ=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t， ∴t=， ∴OQ=4-t=， ∴Q（0，）； ③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图， ∴BT=t，OT=3t-3， 同②可证△CFQ≌△QTB（AAS）， ∴CF=BT=t，QF=CF=2， ∴OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t， ∴t=， ∴OQ=4+t=， ∴Q（0，）； 综上，Q的坐标为（-，0）或（0，）或（0，）． 【点睛】此题是一次函数与图形的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定即性质，等腰直角三角形的性质，算术平方根的非负性及偶次方的非负性，熟记全等三角形的判定即性质是解题的关键． 63．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线交于点P． (1)当，时，求点P的坐标，，并求的度数； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标及直线的关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线向下平移9个单位得到直线，直线交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点F，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2)； (3)存在；， 【难度】0.4 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、两直线的交点与二元一次方程组的解、等腰三角形的性质和判定、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据题意建立二元一次方程组，求解即可得出点P的坐标，令和求出一次函数与x、y轴的交点坐标，从而可得是等腰直角三角形，即可求出结果； （2）由（1）可知，点P的坐标为：，根据，可得，再由，可得，即，从而求得，，即可求得点P的坐标和直线的解析式； （3）根据题意可得直线l的解析式为，由是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，可得、，再根据点F在坐标轴上进行分类讨论即可． 本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与x、y轴的交点、等腰直角三角形的性质及解一元二次方程、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入直线方程， 并组成方程组 解得： ∴点P的坐标是 ∵一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D， ∴时，；时，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：过点P作于点G， 由（1）可知，点P的坐标为：，则， ∵一次函数交x轴于点A，交y轴于点B， ∴时，，即，时，， ∴，即，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴，即， ∴，解得（舍）或， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为：， ∴直线的解析式为：； （3）解：∵直线向下平移9个单位得到直线l， ∴直线l的解析式为：， 当点F在x轴上，如图2，过点E作轴于点H，过点P作轴于点K， ∵是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，    ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设点E的坐标为：，点F的坐标为：，则，， 由（1）可知点，则， ∴，解得：， ∴点F的坐标为：； 当点F在y轴上时，如图3，过点P作轴于W，过点E作于点S，    ∵是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由（1）可知点，则， 设点E的坐标为： ，点F的坐标为：，则，， ∴，解得， ∴点F的坐标为：． 64．（八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的“等距点”的是　　； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　　； (2)若两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①E、F；② (2)1或2 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可； ②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）①点到x、y轴的距离中最大值为3， 与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E、F；②； （2）两点为“等距点”， ①若时，则或 解得（舍去）或． ②若时，则 解得或（舍去）． 根据“等距点”的定义知，或符合题意． 即k的值是1或2． 65．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，过一、二、三象限的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，． (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴正半轴取一点C，连接，当时，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，直线分别交直线，直线和x轴于点P，Q，M，试探究：是否存在常数m，使点P，Q，M中的一点是其余两点所成线段的中点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或8 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据三角形的面积得到A，B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）作，且，过B点作，过D点作，根据可作等腰直角三角形，再证明，得到，求出表达式，故可求解； （3）分别求出P，Q，M的坐标，再根据中点分情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵过一、二、三象限的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，， ∴设， ∴， 解得， ∴， 把代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）如图，作，且，过B点作，过D点作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 设的解析式为，把代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为 令，解得， ∴， （3）直线分别交直线，直线和x轴于点P，Q，M， ∴， ∴， ∵点P，Q，M中的一点是其余两点所成线段的中点， 如图，当M点在x轴左侧时，P为中点， ∴ 解得， 如图，当M点在x轴右侧时，Q为中点， ∴ 解得，    如图，当M点在P、Q两侧时，    ， 解得， 综上，或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查三角形的面积、待定系数法、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，线段的中点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 66．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A，直线与x轴正半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在直线上且不与点B重合，点E在直线上．若以A，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点D的坐标（不必写解答过程）； (3)已知平面内一点，作点P关于直线的对称点，作关于y轴的对称点，若恰好落在直线上，则m，n应满足怎样的等量关系？说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或或； (3)，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的性质，轴对称的性质，利用参数表示点的坐标是解题的关键． （1）先求出点A，点C坐标，待定系数法可求解析式； （2）分三种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解； （3）由轴对称的性质分别求出坐标，代入解析式可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A， ∴点，点， ， ， ， ∴点， 设直线的解析式为：， ， ， ∴直线的解析式为：； （2）， ， 当点D在点B下方时，若， ， 过点D作轴于H， ， ， ， ∴点D； 当点在点A上方时，若， ， ∴点A是的中点， ∵点A，点， ∴点； 当点在点A上方时，若， ， ∴点A是的中点， ∴点； 综上所述：点D的坐标为或或； （3）∵点关于直线的对称点， ∴点， 关于y轴的对称点， ， 恰好落在直线上， ， ． 67．（23-24八年级上·四川成都·期中）点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或；②或 (2)有最小值，最小值为，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，进而得到当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为，进行求解即可． 