2024--2025学年北师大版八年级数学上册期中复习讲 义1实数以及常见考点汇编

2024-2025八年级期中复习1 -实数以及常见考点汇编 一、基本概念过关-单选题 1．（甘肃省平凉市华亭市八年级上学期期末数学试题）的算术平方根是（   ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 2．（八年级上·四川·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的有（    ）个． ①任何实数都可以开立方； ②0的相反数、倒数、平方都是0； ③数轴上的点和有理数——对应； ④有限小数和无限循环小数都是有理数； ⑤无理数都是无限小数 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（八年级上·山东济南·期末）如图，表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 5．（八年级上·福建宁德·阶段练习）估算的值（　　） A．在与之间 B．在与之间 C．在与之间 D．在与之间 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（　　） A．4 B． C． D． 7．（七年级下·全国·期中）实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数为（　　） ①没有平方根； ②25的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④16的算术平方根是4． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的有（　　 ）个 ①9的立方根是3；②算术平方根等于它本身的数一定是1；③无理数与数轴上的点一一对应；④的平方根是． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．1的算术平方根是1 B．两个无理数的和不一定是无理数 C．的平方根是2 D．是的立方根 11．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）在，，，，，，（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24八年级上·四川成都·期中）观察下列实数，，，，．（相邻两个0之间的1的个数递次增加1），其中无理数的个数为（    ） A．1 B．4 C．3 D．2 二、基本计算通关-填空题 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是 ；的立方根是 ． 15．（八年级上·河北·期末）平方根是本身的数是 ． 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，则等于 ． 17．（21-22八年级上·广东佛山·期中）的立方根是 ；的平方根是 ． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，的平方根是，则的平方根为 ． 19．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知：是两个连续的整数，且，则 ． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，则的值为 ． 21．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则 ． 22．（21-22八年级上·广东茂名·期末）若与互为相反数，则 ． 23．（八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 三、双重非负性考察--填选空题 24．（九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·四川成都·期中）要使式子有意义，字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2018·四川成都·一模）使代数式有意义的自变量x的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 27．（八年级上·河南南阳·期中）已知a2=16， =2，且ab＜0，则= ． 28．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 29．（2011·青海·中考真题）函数y=中，自变量x的取值范围是 ． 30．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知为实数，且，则 ． 31．（23-24八年级上·四川成都·期中）如果，那么 ． 32．（八年级上·四川成都·期中）若式子有意义，则k取值范围是 ． 33．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 ． 34．（九年级上·河南周口·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 35．（八年级上·四川甘孜·期中）化简的结果是 ． 36．（八年级上·四川成都·期中）已知，，则的值为 ． 四、数轴的化简 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简 ． 38．（八年级上·四川成都·期中）已知：如图，化简代数式 39．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．    40．（八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 五、比较大小 41．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较实数的大小： ． 42．（八年级上·四川成都·期中）比较大小： 43．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较大小 ． 44．（八年级上·辽宁锦州·期末） ．（填“＞”、“＜”或“=”） 45．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小：3 ， ． 六、新定义 找规律 46．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）对于有理数，，我们定义新运算．其中， 是常数． 若| ，则 ． 47．（23-24八年级上·四川成都·期中）如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，下表是由个整数组成的数表，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则整数的值为 ． 48．（八年级上·四川成都·期中）在实数的原有运算法则中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．则当时，代数式的值为 ． 49．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数N，若它的千位数字比个位数字多2，百位数字与十位数字的和为9，则称N为“长久数”．如：四位数7365，∵，，∴7365是“长久数”；四位数8476，∵，∴8476不是“长久数”，则最小的“长久数”为 ；一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，，若能被6整除，则当取最大值时，“长久数”N为 ． 50．（23-24八年级上·四川成都·期中）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 51．（八年级下·重庆忠县·期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）． 七、与几何综合 52．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 53．（23-24八年级上·四川成都·期中）【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （3）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 54．（八年级上·四川成都·期中）若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由． 55．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 56．（八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上一动点给出4个结论： 线段AB的长为5； 在中，若，则的面积是； 使为等腰三角形的点P有3个； 设点P的坐标为，则+的最小值为． 