2.2简谐运动的描述（知识解读）-2024-2025学年高中物理同步知识点解读与专题训练（人教版2019选择性必修第一册）

2.2简谐运动的描述（知识解读）（原卷版） •知识点1 振幅 •知识点2 周期和频率 •知识点3 相位 •作业 巩固训练 知识点1 振幅 1、定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 （1）国际单位——米。 （2）振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示。 （3）振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A。 （4）振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 2、振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 【典例1-1】一弹簧振子完成20次全振动通过的路程是，则此弹簧振子的振幅为（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选）一个弹簧振子的振幅是A，周期为T，若在的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，质量均为m的物块甲、乙静止于倾角的固定光滑斜面上，二者间用平行于斜面的轻质弹簧相连，乙紧靠在垂直于斜面的挡板上。缓慢使甲压缩弹簧到某位置后撤去外力，此后甲在斜面上做简谐运动，乙恰好不能脱离挡板。弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，则甲的振幅为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）如图所示为水平面内振动的弹簧振子，O是平衡位置，A是最大位移处，不计小球与轴的摩擦，振幅为A，振动周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．若B是OA的中点，则从O到B的时间等于B到A的时间的一半 B．从小球运动到O点开始计时，时小球距O点的距离为 C．从O到A的过程中加速度不断减小 D．从O到A的过程中弹簧的弹性势能不断减小 【变式1-3】如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过、两点，历时，质点通过点后再经过又第次通过点，在这内质点通过的总路程为。则质点的振动周期为 s，振幅为 cm。 【变式1-3】周期和频率 知识点2 1、全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的。 2、周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 3、频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 4、周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 5、圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf. 【典例2-1】下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是（　　） A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率无关 C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关 【典例2-2】（多选）一质点做简谐运动，先后以相同速度依次经过A、B两点，历时3s，再经过3s第二次经过 B点，在这6s内质点通过的总路程为60cm。则该质点的（　　） A．周期可以是12s B．周期可以是15s C．振幅可以是30cm D．振幅可以是12cm 【变式2-1】下列关于机械振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是（   ） A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积可以变化 C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小 D．做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关 【变式2-2】（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。时振子的位移为0.2m，时位移为，则（　　） A．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 B．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 C．若振幅为0.4m，振子的周期可能为4s D．若振幅为0.4m，振子的周期可能为6s 【变式2-3】A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。    请根据图像写出： （1）A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是 cm，周期是 s。 （2）写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 ， 相位 知识点3 1、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0叫初相位。 2、相位概念：描述周期性运动在一个运动周期中的状态。 3、相位表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 3．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2。 【典例3-1】有两个简谐运动，其表达式分别是，，下列说法正确的是（  ） A．