【详解】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，若点为原点， ∴ 轴， 关于的等垂点的坐标为或． 故答案为：或 ②Ⅰ．当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴ 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在△和中， ， ， ∴ ， ， ∴ Ⅱ．当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， 同Ⅰ可得：， ， 综上，点的坐标为或； （2）有最小值，最小值为，理由： 过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则， 当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 68．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为： (2)存在，或 (3) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了一次函数的性质，涉及到三角形的全等，点的对称，面积的确定，解题的关键一次函数的综合运用，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）当点P在线段上时，当和的面积比为，则即可求解；当点P在点C的上方时，则点C是的中点，即可求解； （3）设点，求出点N的坐标为，进而求解； 【详解】（1）解：将点B的坐标代入直线的表达式为：， 即直线的表达式为：， 当时，，即点， 将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故直线的表达式为：； （2）存在，理由： 当点线段在上时， 当和的面积比为，则， 则， 当， 解得：， 则点的坐标为：； 当点在点的上方时， 则点是的中点， 由中点坐标公式得：点； 综上，点的坐标为：或； （3）设点， 过点作轴于点，过点作轴于点， ，则， ， ， ，， ， 则，， 则点的坐标为：， 则点在直线①上，设该直线分别交轴于点，以为边向右作正方形，由直线的表达式轴， 其和轴负半轴的夹角为，则点落在直线上，点关于直线的对称点为点， 由直线知，点，则，则点， 连接交直线于点，则此时，周长最小， 理由：周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义4---一次函数 一、一次函数图像与性质 1．（八年级下·河南南阳·阶段练习）下列曲线中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（八年级下·广东肇庆·期末）下列四个图象中，y不是x的函数的是（    ） A．  B．  C．  D．   3．（16-17八年级·甘肃张掖·期末）下列函数中不经过第四象限的是（　　） A．y=﹣x B．y=2x﹣1 C．y=﹣x﹣1 D．y=x+1 4．（八年级·全国·课后作业）下列各点在正比例函数图像上的是（    ）. A． B． C． D． 5．（八年级下·甘肃定西·阶段练习）将一次函数与的图像画在同一坐标系中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，那么一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．（八年级期末数学模拟试卷02（测试范围：第十六章---第二十章）【好题汇编】-备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（天津专用））若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（17-18八年级上·安徽亳州·期末）若实数、满足，，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 9．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，则一次函数的图像可能是（    ） A．  B．  C．  D   10．（11-12八年级上·江苏无锡·期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（    ） A．B．C．D． 11．（八年级下·山西吕梁·阶段练习）已知直线经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）若点，都在一次函数的图象上，则 ．（用“”或“”填空） 13．（八年级下·吉林长春·期中）若点和都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 14．（2022九年级下·浙江·专题练习）关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象与x轴的交点坐标为（，0） C．y随x的增大而增大 D．图象不经过第三象限 15．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象过点 B．y随x的增大而减小 C．它的图象经过第二象限 D．与y轴交于点 二、一次函数其他问题 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列函数中，不是一次函数的是（） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列函数①；②；③；④中，是y关于x的一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（八年级上·四川成都·期末）若函数y＝（k﹣2）x|k|﹣1+1是关于x的一次函数，则k＝ ． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线经过点，，点在坐标轴上，且，则点的坐标为 ． 21．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，直线与线段没有公共点，则的取值范围为 ． 22．（八年级下·湖南长沙·期中）一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与时间t（小时）的关系图象表示是（    ） A．  B．   C．   D．   23．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线分别与x，y轴交于点A，B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 三、一次函数与方程之间的关系 24．（八年级下·西藏那曲·期末）如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    25．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知一次函数的图象为直线l，直线l过和，则关于x的方程的解为 ． 26．（八年级上·山东济南·期中）如图，的图像经过（3，0），则关于的方程的解为 ． 27．（八年级下·河南安阳·期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为 ．    28．（2022九年级下·浙江·专题练习）如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 四、一次函数下的新定义 29．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点P关于直线m的对称点在图形Q的内部（不包含边界），则称点P是图形Q关于直线m的“伴随点”．如图，已知，，，直线l：，若原点O是关于直线l的“伴随点”，则b的取值范围是 ． 30．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，直线交轴，轴于点，，点的坐标是，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，点是线段的动点，以为对称轴，作与成对称的，当点由到的运动过程中，直线经过点时，线段扫过的图形与重叠部分的周长是 ．    五、一次函数下的规律问题 31．（九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 32．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 六、A卷解答题--基础 33．（八年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点． （1）求m和b的值； （2）求的面积； （3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围． 34．（八年级上·四川成都·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线交于点A，． (1)求直线的表达式； (2)在y轴上找一点P，使，求P点的坐标． 35．（17-18八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求点C和点D的坐标； （3）求△AOB的面积．    36．（八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，一次函数y=﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式是 ． 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：与坐标轴交于，两点，点的坐标是，． (1)求直线的函数表达式和点的坐标． (2)如图，点在第一象限，若是等腰直角三角形且，求点的坐标． 七、一次函数最值问题 38．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ，k的最大值为 ． 39．（八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则长的最小值为 ． 八、一次函数A卷解答题 40．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 41．