其中正确的结论有 ． 57．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 八、实数的计算 58．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)；(2)；(3)解方程：． 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) 60． （23-24八年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）计算：． 61． （九年级上·福建泉州·阶段练习）计算： （1）     （2） 62．（23-24八年级上·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 63．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 64．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)计算：．(2)计算： 65．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算或解方程 (1) (2) (3) (4) 66．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算∶ (1) (2) 67．（八年级上·四川成都·期中）计算或化简： (1)；(2)；(3)；(4)解方程． 68．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 69．（19-20八年级上·全国·单元测试）计算： （1）；（2）； （3）；（4）； 70．（八年级上·全国·单元测试）求满足下列式子的x的值： （1）4x2﹣16=0                        （2）﹣8（x+1）3=27． 九、二次根式的计算 71．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）已知，，求代数式的值． 72．（16-17七年级下·湖北襄阳·期中）若x，y都是实数，且，求的立方根． 73．（八年级上·四川成都·期中）已知与互为相反数，求的值． 74．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，． (1)求的值； (2)求． 75．（21-22八年级下·湖北黄冈·期末）已知，，求的值 76．（八年级下·安徽六安·期中）已知：，. (1)求. (2)求. 77．（八年级下·福建莆田·期中）先化简，后求值：，其中． 78．（八年级上·四川成都·期中）已知． (1)求与的值； (2)求代数式的值． 十、小数部分问题 0✖无理数 分母有理化 79．（19-20八年级上·河北沧州·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，1＜＜2，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值． （3）已知：90+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根． 80．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，，． (1)求的值． (2)若，，求的值． 81．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，n是m的小数部分． (1)求的值； (2)求． 82．（15-16八年级上·广东梅州·阶段练习）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值. 83．（七年级下·重庆忠县·期末）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的平方根． 84．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简： （2）已知，求的值． 85．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 86．（19-20八年级上·全国·单元测试）已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根. 87．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 88．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 89．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）解方程． （2）已知的平方根是，的算术平方根是4． ①求、的值； ②求的平方根． 90．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是的算术平方根是的整数部分为．求的平方根． 91．（八年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：已知a=,求的值. 他是这样分析与解的：∵a==， ∴,  ∴ ∴,  ∴=2（=. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若a=,直接写出的值是 . （2）使用以上方法化简： 十一、复合二次根式 92．（23-24八年级上·四川成都·期中）我们已经学过完全平方公式 ， 知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 , 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例： 求 的算术平方根. 解： ， 的算术平方根是 你看明白了吗? 请根据上面的方法化简： (1) (2) 93．（23-24八年级上·四川成都·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝______； ②＝______． (2)应用：求的值． (3)拓广：直接写出的值． 94．（八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义实数以及常见考点汇编--教师校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、基本概念过关-单选题 1．（甘肃省平凉市华亭市学年八年级上学期期末数学试题）的算术平方根是（   ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】由，再求出算术平方根即可． 【详解】因为， 可知4的算术平方根是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键． 2．（八年级上·四川·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根、利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的化简法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：无意义，故C错误； D：，故D错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了对二次根式的化简，掌握开根号得到的数是非负数，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的有（    ）个． ①任何实数都可以开立方； ②0的相反数、倒数、平方都是0； ③数轴上的点和有理数——对应； ④有限小数和无限循环小数都是有理数； ⑤无理数都是无限小数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实数的分类、实数概念理解、实数的性质 【分析】根据实数的相关概念、性质进行判断即可． 【详解】①任何实数都可以开立方，故①正确； ②0的相反数是0,0没有倒数，0的平方是0，故②错误； ③数轴上的点和实数——对应，故③错误； ④有限小数和无限循环小数都是有理数，故④正确； ⑤无理数是无限不循环小数，因此无理数都是无限小数，故⑤正确． 故正确的有①④⑤3个． 故选C． 【点睛】本题主要考查实数的相关概念、形式、性质，解题的关键是熟练掌握实数的相关知识． 4．（八年级上·山东济南·期末）如图，表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示的点落在段①． 故选A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，以及实数与数轴上点的关系，每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每个点都表示一个唯一的实数，也就是说实数与数轴上的点一一对应． 