它们的振幅相同 B．它们的周期不相同 C．它们的频率相同 D．它们的相位相同 【典例3-2】（多选）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是（　　） A．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同 B．在10 s内质点经过的路程为20 cm C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm 【典例3-3】相位 （1）概念：物理学中把( )叫作相位，其中φ是t＝ 时的相位，叫初相位，或初相。 （2）意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的 。 （3）相位差：两个具有相同 的简谐运动的相位的差值， （）。 【变式3-1】如图所示为简谐运动甲的振动图像，另一简谐运动乙的振动周期与甲相同，相位比甲落后，则在0.75s时，下列说法正确的是（  ） A．甲对应质点的动能最大 B．甲对应质点的加速度最大 C．乙对应质点的相位为 D．乙对应质点的速度最大 【变式3-2】（多选）有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是（　　） A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同 B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同 C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是 D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是 【变式3-3】一位同学在研究某水平弹簧振子振动特性的过程中绘制出的弹簧振子的位移时间图像如图所示，请根据图中标注的数据，求： （1）该弹簧振子位移时间的函数表达式（用正弦函数表示，振子初相位取值范围为：）； （2）该弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程、时振子的位移以及0~6s内振子的位移。 一、单选题 1．关于做简谐运动物体的位移、速度、加速度的关系，下列说法正确的是（　　） A．位移减小时，速度增大，加速度也增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，但跟速度方向相同 C．物体远离平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同 D．物体的运动方向改变时，加速度方向也改变 2．如图，轻弹簧上端固定，下端悬挂一小钢球，把钢球从平衡位置O向下拉一段距离A，放手让其运动，A为振动的振幅，用停表测出钢球完成n个全振动所用的时间，，就是振动的周期。弹簧的弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量。现把振幅减小为原来的一半，则（　　） A．振动周期变为原来的一半 B．经过平衡位置的动能变为原来的一半 C．最大加速度变为原来的一半 D．若n的值取小一些，可以减小测量误差 3．如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，物块和木板之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是（　　） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍 B．若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相同 C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D．当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于kx 4．P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法中不正确的是（　　） A．P、Q的振幅之比是2∶1 B．P、Q的振动周期之比是2∶1 C．P、Q在0~1.2s内经过的路程之比是1∶1 D．时刻，P、Q的位移大小之比是4∶5 5．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cm B．0.5s末和1.1s末，振子的速度相同 C．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 D．振子做简谐运动的表达式为 6．有一弹簧振子，振幅为，周期为，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子依次从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b回到a的时间为1.2 s，则该振子的振动频率可能为（　　）    A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 8．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（　　） A．t=1s时，振子的速度为零 B．t=2s时，振子的加速度最大 C．t=3s时，振子的加速度为零 D．t=4s时，振子的速度为零 二、多选题 9．如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s再次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期T和振幅A分别为（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，在固定的光滑水平硬杆上，套有上端开口的滑块，滑块的质量为，滑块的左端与一弹簧连接，弹簧的左端与墙壁固连，弹簧原长时滑块所处位置记为，在点正上方处有一比滑块开口略小、质量为的小球，初始时滑块静置于点左侧的处，现将滑块与小球同时由静止释放，发现滑块第一次经过点时小球恰好嵌于其中，忽略嵌入时间，已知弹簧的弹性势能的公式为，为弹簧的形变量，弹簧振子的周期公式为，为弹簧振子的质量，为弹簧的劲度系数，取，，则（    ） A．