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与直线l2交于点，直线与y轴交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)点M在直线上，当的面积为面积的时，求点M坐标； (3)如图2，已知点，点P在直线上，点Q在直线上，若且，求点P坐标． 42．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于点，，取轴上一点，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)为直线上一动点，连接． ①当时，求点P的坐标； ②当时，求线段的长． 43．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点． (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 44．（八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上． (1)求直线表达式； (2)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)如图2，若点，过点作轴平行线，点为直线上一动点，直线与交与点，当平分时，求点坐标． 46．（八年级上·浙江湖州·期末）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C． ①求证：； ②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 47．（八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 48．（八年级上·广东深圳·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点P为直线上一个动点． (1)A点坐标为______，B点坐标为______； (2)求直线的解析式； (3)当时，求点P坐标． 49．（八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面有角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1．若a、b满足，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ； (2)如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，设的平分线过点，请问的值是否为定值，请说明理由． 50．（八年级下·福建福州·期末）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点横坐标为．    (1)求直线的函数解析式； (2)连接，，若面积等于面积的，求的值； (3)求的最小值． 九、一次函数B卷解答题 51．（八年级上·四川成都·期中）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 52．（八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形．    (1)求点A，B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标． 53．（八年级下·新疆喀什·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点C的坐标； (2)求一次函数的表达式； (3)若点P是y轴上一点，且的面积为3，请直接写出点P的坐标． 54．（23-24八年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，、满足．    图1                         图2 (1)求、两点的坐标； (2)如图1，为上一点，连接，过点作交于，若，求点的坐标； (3)如图2，点、关于轴对称，为轴上点右侧一点，过点作交直线于点，是否存在点，使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 55．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型. 【模型应用】 （2）①如图2，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．    56．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，且，，过作交轴和轴于点和点，过点作轴的垂线，交于点． (1)求直线的解析式． (2)在第一象限内，是否存在P，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，线段上有一动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒．连接，求的面积与运动时间的函数关系式． 57．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．                                                     (1)求直线的表达式； (2)点是直线上的一个动点，若，求点的坐标； (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，求点的坐标 58．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线l2：交于点，直线l1与l2分别与x轴交于A、B两点． (1)请直接写出b的值和A、B两点的坐标； (2)点P是直线l1上一动点，过点P作x轴的垂线交l2于点Q，设点P的横坐标为n． ①若，求的长； ②当时，能否构成以为腰的等腰三角形？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，，在的图象上，且在第二象限，在第四象限，是轴负半轴上一点，，，．    (1)求证：； (2)求直线的函数表达式； (3)在第二象限是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 60．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，连接并延长交直线l于点F．若，求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接，，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 61．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且．    (1)________，________． (2)点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，求点N的坐标； (3)若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0． (1)求直线AP的解析式； (2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP的面积等于6，请求出点M的坐标； (3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 63．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线交于点P． (1)当，时，求点P的坐标，，并求的度数； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标及直线的关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线向下平移9个单位得到直线，直线交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点F，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 64．（八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的“等距点”的是　　； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　　； (2)若两点为“等距点”，求k的值． 65．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，过一、二、三象限的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，． (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴正半轴取一点C，连接，当时，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，直线分别交直线，直线和x轴于点P，Q，M，试探究：是否存在常数m，使点P，Q，M中的一点是其余两点所成线段的中点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 66．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A，直线与x轴正半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在直线上且不与点B重合，点E在直线上．若以A，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点D的坐标（不必写解答过程）； (3)已知平面内一点，作点P关于直线的对称点，作关于y轴的对称点，若恰好落在直线上，则m，n应满足怎样的等量关系？说明理由． 67．（23-24八年级上·四川成都·期中）点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 68．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$