5．（22-23八年级上·福建宁德·阶段练习）估算的值（　　） A．在与之间 B．在与之间 C．在与之间 D．在与之间 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得到的值的范围，即可解答，掌握估算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：B． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查算术平方根和平方根的区别，注意先求得的值，再求其平方根． 【详解】解：． 4的平方根为． 故选：C． 7．（22-23七年级下·全国·期中）实数在数轴上的对应点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】直接利用，进而得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是N． 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的估算，用数轴上的点表示无理数， 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列说法正确的个数为（　　） ①没有平方根； ②25的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④16的算术平方根是4． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的运算进行判断即可．解题的关键熟知相关运算概念的含义． 【详解】解：负数没有平方根，则①正确； 25的平方根是±5，则②正确； 立方根等于它本身的数是0，±1，则③错误； 16的算术平方根是4，则④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 9．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的有（　　 ）个 ①9的立方根是3；②算术平方根等于它本身的数一定是1；③无理数与数轴上的点一一对应；④的平方根是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】立方根，算术平方根，平方根，实数与数轴的关系，对各说法进行判断，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，9的立方根是，①错误，故不符合要求； 算术平方根等于它本身的数是1或0，②错误，故不符合要求； 实数与数轴上的点一一对应，③错误，故不符合要求； ∵， ∴的平方根是，④错误，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，实数与数轴．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．1的算术平方根是1 B．两个无理数的和不一定是无理数 C．的平方根是2 D．是的立方根 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】直接利用算术平方根以及平方根、立方根的性质分别判断得出答案． 【详解】解：A、1的算术平方根是1，故此选项正确，不符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，比如，故此选项正确，不符合题意； C、的平方根是，故此选项错误，符合题意； D、是的立方根，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根以及平方根、立方根，熟练掌握相关的性质是解题关键． 11．（23-24八年级上·四川成都·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念、二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A．，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）在，，，，，，（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵，不是无理数， ∴不符合题意； ∵不无理数， ∴不符合题意； ∵0不无理数， ∴不符合题意； ∵是无理数， ∴符合题意； ∵，不是无理数， ∴不符合题意； 不是无理数， 不符合题意； ∵是无理数， ∴符合题意； 故选B． 13．（23-24八年级上·四川成都·期中）观察下列实数，，，，．（相邻两个0之间的1的个数递次增加1），其中无理数的个数为（    ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，，．（相邻两个0之间的1的个数递次增加1）是无理数，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解答此题的关键是熟知无理数的定义．无理数为无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 二、基本计算通关-填空题 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根，算术平方根及立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：，其平方根是； 的立方根是； 故答案为：；． 15．（11-12八年级上·河北·期末）平方根是本身的数是 ． 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根 【分析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，即可求解． 【详解】解：0的平方根是0．所以平方根是它本身的数是0 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根是解题的关键． 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，则等于 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的计算，直接代入计算即可作答． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 17．（21-22八年级上·广东佛山·期中）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 -3； 3 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】根据立方根的定义求一个数的立方根，根据平方根的定义求一个数的平方根． 【详解】解：的立方根是-3；的平方根是3， 故答案为：-3，3． 【点睛】此题考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，熟记立方根的定义及平方根的定义是解题的关键． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，的平方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，解题的关键是根据题意得出，． 【详解】解：由题意可得，， 解得：，， 则， 那么的平方根为， 故答案为：． 19．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知：是两个连续的整数，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先求出，得出，，代入求值即可． 【详解】解：， ， ，且，是两个连续的整数， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了估计无理数的大小的应用，解题的关键是确定的范围． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】11 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化、通过对完全平方公式变形求值 【分析】先将b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】 故答案为：11 21．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，先对分母有理化得到，再把即可求解，正确求出，再把所求式子变成是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 22．