弹簧的劲度系数为 B．小球落入滑块后振子的振幅变为 C．滑块释放后内的路程为 D．滑块释放后内的路程为 11．在水平方向上做简谐运动的弹簧振子，若其振动的周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．从某一时刻算起，经过的时间，回复力做的功一定为零 B．从某一时刻算起，经过的时间，弹簧振子的速度变化量一定为零 C．若，则在t时刻和时刻，弹簧振子运动的速度可能不等 D．若，则在t时刻和时刻，弹簧的形变量一定相等 三、填空题 12．如图所示为一弹簧振子的振动图像，取向右为正，、、、、、是虚线与图像的交点，请在前内填空，则与点速度相同的点有 ，速度的方向 ，振子子从运动到所用的时间为 s，通过的路程为 ，简谐振动的方程式（请用正弦表示）是： 。    13．如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时2s，质点通过N点后再经过1s又第2次通过N点，在这3s内质点通过的总路程为20cm。则质点的振幅为 cm，质点从第2次通过N点到第3次通过N点需时间 s。 四、解答题 14．两木块A、B质量分别为m和M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，在木块A上施加一外力F，整个系统处于静止状态，如图所示。撤去外力F，木块A做简谐运动，在木块A振动到最高点时，木块B刚好没有离开地面。重力加速度为g，求： (1)木块A加速度的最大值； (2)木块B对地面压力的最大值； (3)使B离开地面时外力F的最小值。 15．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)请写出该弹簧振子的振幅和频率； (2)该振子在第时的位移是多少?前内的路程是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2简谐运动的描述（知识解读）（解析版） •知识点1 振幅 •知识点2 周期和频率 •知识点3 相位 •作业 巩固训练 知识点1 振幅 1、定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 （1）国际单位——米。 （2）振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示。 （3）振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A。 （4）振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 2、振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 【典例1-1】一弹簧振子完成20次全振动通过的路程是，则此弹簧振子的振幅为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】一弹簧振子完成20次全振动通过的路程是，则有 解得弹簧振子的振幅为 故选A。 【典例1-2】（多选）一个弹簧振子的振幅是A，周期为T，若在的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A．弹簧振子做简谐运动，物体在一个周期内通过的路程一定为，由简谐运动的周期性可知，若，则一定有，故A正确； B．半个周期内的路程一定为，即若，则一定有 故B正确； CD．在简谐运动中，内的路程不一定等于，其大小可以大于，可以小于，也可以等于，但一定小于，故CD错误。 故选AB。 【变式1-1】如图所示，质量均为m的物块甲、乙静止于倾角的固定光滑斜面上，二者间用平行于斜面的轻质弹簧相连，乙紧靠在垂直于斜面的挡板上。缓慢使甲压缩弹簧到某位置后撤去外力，此后甲在斜面上做简谐运动，乙恰好不能脱离挡板。弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，则甲的振幅为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲在平衡位置时弹簧的压缩量为 甲在最高点时弹簧伸长量 则甲的振幅 故选B。 【变式1-2】（多选）如图所示为水平面内振动的弹簧振子，O是平衡位置，A是最大位移处，不计小球与轴的摩擦，振幅为A，振动周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．若B是OA的中点，则从O到B的时间等于B到A的时间的一半 B．从小球运动到O点开始计时，时小球距O点的距离为 C．从O到A的过程中加速度不断减小 D．从O到A的过程中弹簧的弹性势能不断减小 【答案】AB 【详解】A．若B是OA的中点可得 解得从O到B的时间为 B到A的时间为 所以 故A正确； B．将代入方程 可得 故B正确； C．O到A的过程中，回复力增加，则加速度增加，故C错误； D．从O到A的过程中弹簧的伸长量不断增大，则弹簧的弹性势能不断增大，故D错误。 故选AB。 【变式1-3】如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过、两点，历时，质点通过点后再经过又第次通过点，在这内质点通过的总路程为。则质点的振动周期为 s，振幅为 cm。 【答案】 4 6 【详解】[1][2]质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过、两点，历时，过点后再经过质点以方向相反、大小相同的速度再次通过点，可知开始时质点运动的方向向右；质点先后以相同的速度依次通过、两点，可知、两点关于平衡位置点对称，所以质点由到的时间与由到的时间相等，那么平衡位置到点的时间为 因过点后再经过质点以方向相反、大小相同的速度再次通过点，则质点从点到最大位移处的时间为 因此质点振动的周期为 结合以上分析可知，质点从到，然后以相反的方向再到恰好经过了半个周期，则质点在这内质点通过的总路程为 解得振幅为 【变式1-3】周期和频率 知识点2 1、全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的。 