第17讲 对数（5个知识点+2个要点+3种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第17讲 对数（5个知识点+2个要点+3种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：对数的概念 对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换． (2)logaN的读法：以a为底N的对数． 知识点2：指数式与对数式的互化 1.两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N. (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N. 2.指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 知识点3：对数的性质 对数的性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1(a>0，且a≠1)． (3)负数和0没有对数． (4)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点4：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立． (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而 log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 知识点5：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1. 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝. 要点1：利用指数式与对数式的互化解题 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 要点2：换元法在对数运算中的应用 换元法又称变量替换法,这里对数的运算主要采用整体换元法,即以“元”换“式”,引人新的变量替换式中反复出现的复杂部分,化繁为简。 题型1：对数运算 【例题1】（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）求值： ． 【变式2】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 【变式3】（23-24高一上·山东淄博·期中）计算下列各式的值： (1) (2). 题型2：对数方程的求解 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设，是方程的两个实根，则 ． 【变式2】（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）解关于的方程. (1)； (2). 【变式3】（21-22高一·全国·课后作业）解关于的方程： (1)； (2)； 题型3：对数的实际运用 【例题3】（23-24高一上·江西萍乡·期末）太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用．净化过程中，每过滤一次可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，至少需要过滤的次数为（参考数据：）（    ） A．42次 B．43次 C．44次 D．45次 【变式1】（22-23高一上·浙江杭州·期中）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，） 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知放射性物质镭经过100年后，其剩余的质量为原来的95.76％，求约经过多少年后其剩余的质量为原来的50%．（参考数据：，） 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气剩余污染物数量P（mg/L）与过滤开始后的时间t（h）的关系为，其中为过滤开始时废气的污染物数量，k为常数，如果过滤开始后经过5个小时消除了10％的污染物，试求： (1)过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？ (2)求污染物减少50％所需要的时间． 易错点1：对数运算性质记忆或理解有误 【例题1】（23-24高一上·云南·期末）（    ） A．1 B． C．4 D．6 【变式1】（23-24高一上·安徽安庆·期末）（    ） A．2 B．1 C． D．0 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习） . 【变式3】（22-23高一上·山东枣庄·期中）(1)计算：. (2)计算的值. 易错点2：变形中忽视条件的等价性 【例题2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）（1）计算：； （2）解方程：. 【变式1】（高一上·上海浦东新·期末）解下列方程： （1）； （2）. 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波·期中）计算下列各式的值. (1) (2) 【变式3】（23-24高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 6．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，，则（   ） A．-5 B．-1 C．3 D．4 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一上·河北衡水·期中）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 13．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 14．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知，，则用，表示 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·单元测试）设α，β为方程的两个根，求的值． 16．（22-23高一·湖南岳阳·阶段练习）解关于的方程： (1) (2) 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 18．（22-23高一上·江苏镇江·期中）计算． (1)； (2)． 19．（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. (1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； (2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 对数（5个知识点+2个要点+3种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：对数的概念 对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 注意点： (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换． (2)logaN的读法：以a为底N的对数． 知识点2：指数式与对数式的互化 1.