（21-22八年级上·广东茂名·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】－8 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、有理数的乘方运算、绝对值非负性、相反数的应用 【分析】根据相反数的定义得+=0，从而由，，可得， ，解出m、n的值，代入所求式子就可以求解． 【详解】解：因为， 所以m=2，n=3，所以． 故答案为：－8． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和有理数的乘方等知识点，理解并并能应用几个非负数的和为0，则这几个数都为0是解题的关键． 23．（22-23八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，先利用分母有理化得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解: ， ． 故答案为：． 三、双重非负性考察--填选空题 24．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 25．（23-24八年级上·四川成都·期中）要使式子有意义，字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，函数自变量取值范围，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 26．（2018·四川成都·一模）使代数式有意义的自变量x的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围． 【详解】要使代数式有意义， 则， 解得：且， 故选D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 27．（17-18八年级上·河南南阳·期中）已知a2=16， =2，且ab＜0，则= ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根 【详解】解：由题意可知：a=±4，b=8． ∵ab＜0， ∴a=﹣4，b=8， ∴==2． 故答案为2． 28．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、二次根式有意义的条件 【分析】先利用被开方数有意义的条件求出x的值，代入后求y的值即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根问题，关键掌握被开方式有意义的条件，会解不等式，会利用不等式求值，会求代数式的值与平方根，要认真阅读试题，清楚内容，了解要求，要有步骤地解决问题． 29．（2011·青海·中考真题）函数y=中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≥－3且x≠1 【难度】0.65 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥且x-1≠0，解得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x-1≠0， 解得：x≥-3且x≠1． 故答案为：x≥-3且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 30．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知为实数，且，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式的化简求值，根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（23-24八年级上·四川成都·期中）如果，那么 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的体积可得、的值，再代入所求所占计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， 故答案为：． 32．（八年级上·四川成都·期中）若式子有意义，则k取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、二次根式有意义的条件 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可知k-1≥0，零次幂底数不能为0可得k-2≠0，再解不等式可得答案． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得， ∴， 由0次幂有意义的条件得， ∴， 综合得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式，零次幂有意义的条件是解题的关键． 33．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，则化简的结果为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，分母有理化，根据二次根式有意义的条件得出，从而得到，根据非负数的性质得出，，最后代入式子中进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 34．（11-12九年级上·河南周口·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.94 【知识点】二次根式有意义的条件 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0， 故答案为x≥-1且x≠0． 35．（八年级上·四川甘孜·期中）化简的结果是 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质和合并同类项的法则进行化简即可． 【详解】由题意得，，则，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质：以及()是解题的关键． 36．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】先根据题意得到，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确得到是解题的关键． 四、数轴的化简 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】根据题意得，，，得，根据二次根式的性质，绝对值法则进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较大小化简代数式，解题的关键是掌握数轴，绝对值，二次根式的性质，． 38．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知：如图，化简代数式 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用算术平方根的非负性解题、整式的加减运算 【分析】根据数轴得出，确定，，再由算术平方根的非负性进行化简，最后进行加减计算即可． 【详解】解：由数轴得， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查根据数轴判断式子的正负及算术平方根的非负性，整式的加减等，根据数轴确定式子的符号是解题关键． 39．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由数轴可知，， 则， 所以 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、二次根式的化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 40．（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数与数轴 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 五、比较大小 41．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较实数的大小： ． 【答案】> 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数大小比较，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先判断的取值范围，再判断的取值范围，最后再进行比较即可． 【详解】 故答案为：． 42．（22-23八年级上·四川成都·期中）比较大小： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算，即可求解． 【详解】解：解：∵ ∴ 故答案为：． 43．（23-24八年级上·四川成都·期中）比较大小 ． 