2、周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 3、频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 4、周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 5、圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf. 【典例2-1】下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是（　　） A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率无关 C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关 【答案】D 【详解】A．振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量。故A错误； B．周期和频率互为倒数，即 故B错误； CD．做简谐运动的物体的振动周期和频率只与振动系统本身有关，与振幅无关。故C错误；D正确。 故选D。 【典例2-2】（多选）一质点做简谐运动，先后以相同速度依次经过A、B两点，历时3s，再经过3s第二次经过 B点，在这6s内质点通过的总路程为60cm。则该质点的（　　） A．周期可以是12s B．周期可以是15s C．振幅可以是30cm D．振幅可以是12cm 【答案】AC 【详解】设简谐运动的平衡位置为O，AB两点分别为O点的左右两侧，质点先向右通过A点，则质点先后以相同的速度通过A、B两点，说明A、B两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O时间与由O到B的时间相等。 那么从平衡位置O到B点的时间 t1=1.5s；因过B点后质点再经过t=3s又第二次通过B点，根据对称性得知质点从B点到最大位置的时间 t2=1.5s；因此质点振动的周期是 T=4×（t1+t2）=12s 质点做简谐运动时，每个周期内通过的路程是4A，由于 t=6s=T 质点通过的路程为2A，即 2A=60cm 所以振幅 A=30cm 故选AC。 【变式2-1】下列关于机械振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是（   ） A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处 B．周期和频率的乘积可以变化 C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小 D．做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关 【答案】D 【详解】A．振幅是标量，故A错误； B．由于周期与频率互成倒数，则周期和频率的乘积为1，保持不变，故B错误； CD．做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关；所以振幅增大，周期和频率保持不变，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2-2】（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。时振子的位移为0.2m，时位移为，则（　　） A．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 B．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 C．若振幅为0.4m，振子的周期可能为4s D．若振幅为0.4m，振子的周期可能为6s 【答案】AD 【详解】AB．若振幅为0.2m，则 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 当时 当时 当时 …… 故周期可能为,不可能是，A正确，B错误； C．若振幅为0.4m，则可能 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 或者 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 或者 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 故当时 或或 当时 或或 当时 或或 …… 故周期可能为6s，不可能为4s，C错误，D正确。 故选AD。 【变式2-3】A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。    请根据图像写出： （1）A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是 cm，周期是 s。 （2）写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 ， 【答案】 0.5 0.4 0.2 0.8 xA = 0.5sin(5πt＋π)cm 【详解】（1）[1][2]由题图知，A的振幅是0.5cm，周期是0.4s； [3][4]B的振幅是0.2cm，周期是0.8s。 （2）[5]由题图知，t = 0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA = π，由TA = 0.4s得 则简谐运动的表达式为 xA = 0.5sin(5πt＋π)cm [6]t = 0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，，由TB = 0.8s，得 则简谐运动的表达式为 相位 知识点3 1、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0叫初相位。 