两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N. (2)以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N. 2.指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 知识点3：对数的性质 对数的性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1(a>0，且a≠1)． (3)负数和0没有对数． (4)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点4：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立． (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而 log2(－2)与log2(－3)都没有意义． (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 知识点5：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1. 注意点： (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝. 要点1：利用指数式与对数式的互化解题 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解． 要点2：换元法在对数运算中的应用 换元法又称变量替换法,这里对数的运算主要采用整体换元法,即以“元”换“式”,引人新的变量替换式中反复出现的复杂部分,化繁为简。 题型1：对数运算 【例题1】（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）求值： ． 【答案】216 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】设，则， ，故， 因此，故， 因此， 故答案为：216 【点睛】关键点点睛：令，利用换底公式可得，根据对数的运算性质求解. 【变式2】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）应用指数的运算规则，包括负指数、分数指数以及根号与指数的转换，将每个部分化简到最基础的形式，从而可得出结果； （2）利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可. 【详解】（1）由题意可得，，， ，，将上述结果代入原式，可得： ； （2）由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： . 胡最终计算得到：. 【变式3】（23-24高一上·山东淄博·期中）计算下列各式的值： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解. （2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算法则，可得： . （2）解：由对数的运算法则及性质，可得： . 题型2：对数方程的求解 【例题2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换底公式可得，再利用对数的加法运算即可得到答案. 【详解】因为, 所以 同理可得 所以 故选：D 【变式1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设，是方程的两个实根，则 ． 【答案】1000 【分析】根据韦达定理和对数运算即可. 【详解】，即， 设，由题意是方程的两个根， 由根与系数关系得，即，所以. 故答案为：1000. 【变式2】（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）解关于的方程. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用换元法，将替换为进行求解； （2）先使用对数运算法则化简，然后再进行求解.在求解时，两问均需注意解的范围. 【详解】（1）即， 令（），原方程可化为， 解得（舍）或， ∴，∴，即. ∴原方程的解为. （2）原方程中需满足，即， ∵ ∴ ∴， ∴ 即， 解得（舍）或 ∴原方程的解为. 【变式3】（21-22高一·全国·课后作业）解关于的方程： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，可得，再利用对数的概念即得； （2）令，可得，可得或，再结合对数的概念即得. 【详解】（1）令，则原可式化为， 解得（舍去），（可取），即， ∴； （2）令，则原式变为， 即，解得或， 当时， 解得或，都不符合题意，舍去， 当时， 解得，解得（舍去）或（可取）， 综上. 题型3：对数的实际运用 【例题3】（23-24高一上·江西萍乡·期末）太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用．净化过程中，每过滤一次可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，至少需要过滤的次数为（参考数据：）（    ） A．42次 B．43次 C．44次 D．45次 【答案】C 【分析】由条件列不等式，结合指数、对数的运算性质求解即可. 【详解】设经过次过滤达到要求，原来水中杂质为1， 由题意，即， 所以， 所以， 所以至少需要过滤的次数为44次. 故选：C. 【变式1】（22-23高一上·浙江杭州·期中）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，） 【答案】 【分析】年后产生的垃圾为，得到不等式，解得答案. 【详解】年后产生的垃圾为，故， 即，即，即，故， 故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知放射性物质镭经过100年后，其剩余的质量为原来的95.76％，求约经过多少年后其剩余的质量为原来的50%．（参考数据：，） 【答案】约经过1601年后其剩余的质量为原来的50% 【分析】可设这种放射性物质最初的质量是1，经过百年后，剩余量是，利用指数函数列方程求出即可． 【详解】可设这种放射性物质最初的质量是1，经过百年后，剩余量是， 由题意得，令，两边取对数得，， 解得， 从而约经过1601年后其剩余的质量为原来的50%. 【变式3】（24-25高一上·上海·单元测试）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气剩余污染物数量P（mg/L）与过滤开始后的时间t（h）的关系为，其中为过滤开始时废气的污染物数量，k为常数，如果过滤开始后经过5个小时消除了10％的污染物，试求： (1)过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？ (2)求污染物减少50％所需要的时间． 【答案】(1)81％； (2)33小时. 【分析】（1）根据题意得到，求出，得到解析式，在代入，得到； （2）得到，求出，得到答案. 【详解】（1）由可知， 当时，； 当时，， 于是有， 解得， 那么， 当时， ， 所以过滤开始后经过10个小时还剩的81％污染物． （2）当时， 有， 解得， 所以污染物减少50％所需要的时间为33个小时． 易错点1：对数运算性质记忆或理解有误 【例题1】（23-24高一上·云南·期末）（    ） A．1 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用对数运算性质求解. 