【答案】/小于 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，直接利用平方法进行比较即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（11-12八年级上·辽宁锦州·期末） ．（填“＞”、“＜”或“=”） 【答案】＞． 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较 【详解】∵5＞4， ∴＞2． ∴﹣1＞2﹣1，即﹣1＞1． ∴． 故答案为：＞． 45．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小：3 ， ． 【答案】 > < 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】（1）通过平方法比较大小即可求解； （2）通过比较与5的大小即可求解． 【详解】解：（1）因为，， ， 所以； 故答案为：>； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：； 【点睛】本题考查的是正负实数的大小比较，解决本题的关键是采用作差、平方、取近似值等方法比较． 六、新定义 找规律 46．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）对于有理数，，我们定义新运算．其中， 是常数． 若| ，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据题意列出关于的方程组，然后解方程组求出的值，然后再代入中进行计算即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 47．（23-24八年级上·四川成都·期中）如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，下表是由个整数组成的数表，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则整数的值为 ． 【答案】或/2或1 【难度】0.65 【知识点】一元一次不等式组应用 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据每一列所有数之和分别为，每一行所有数之和分别为，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案，解题的关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列出不等式组． 【详解】解：∵每一列所有数之和分别为，每一行所有数之和分别为， 则操作第三列，第一行之和为，第二行之和为， 由题意可得， 解得， ∵为整数， ∴或， 故答案为：或． 48．（22-23八年级上·四川成都·期中）在实数的原有运算法则中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．则当时，代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解∶∵当时，； 当时，． ∴当时，， ， 故答案为： 49．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数N，若它的千位数字比个位数字多2，百位数字与十位数字的和为9，则称N为“长久数”．如：四位数7365，∵，，∴7365是“长久数”；四位数8476，∵，∴8476不是“长久数”，则最小的“长久数”为 ；一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，，若能被6整除，则当取最大值时，“长久数”N为 ． 【答案】 2090 【难度】0.4 【知识点】整式加减的应用、新定义下的实数运算 【分析】根据题中“长久数”可求得最小的“长久数”；根据题意得出，，，，，，，，得出，当，时，能被6整除，且最大，求出N值即可． 【详解】解：根据长久数的定义：千位数字最小为：2，个位数字最小为0， 又∵百位数字与十位数字的和为9， ∴百位数字最小为：0，则十位数字只能为9， 所以最小长久数为：2090；； ∵一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， ∴，，，，，， ∴ ， ， ∴ ， ∵，， ∴当，时，，能被6整除，且最大， ∴此时“长久数”N为． 故答案为：2180；． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 50．（23-24八年级上·四川成都·期中）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】解分式方程、数字类规律探索 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 51．（八年级下·重庆忠县·期末）我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】有理数加减中的简便运算、求一个数的算术平方根、数字类规律探索 【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键． 七、与几何综合 52．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 【答案】（）20；（）能，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（）将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，分三种情况利用勾股定理求出长，再比较即可得到答案； （）利用两点之间线段最短及勾股定理的运用即可； 此题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：（）如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：； 2）如图所示：    由勾股定理得：， ∴（米）＞， ∴钢管能放进电梯． 53．（23-24八年级上·四川成都·期中）【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （3）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 【答案】（1）的最小值为，此时；（2）的最小值，此时；（3）栅栏的最小值为 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的运算, 勾股定理的应用； （1）仿照材料中的例子，可求得； （2）先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，可求得； （3）利用三角形面积公式设出两条直角边，勾股定理求得斜边的式子，求最小值． 【详解】解：（1）当时， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． （2）当时， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． （3）设，则，则 ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． ∴ 54．（22-23八年级上·四川成都·期中）若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，见解析 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、已知一个数的立方根，求这个数、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查立方根，非负数的性质，勾股定理的逆定理．熟练掌握偶次方的非负性，算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据立方根的意义求出x，根据非负数的性质求出y、z的值即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解∶∵实数x的立方根是2， ， ， ， 又， ， ， ，， （2）解：，，， ∵，， ， 是直角三角形． 55．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；；（3） 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据题意，画出锐角三角形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形，再利用割补法求出三角形的面积； （2）构建长为a，宽为b的长方形网格图，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求；    理由：根据题意得：的面积为； （2）如图，即为所求；    理由：根据题意得：，，， 的面积为； （3）解：如图，网格中小长方形的长为a，宽为b，    根据题意得：， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 56．