2、相位概念：描述周期性运动在一个运动周期中的状态。 3、相位表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。 3．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2。 【典例3-1】有两个简谐运动，其表达式分别是，，下列说法正确的是（  ） A．它们的振幅相同 B．它们的周期不相同 C．它们的频率相同 D．它们的相位相同 【答案】C 【详解】A．由题可知，它们振幅分别为 故A错误； BC．根据简谐运动的表达式可知 它们的周期 相同，它们的频率 相同，故B错误，C正确； D．它们的相位分别为 故D错误。 故选C。 【典例3-2】（多选）一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列叙述中正确的是（　　） A．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同 B．在10 s内质点经过的路程为20 cm C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是cm 【答案】BD 【详解】A．1 s时质点位于正向最大位移处，3 s时质点处于负向最大位移处，故位移方向相反，故A错误； B．一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm，10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确； C．由图像知位移与时间的关系为 x＝Asin（ωt＋φ0）＝0.02sin（t）m 当t＝5 s时，其相位 ωt＋φ0＝×5＝ 故C错误； D．在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同 x＝Asin 135°＝A＝cm 故D正确。 故选BD。 【典例3-3】相位 （1）概念：物理学中把( )叫作相位，其中φ是t＝ 时的相位，叫初相位，或初相。 （2）意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的 。 （3）相位差：两个具有相同 的简谐运动的相位的差值， （）。 【答案】 ωt＋φ 0 状态 频率 φ1－φ2 【详解】（1）[1][2]物理学中把叫作相位，其中φ是时的相位，叫初相位，或初相。 （2）[3]相位是描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态； （3）[4][5]相位差是指两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值，。 【变式3-1】如图所示为简谐运动甲的振动图像，另一简谐运动乙的振动周期与甲相同，相位比甲落后，则在0.75s时，下列说法正确的是（  ） A．甲对应质点的动能最大 B．甲对应质点的加速度最大 C．乙对应质点的相位为 D．乙对应质点的速度最大 【答案】C 【详解】AB．简谐运动的圆频率 甲做简谐运动的表达式为 乙做简谐运动的表达式为 在0.75s时甲对应质点不在平衡位置，也不在最远位置，速度不是最大，动能不是最大，加速度也不是最大，故AB错误； CD．乙对应质点的相位为 速度为零，故C正确，D错误。 故选C。 【变式3-2】（多选）有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是（　　） A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同 B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同 C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是 D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是 【答案】BD 【详解】AB．1的振幅为3a，2的振幅为9a，所以两个弹簧振子1和2的振幅不同；1的频率为 2的频率为 所以两个弹簧振子1和2的频率相同，故A错误，B正确； CD．从公式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误；D正确。 故选BD。 【变式3-3】一位同学在研究某水平弹簧振子振动特性的过程中绘制出的弹簧振子的位移时间图像如图所示，请根据图中标注的数据，求： （1）该弹簧振子位移时间的函数表达式（用正弦函数表示，振子初相位取值范围为：）； （2）该弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程、时振子的位移以及0~6s内振子的位移。 【答案】（1）；（2）0.8m，0.2m，0m 【详解】（1）由图像可知，振子的周期为 又角速度为 由图像可得简谐运动的位移随时间变化的关系式为 （2）由简谐运动的周期性，一个周期内通过的路程为，所以该弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为 由图像可知，时振子的位移为 由于弹簧振子做周期运动，故0~6s内的时间，则有 所以振子回到原位置，振子的位移为0m。 一、单选题 1．关于做简谐运动物体的位移、速度、加速度的关系，下列说法正确的是（　　） A．位移减小时，速度增大，加速度也增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，但跟速度方向相同 C．物体远离平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同 D．物体的运动方向改变时，加速度方向也改变 【答案】C 【详解】A．位移减小时，物体向平衡位置运动，速度增大，加速度减小，故A错误； B．位移方向由平衡位置指向物体所在位置，加速度方向由物体所在位置指向平衡位置，故位移方向总跟加速度方向相反，但位移方向与速度方向可能相同也可能相反，故B错误； C．位移方向由平衡位置指向物体所在位置，物体远离平衡位置运动时，二者方向相同，故C正确； D．