【详解】 故选：D 【变式1】（23-24高一上·安徽安庆·期末）（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可. 【详解】， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习） . 【答案】2 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】,. 故答案为：2 【变式3】（22-23高一上·山东枣庄·期中）(1)计算：. (2)计算的值. 【答案】(1)1 (2)6 【分析】（1）由指数的运算性质求解即可； （2）由对数的运算性质及指数运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） 易错点2：变形中忽视条件的等价性 【例题2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）（1）计算：； （2）解方程：. 【答案】（1）,（2）或 【分析】（1）根据指数幂的运算以及对数的性质即可计算， （2）根据换底公式，结合一元二次方程的求解即可. 【详解】（1） , （2）由得且，故， 故或，解得或 【变式1】（高一上·上海浦东新·期末）解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据指数性质化简方程，解得结果；（2）先转化为关于一元二次方程，解得，再根据对数方程得结果. 【详解】（1）∵，∴，∴. （2）解：令.∴原等式为. ∴ ∴或. ∴或. 【点睛】本题考查简单指数方程、对数方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式2】（23-24高一上·浙江宁波·期中）计算下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2） . 【变式3】（23-24高一上·上海·期末）解下列关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)答案见解析. 【分析】（1）由对数运算性质有，应用因式分解及对数函数性质求解即可； （2）由题设可得或，讨论、、，结合指对数函数性质求解. 【详解】（1）由题设且，又，即， 所以，可得或， 所以或. （2）由 所以或， 当，则无解，此时； 当，则或； 当，则无解，此时； 综上，时， 时或， 时. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式可得，再结合换底公式运算求解. 【详解】因为，则，即， 所以. 故选：C. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）化简等于（    ） A．14 B．0 C．1 D．6 【答案】B 【分析】根据指数幂运算结合对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： . 故选：B. 6．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用重要不等式能得出，故可以判断A；由，可得，整体代换即可判断B；先通过变形得出的取值范围，进而可以得出判断，即可判断C；由基本不等式可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，故，故选项A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故选项B错误； 对于C，因为，即，故， 所以，故选项C错误； 对于D，因为，当且仅当时取等号， 即，故选项D正确. 故选：D. 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，，则（   ） A．-5 B．-1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，可得是奇函数，则，又，则，即可求得. 【详解】设， 则， 所以是奇函数， 则， 所以， 因为， 所以， 则， 因为， 所以. 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂、对数的运算法则逐项判断即可. 【详解】对于A：，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，故错误； 对于D：，正确. 故选：BD 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 11．（24-25高一上·河北衡水·期中）若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解. 【详解】由根与系数的关系，得，， ， . 故选：. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质化简计算即得. 【详解】． 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】4 【分析】由已知结合对数运算法则可得，接着先由解得和，再由舍去即可得解. 【详解】因为，故， 所以，由得或， 又，所以舍去，故，则. 故答案为：. 14．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知，，则用，表示 【答案】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·单元测试）设α，β为方程的两个根，求的值． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据对数的运算性质得到，代入即可计算． 【详解】α，β为方程的两个根， ，， 原式化简为， 得． 16．（22-23高一·湖南岳阳·阶段练习）解关于的方程： (1) (2) 【答案】(1)或或或或或， (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解， （2）根据对数与指数的互化，即可由二次方程求解. 【详解】（1）因为，所以 ①，解得或； ②，解得或； ③，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，方程的解为或或或或或； （2）由得， 所以， 由于，所以，故， 故方程的解为 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 18．（22-23高一上·江苏镇江·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及根式的运算性质化简求值； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） 19．（23-24高一上·北京东城·期末）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. (1)按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； (2)另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为， 所以，解得，即注射了药品，的值为. （2）设药物注射量为，则小时后残余量为， 设药物注射量为，则小时后残余量为， 又题可知，药物注射量为，药物注射量为， 设小时后残余量相同，则， 即，两边取对数可得，即， 即，即， 即，即， 解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$