（18-19八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上一动点给出4个结论： 线段AB的长为5； 在中，若，则的面积是； 使为等腰三角形的点P有3个； 设点P的坐标为，则+的最小值为． 其中正确的结论有 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】利用勾股定理可以计算AB的长； 如图2，作辅助线，利用面积差可得的面积； 如图3，分别以AB为腰和底边作等腰三角形有三个，分别画图可得； 如图4，先作垂线段BD，由勾股定理可知：就是PA的长，就是PB的长，所以的最小值就是的最小值，根据轴对称的最短路径问题可得结论． 【详解】①如图1，过B作于C， 点、点， ，， 在中，由勾股定理得：， 故①结论不正确； ②如图2，在中，，，    ， 过B作轴于D， ，， ， ， ， ， ， 故②结论不正确； ③如图3，    以A为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形； 作AB的中垂线，交x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形； 以B为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形； 综上所述，使为等腰三角形的点P有3个； 故③结论正确； ④如图4，过B作轴于D， ， ，， 由勾股定理得：，， 作A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，    ∴， 此时的值最小， 过B作于C， 则，， 由勾股定理得：， 的最小值是， 即设点P的坐标为，则的最小值为． 故④结论正确； 综上所述，其中正确的结论有：③④； 故答案为③④． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题、等腰三角形的判定、图形与坐标特点、勾股定理，是一个不错的综合题，难度适中，有等腰三角形和轴对称的作图问题，也有求最值问题，第4问中，熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键． 57．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 八、实数的计算 58．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、运用完全平方公式进行运算、利用平方根解方程 【分析】本题考查了实数的混合运算、完全平方公式、平方差公式和利用平方根定义解方程； （1）先化简二次根式、绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减即可； （3）利用平方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解： 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算 【分析】（1）先化简算术平方根和绝对值，然后再进行加减运算即可； （2）根据负整数指数幂的运算法则，立方根的性质，零指数幂的运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） 【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记绝对值的性质，负整数指数幂的运算法则，立方根的性质，零指数幂的运算法则． 60．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】（1）先算零指数幂、绝对值、负整数指数幂和立方根，再计算加减即可； （2）先利用平方差公式和二次根式的乘法法则计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂、绝对值的意义及二次根式的化简；熟练掌握以上知识是解题的关键． 61．（17-18九年级上·福建泉州·阶段练习）计算：（1）      （2） 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】化成最简二次根式，再依据二次根式的运算法则运算即可. 【详解】（1）     （2） 62．（23-24八年级上·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的乘法运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ， ∵，， ∴原式． 63．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算，掌握平方根，立方根和算术平方根的定义及绝对值的性质是解答本题的关键． （1）先计算算术平方根、负整数指数幂、绝对值，再去括号、计算加减，得到答案； （2）先计算乘方、化简二次根式，再计算减法，得到答案； （3）先移项、合并，再利用平方根的定义求出答案； （4）先移项，再两边同时乘以，再利用立方根的定义求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）， ， ， ，； （4）， ， ， ． 64．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)计算：． (2)计算： 【答案】(1)0 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算， （1）先算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减； （2）先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算加减； 熟练掌握各个运算法则和平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 65．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算或解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂、利用平方根解方程、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，零指数幂，解方程，熟练掌握相应的知识解题的关键． (1)根据二次根式乘除混合运算法则计算即可． (2)根据平方差公式，完全平方公式计算即可． (3)根据绝对值，算术平方根，零指数幂计算即可． (4)用直接开平方法计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4）， 或 解得． 66．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的立方根 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则先计算乘除，然后计算加减； （2）首先计算负整指数幂，零整指数幂，立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，负整指数幂，零整指数幂，立方根，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 67．（22-23八年级上·四川成都·期中）计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)解方程． 【答案】(1) (2) (3)7 (4)， 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并即可； （2）先化简二次根式，然后进行除法运算即可； （3）先根据负整数指数幂、乘方的意义、零指数幂和二次根式的性质计算，然后进行有理数的加减运算； （4）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：， ， ， 所以，． 68．（23-24八年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】化简绝对值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据0指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，二次根式的除法，绝对值的意义等知识进行化简，再进行加减运算即可求解； （2）先根据完全平方公式、平方差根式进行计算，再去括号进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： =． 