加速度方向由物体所在位置指向平衡位置，与运动方向无关，故D错误。 故选C。 2．如图，轻弹簧上端固定，下端悬挂一小钢球，把钢球从平衡位置O向下拉一段距离A，放手让其运动，A为振动的振幅，用停表测出钢球完成n个全振动所用的时间，，就是振动的周期。弹簧的弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量。现把振幅减小为原来的一半，则（　　） A．振动周期变为原来的一半 B．经过平衡位置的动能变为原来的一半 C．最大加速度变为原来的一半 D．若n的值取小一些，可以减小测量误差 【答案】C 【详解】A．弹簧振子的周期公式 可知把振幅减小为原来的一半，钢球振动周期不变，故A错误； B．设平衡位置弹簧的形变量为，则有 开始时，钢球从释放到运动至平衡位置的过程中，根据能量守恒定律有 其中 ， 联立解得 同理，振幅减小一半时，可求得 可知 即经过平衡位置的动能不会变为原来的一半，故B错误； C．钢球在平衡位置时，则有 振幅为A时，最大加速度满足 振幅为时，最大加速度满足 联立解得 故C正确； D．若n的值取小一些，测量误差会增大，故D错误。 故选C。 3．如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，物块和木板之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是（　　） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍 B．若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相同 C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D．当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于kx 【答案】D 【详解】A．设位移为x，对整体受力分析，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据牛顿第二定律，有 对物块受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供回复力，根据牛顿第二律，有 解得 若t时刻和（t＋Δt）时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则两个时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，但Δt不一定等于的整数倍，故A错误； B．若Δt＝，则在 t 时刻和（t＋Δt）时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，弹簧的长度不一定相同，故B错误； C．由开始时的分析可知，研究木板的运动，弹簧弹力与物块对木板的摩擦力的合力提供回复力，故C错误； D．整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间摩擦力的大小等于，故D正确。 故选D。 4．P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法中不正确的是（　　） A．P、Q的振幅之比是2∶1 B．P、Q的振动周期之比是2∶1 C．P、Q在0~1.2s内经过的路程之比是1∶1 D．时刻，P、Q的位移大小之比是4∶5 【答案】D 【详解】A．由振动图像可知P的振幅为10cm，Q的振幅为5cm，则P、Q的振幅之比是2∶1，故A正确； B．由振动图像可知P的周期为1.2s，Q的周期为0.6s，则P、Q的周期之比是2∶1，故B正确； C．在0~1.2s内P完成一个周期的振动，则路程为40cm，Q完成两个周期的振动，则路程也为40cm，故路程之比是1∶1，故C正确； D．P和Q离开平衡位置的位移方程为 ， 则时刻，P、Q的位移分别为 ， 则P、Q的位移大小之比是，故D错误。 本题选错误的，故选D。 5．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cm B．0.5s末和1.1s末，振子的速度相同 C．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 D．振子做简谐运动的表达式为 【答案】C 【详解】AD．由题图可知，振子的周期为1.6s，振幅为12cm，则有 设振子做简谐运动的表达式为 解得 故AD错误； B．由图可知，0.5s末振子从平衡位置向最大位移处运动，1.1s末振子从最大位移处向平衡位置运动，所以振子在这两个时刻的速度方向不相同，故B错误； C．由图可知，在时间内弹簧振子从平衡位置移动到最大位移处，该过程中，弹簧振子做减速运动，即振子的速度和加速度方向始终相反，故C正确。 故选C。 6．有一弹簧振子，振幅为，周期为，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知 ，，时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即时 所以振动方程是 故选A。 7．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子依次从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b回到a的时间为1.2 s，则该振子的振动频率可能为（　　）    A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 【答案】B 【详解】分情况讨论，当振子回到a时速度方向水平向左，则 根据周期与频率的关系，可得 当n=1时，则有 当振子回到a时速度方向水平向右，则 可得 可知，振子的振动频率不可能为1Hz，2Hz，2.5Hz。 故选B。 8．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（　　） A．t=1s时，振子的速度为零 B．t=2s时，振子的加速度最大 C．