江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三上学期数学周练8

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学周练8 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，，则a，b，c的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 2．已知 则 （ ） A. B. C. D. 3．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为 （ ） A. B. C. D. 5．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 （ ） A． B． C． D． 6．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则 （ ） A.3 B. C.2 D.4 7．已知角是锐角，角是第四象限角,且，，，则下列结论不正确的是 （ ） A. B. C. D. 8．，均有成立，则a的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全9. 已知，，，下列结论正确的是 （ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知内角的对边分别是，则 （ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D 若，则 11．如图，在正四棱柱中，，E是棱的中点，P为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是 （ ） A．是平面EDC的一个法向量 B． C．点P到平面的距离为 D．二面角的正弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则的最小值为__ ____． 13．已知，则 . 14．已知函数若存在实数满足，且，则取值范围是_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数的部分图象如图所示.先将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 16．从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________. （1）求角大小；（2）若面积为，，求边上的中线长； （3）若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 17．已知函数在区间内有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围. 18．如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． （1）用，表示； （2）过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； （3）若，求的值． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，分别为的中点. （1）证明：平面；（2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学周练8 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，，则a，b，c的大小关系为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】因为，而，则， 又，即，即，所以.故选：A. 2．已知 则 （ A ） A. B. C. D. 3．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 （ C ） A. B. C. D. 【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即．故选：C． 4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】因为，与夹角为，所以，则，所以在上的投影向量为．故选：B. 5．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 （ A ） A． B． C． D． 6．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则 （ D ） A.3 B. C.2 D.4 7．已知角是锐角，角是第四象限角,且，，，则下列结论不正确的是 （ C ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以，因为角是锐角，角是第四象限角， ，因为，解得，. 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 由两角和的余弦公式得，故A正确， 由两角和的正弦公式得，故B正确， 因为，，所以，故D正确， 由二倍角公式得， 由两角和的正切公式得，故C错误.故选：C 8．，均有成立，则a的取值范围为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】不妨设，由，得，即，两边同时除以，得，令，即，所以函数在区间上单调递减，，即恒成立，所以，上恒成立，函数在区间上单调递减， 所以的最大值为1，所以.故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全9. 已知，，，下列结论正确的是 （ AD ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ，根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；因为，即，当且仅当，即时取等号，所以，即最大值，故C错误；，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确．故选：AD． 10. 已知内角的对边分别是，则 （ ABC ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D 若，则 【详解】对于A，由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，则，当时，，即， 当时，，又，则，，于是，因此，A正确；对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确；对于C，由正弦定理得， 由为锐角三角形，，得，则， ，因此，C正确； 对于D，由，，，得，D错误.故选：ABC 11．如图，在正四棱柱中，，E是棱的中点，P为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是 （ ACD ） A．是平面EDC的一个法向量 B． C．点P到平面的距离为 D．二面角的正弦值为 【详解】对于A，由于是正四棱柱，易知，在中，因为，， 所以，故，又平面EDC，平面EDC，， 所以平面EDC，故A正确；对于B，在中，因为，，，则，在中，利用余弦定理， 可求得或（舍去），因此，故B错误； 对于C，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由B选择可知，，，所以， 故，，， 设为平面的法向量，则 令，则，设点B到平面的距离为h， 所以由点到平面的距离公式得：，故C正确； 对于D，由C选项中坐标可知，为平面EDC的一个法向量， ，， 设平面PEC的一个法向量为，则 令，所以， 因此二面角的正弦值为，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则的最小值为______． 【详解】令，，则，，，令，，则，当且仅当，即时等号成立，，即.故答案为： . 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 13．已知，则 . 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 14．已知函数若存在实数满足，且，则取值范围是_________． 【详解】设， 由图可知，，解得， 由二次函数的对称性可知，的解、满足， 即且，所以 ， 因为在上单调递增，所以， 故的取值范围是．故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数的部分图象如图所示.先将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）已知，均为锐角，，，求的值. 15．解：（1）:观察图象，函数的周期，则， ， 由，得，而，则，所以， 将图象上的每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得的图象， 最后向下平移1个单位长度，所以的解析式是. （2）因为，由（1）得，所以， 又，均为锐角，得到，又， 所以，， 所以. 16．从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________. （1）求角大小； （2）若面积为，，求边上的中线长； （3）若，求周长的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 16．解：（1）若我们选择条件①，则有， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 故，因为，所以，解得， 若我们选择条件②，则有， 在中，由正弦定理得， 故， 整理得，所以， 故，得到， 因为，所以，解得， 若我们选择条件③，则有， 在中，所以， 所以， 故，可得， 因为，所以解得，故得； （2）在中，因为，所以， 所以，故得， 而在中，恒成立，故得， 因为，所以， 解得，，因为面积为， 所以，解得， 由上问得，故，解得， 而， 所以，解得， 综上可得(负根舍去)， 设边上的中线为，由向量中线定理得， 所以， 代入得， 解得，故，故中线长度为； （3）在中，因为，且由上问得， 所以由正弦定理得， 故，解得，， 所以， ， 故周长为， 因为锐角，所以，，所以， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 而设，所以上单调递减， 而， 当时，，所以， 故周长的取值范围为. 17．已知函数在区间内有两个极值点. （1）求实数的取值范围； （2）若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围. 17．解：（1）令，则， 设函数在区间内的两个极值点为，（），则， 所以解得. 此时，，列表如下： ＋ 0 － 0 ＋ 极大值 极小值 所以. （2）因为，所以 . 由，得，且， 所以. 设，，令， 则，所以在上单调递减， 从而，即， 所以实数的取值范围是. 18．如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O． （1）用，表示； （2）过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值； （3）若，求的值． 18．解：（1）因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O， C三点共线， 所以存在实数，使，其中D是BC中点，且， 所以 即 解得，， 所以． （2）因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使， 其中，，所以， 根据平面向量基本定理可得：即， 所以． （3） ， 整理可得：，所以． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 19．解：（1）取中点，连接. 又因为为的中点，所以，且. 在菱形中，，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形. 所以， 又平面平面，所以平面. （2）连接，由（1）知，四点共面. 在中，为的中点，所以， 因为，所以都是正三角形，在中，，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （3）由（2）知，都是正三角形，且为的中点， 所以. 由（1）知，，所以， 又平面，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 因此，得. 在中，，可得. 以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量为 则 取，则是平面的一个法向量. 又是平面的一个法向量. 所以. 由图形可知，二面角的余弦值为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$