【点睛】本题考查了0指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，二次根式的除法，绝对值的意义，二次根式的混合运算等知识，熟知相关知识，正确进行化简是解题关键． 69．（19-20八年级上·全国·单元测试）计算： （1）；（2）； （3）；（4）； 【答案】解：（1）；（2）15；（3）；（4）3 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）先根据立方根、算术平方根和绝对值的意义分别计算，再合并即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （4）先计算平方、算术平方根、立方根，再相乘，最后合并. 【详解】解：（1） = = =； （2） = = =15； （3） = = = （4） = = =3 【点睛】本题考查了实数和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和合并同类二次根式的法则是解此题的关键. 70．（18-19八年级上·全国·单元测试）求满足下列式子的x的值： （1）4x2﹣16=0                        （2）﹣8（x+1）3=27． 【答案】（1）x=±2；（2）﹣. 【难度】0.65 【知识点】利用平方根解方程 【分析】（1）利用开平方可求得方程的解， （2）利用开立方可求得方程的解． 【详解】（1）4x2﹣16=0， x2=4， x=±2． （2）﹣8（x+1）3=27， 【点睛】考查平方根与立方根的应用，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键. 九、二次根式的计算 71．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）计算：； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）（2）39 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、负整数指数幂、通过对完全平方公式变形求值、实数的混合运算 【分析】（1）根据实数的性质依次化简即可求解； （2）计算，，再根据完全平方公式的变形即可求解． 此题主要考查实数的计算与代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的运用． 【详解】（1） = =； （2）∵，， ∴，， ∴． 72．（16-17七年级下·湖北襄阳·期中）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解；∵式子要有意义， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根是3． 73．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、相反数的应用 【分析】根据立方根以及相反数的定义，得出一元一次方程，求得的值，进而求得代数式的值，即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了立方根与算术平方根的应用，相反数的应用，求得的值是解题的关键． 74．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.85 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，先根据分母有理化求出，，即可求出，，即可得出答案，解题的关键是掌握分母有理化． 【详解】（1）， ， ∴； （2）∵， ∴ ， ， ， ． 75．（21-22八年级下·湖北黄冈·期末）已知，，求的值 【答案】 【难度】0.85 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】根据，对进行化简，然后把，的值代入，即可． 【详解】∵ ； 把，代入， ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的化简，分母有理化，平方差公式，完全平方公式． 76．（22-23八年级下·安徽六安·期中）已知：，. (1)求. (2)求. 【答案】(1)1 (2)17 【难度】0.65 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法、通过对完全平方公式变形求值、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据平方差公式、二次根式的乘法法则计算； （2）根据二次根式的加法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵，， ∴， ∴ ； 【点睛】本题考查的是二次根式的加法、二次根式的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键． 77．（22-23八年级下·福建莆田·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】根据平方差公式，单项式乘以多项式先计算整式的乘法运算，再合并得到化简的结果，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是整式的乘法的混合运算，平方差公式的应用，二次根式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 78．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知． (1)求与的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）根据二次根式的减法和乘法法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，将（1）中结果代入，求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）由（1）知：，， ∴． 十、小数部分问题 0✖无理数 分母有理化 79．（19-20八年级上·河北沧州·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，1＜＜2，于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题： （1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值． （3）已知：90+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++59﹣y的平方根． 【答案】（1）5，﹣5；（2）2；（3）﹣13，13． 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出，的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】解：（1）∵5＜＜6， ∴的整数部分是5，小数部分是−5， 故答案为：5， ﹣5， （2）3＜＜4，5＜＜6， 由题意可知：a＝﹣3，b＝5，所以原式＝﹣3+5﹣＝2； （3）10＜＜11， 由题意可知：x＝100，y＝﹣10， 所以原式＝100++59-（-10）=169， 169的平方根为±13， 所以平方根为﹣13，13． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、、的范围是解此题的关键． 80．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，，，． (1)求的值． (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及乘法公式， （1）直接代入计算即可； （2）先分别计算出m和n的值，再利用完全平方公式变形，求解即可； 熟练掌握二次根式运算法则及乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∴， ∵， ∴． 81．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，n是m的小数部分． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)2 (2)7 【难度】0.85 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的估算，二次根式的混合运算，求代数式的值， （1），先求出m，n的值，再代入计算； （2），先求出m，整理，再代入计算即可． 【详解】（1）. ∵， ∴， 则， ； （2） ． 82．（15-16八年级上·广东梅州·阶段练习）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值. 