t=3s时，振子的加速度为零 D．t=4s时，振子的速度为零 【答案】A 【详解】A．t=1s时，振子到达正的最大位移处，速度为零，故A正确； B．t=2s时，振子处于平衡位置，其加速度为零，故B错误； C．t=3s时，振子处于负的最大位移处，加速度最大，故C错误； D．t=4s时，振子处于平衡位置，速度最大，故D错误。 故选A。 二、多选题 9．如图所示，一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s再次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期T和振幅A分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．因质点通过M、N两点时的速度相同，说明M、N两点关于平衡位置对称，由时间的对称性可知，质点由N点到最大位移处的最短时间与由M点到最大位移处的最短时间相等，均为 则 即 A错误，B正确； CD．由对称性可知，质点在这2s内通过的路程恰为2A，则 ， C正确，D错误。 故选BC。 10．如图所示，在固定的光滑水平硬杆上，套有上端开口的滑块，滑块的质量为，滑块的左端与一弹簧连接，弹簧的左端与墙壁固连，弹簧原长时滑块所处位置记为，在点正上方处有一比滑块开口略小、质量为的小球，初始时滑块静置于点左侧的处，现将滑块与小球同时由静止释放，发现滑块第一次经过点时小球恰好嵌于其中，忽略嵌入时间，已知弹簧的弹性势能的公式为，为弹簧的形变量，弹簧振子的周期公式为，为弹簧振子的质量，为弹簧的劲度系数，取，，则（    ） A．弹簧的劲度系数为 B．小球落入滑块后振子的振幅变为 C．滑块释放后内的路程为 D．滑块释放后内的路程为 【答案】BC 【详解】A．由题意可知，小球落入滑块中的时间为 小球落入滑块前，滑块的周期为 根据弹簧振子的周期公式为 代入数据可知，弹簧的劲度系数为 故A错误； B．小球落入滑块前，由能量守恒定律 由动量守恒定律 小球落入滑块后，由能量守恒定律 联立解得，小球落入滑块后振子的振幅变为 故B正确； CD．小球落入滑块后，弹簧振子的周期为 其中 联立可得 滑块释放后内的路程为 故C正确，D错误。 故选BC。 11．在水平方向上做简谐运动的弹簧振子，若其振动的周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．从某一时刻算起，经过的时间，回复力做的功一定为零 B．从某一时刻算起，经过的时间，弹簧振子的速度变化量一定为零 C．若，则在t时刻和时刻，弹簧振子运动的速度可能不等 D．若，则在t时刻和时刻，弹簧的形变量一定相等 【答案】AD 【详解】AB．振子经过的时间刚好到达与初位置关于平衡位置对称的位置，其在两位置的速度均为零（初位置在最大位移处时）或大小相等、方向相反，则弹簧振子速度变化量的大小为零或为其在初位置处速度大小的两倍，且由动能定理知，回复力做的功一定为零，故A正确，B错误； C．在相隔时间为T的两个时刻，振子一定位于同一位置，状态完全相同，速度一定相等，故C错误。 D．在相隔时间为的两个时刻，振子的位移大小相等，弹簧的形变量一定相等，D正确。 故选AD。 三、填空题 12．如图所示为一弹簧振子的振动图像，取向右为正，、、、、、是虚线与图像的交点，请在前内填空，则与点速度相同的点有 ，速度的方向 ，振子子从运动到所用的时间为 s，通过的路程为 ，简谐振动的方程式（请用正弦表示）是： 。    【答案】 、/、 沿轴负方向 2 12 【详解】[1][2]由图像可知，在前内填空，则与点速度相同的点有：、；速度的方向沿轴负方向； [3][4]由图像结合对称性可知，振子子从运动到所用的时间为 通过的路程为 [5]简谐振动的方程为 13．如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时2s，质点通过N点后再经过1s又第2次通过N点，在这3s内质点通过的总路程为20cm。则质点的振幅为 cm，质点从第2次通过N点到第3次通过N点需时间 s。 【答案】 10 5 【详解】[1]质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，通过N点后再经过1s又第2次通过N点，根据简谐运动的对称性可知，M、N两点关于平衡位置对称，N点向右第一次运动到右侧振幅位置的时间为0.5s，N点到右侧振幅位置的间距等于M点到左侧振幅位置的间距，则有 2A=20cm 解得 A=10cm [2]结合上述可知 解得 T=6s 质点从第2次通过N点到第3次通过N点需时间 四、解答题 14．两木块A、B质量分别为m和M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，在木块A上施加一外力F，整个系统处于静止状态，如图所示。撤去外力F，木块A做简谐运动，在木块A振动到最高点时，木块B刚好没有离开地面。重力加速度为g，求： (1)木块A加速度的最大值； (2)木块B对地面压力的最大值； (3)使B离开地面时外力F的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当弹簧处于伸长至最长状态时，B刚好对地面压力为零，弹簧的弹力大小 此时木块A有最大加速度。由 得 （2）由简谐运动的对称性可知，当木块A运动至最低点时，木块A的加速度大小为，此时弹簧处于压缩状态，根据牛顿第二定律得 可得弹簧的弹力大小 所以 （3）要使木块B离开地面，当弹簧处于伸长至最长状态，B刚好对地面压力为零时，F取最小值。当F取最小值，A运动至最高点时，回复力大小 根据简谐运动的对称性，撤去外力时，回复力大小 所以 15．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)请写出该弹簧振子的振幅和频率； (2)该振子在第时的位移是多少?前内的路程是多少? 【答案】(1)8cm；0.5Hz (2)0；8m 【详解】（1）由图像可知，A=8cm，周期T=2s，根据周期与频率的公式，有 （2）依题意，有 故在第50s时的位移为零，在前50s内的路程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$