【答案】6. 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】首先得出的取值范围，进而得出a，b的值，即可代入求出即可． 【详解】解：， ， ∴的整数部分为：a=3，小数部分为：b=-3， ， 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了估计无理数，得出a，b的值是解题关键． 83．（22-23七年级下·重庆忠县·期末）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数求，通过估算求； （2）求出，再代入求值计算即可． 【详解】（1）解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； （2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， 平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，以及平方根的性质，解题的关键是 一个正数的平方根互为相反数． 84．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简： （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值，化简求值、实数与数轴、实数的性质 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质、化简与混合运算，准确化简各式是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可； （2）先计算出的值，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由数轴知：， ， ； （2）由， ， ． 85．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、因式分解的应用、运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（）化简，因式分解，把化简后的的值代入计算即可求解； （）把转化为，再把化简后的的值代入计算即可求解； 本题考查了因式分解，分母有理化，掌握平方差公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ． 86．（19-20八年级上·全国·单元测试）已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根. 【答案】的平方根是. 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出a，b，c的值，进而得出答案． 【详解】解：由题意，得，解得. ，解得. 因为，所以. 所以，所以的平方根是. 【点睛】本题考查估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键． 87．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】(1)15 (2) 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算算化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用分母有理化化简和，从而求出和的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵， ， ∴， ， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴的小数部分是， ∴， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， 88．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【难度】0.65 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵是的整数部分， ∴． （2）解：将，，代入得： ， ∴的平方根是． 89．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）解方程． （2）已知的平方根是，的算术平方根是4． ①求、的值； ②求的平方根． 【答案】（1）；（2）①；② 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题考查了解一元二次方程和平方根，算术平方根， （1）先将原方程变形为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）①先根据平方根和算术平方根的定义得出，进而求解即可得出、的值；②先求出的值，再求其平方根即可； 熟练掌握直接开平方法解一元二次方程和平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）， 整理得， 开平方得， ∴； （2）①∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得； ②∵， ∴， ∴的平方根为． 90．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是的算术平方根是的整数部分为．求的平方根． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，解题的关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴，即， ∴， ∵的整数部分为，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 91．（17-18八年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：已知a=,求的值. 他是这样分析与解的：∵a==， ∴,  ∴ ∴,  ∴=2（=. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）若a=,直接写出的值是 . （2）使用以上方法化简： 【答案】（1）5；（2）5. 【难度】0.4 【知识点】二次根式的应用、分母有理化 【详解】试题分析: 根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案． 试题解析：（1）∵a=， ∴4a2-8a+1 =4×()2-8×（）+1 =5； （2）原式=×（−1+−+−+…+−） =×（-1） =×10 =5. 点睛：本题主要考查了分母有理化，利用分母有理化化简是解答此题的关键． 十一、复合二次根式 92．（23-24八年级上·四川成都·期中）我们已经学过完全平方公式 ， 知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 , 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例： 求 的算术平方根. 解： ， 的算术平方根是 你看明白了吗? 请根据上面的方法化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、实数的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式与算术平方根，实数的混合运算； （1）根据例题可得，进而根据算术平方根进行计算即可求解； （2）分别根据完全平方公式表示出，进而根据求其算术平方根，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：∵，， ∴ ． 93．（23-24八年级上·四川成都·期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请回答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝______； ②＝______． (2)应用：求的值． (3)拓广：直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）①根据（一中的解法解答即可； ②根据（二中的解法解答即可； （2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题； （3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解答本题的关键． 94．（22-23八年级下·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【难度】0.4 【知识点】复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$