13.1 三角形中的边角关系（6种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

13.1 三角形中的边角关系（6种题型基础练+能力提升练） 一．三角形（共5小题） 1．（2023秋•蜀山区期末）△的三角之比是，则△是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．（2023秋•无为市月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以为顶点的三角形的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023秋•大观区校级期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，，则是钝角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 4．（2023秋•阜南县校级期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能　　 A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 5．（2023秋•阜南县校级期中）如图，以为边的三角形的个数是 　　． 二．三角形的角平分线、中线和高（共4小题） 6．（2024秋•太和县月考）下列四个图形中，线段是△的高的是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•肥西县期末）如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是　　 A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 8．（2024秋•庐江县校级月考）如图，在△中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则△与△的周长差为　　； （2）若，是△的高，求的度数． 9．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长． 三．三角形的面积（共4小题） 10．（2023秋•芜湖县期中）如图，在中，已知点、分别为边、、上的中点，且，则的值为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•池州期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，中，，是的两条高，，． （1）请画出，； （2）若，求的长． 13．（2023秋•安庆期中）如图，中，是边上的中线，是边上的高． （1）若，求的度数； （2）若，，求高的长． 四．三角形三边关系（共4小题） 14．（2024秋•庐江县校级月考）已知三角形两边的长分别是5和8，则此三角形第三边的长可能是　　 A．3 B．6 C．13 D．16 15．（2024秋•庐江县月考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 16．（2024秋•太和县月考）已知△三边分别是、、，化简　　 17．（2023秋•金安区校级期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长． （1）求的取值范围； （2）若为整数，当为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 五．三角形内角和定理（共7小题） 18．（2023秋•和县期末）已知△的三个内角度数之比为，则此三角形是　　三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 19．（2024秋•太和县月考）如图在△中，为边上一点，，平分，，，则　　 A． B． C． D． 20．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，△和△是△分别沿着，边翻折形成的，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•阜南县校级期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 　　． 22．（2023秋•宁国市期末）如图，在中，与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度，则与之间的函数关系式为 　　． 23．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，在△中，，的平分线相交于点． （1）若，则　　； （2）若，则　　； （3）试探索与之间有怎样的数量关系？ 24．（2023秋•怀宁县期末）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为 　　； （2）若，求的度数． 六．三角形的外角性质（共7小题） 25．（2023秋•海曙区校级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•南陵县校级期中）在中，的平分线与的外角平分线相交于点，，则等于　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•金安区校级期中）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•裕安区校级期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•田家庵区校级月考）如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，、分别是、上的点，点在的延长线上，，，，则． 31．（2023秋•庐江县期中）如图，在中，平分，，，求，的度数． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•宁国市期末）将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•庐江县校级月考）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③④；⑤．其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023秋•太湖县期末）如图，在中，已知，，分别是边，，的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为　　 A．14 B．21 C．28 D．32 4．（2023秋•怀宁县期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是　　 A．9 B．12 C．18 D．20 5．（2023秋•合肥期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得．则的度数为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•霍邱县月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是轴上一点． （1）若点在直线上，则点的坐标为 　　； （2）已知表示图形的面积，若，则点的坐标 　　． 7．（2023秋•淮北期末）如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则　　． 8．（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　　． 9．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，在中，已知点、分别是、边上的中点，且，则的值为 　　． 10．（2024•镜湖区校级开学）不等边三角形的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，则它的长为　　． 三．解答题（共10小题） 11．（2023秋•南陵县期末）如图，中，，平分，，，求的度数． 12．（2023秋•金寨县期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，求的度数． 13．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 14．（2023秋•凤阳县期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为 ． （1）第三边的范围为 　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 15．（2023秋•颍州区期末）如图，在中，为角平分线，为边上一点（不与点，重合），连接交于点． （1）若，为高，求的度数； （2）若，为角平分线，求的度数． 16．（2024秋•太和县月考）如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 17．（2024秋•太和县月考）在△中，平分，． （1）如图①，若于点，，，求的度数； （2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图②，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出、、之间的数量关系，并说明理由． 18．（2024秋•庐江县校级月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”， 为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角” ，． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 19．（2023秋•安庆期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）如图1，在“对顶三角形” 与中，，则　　． （2）如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． 20．（2024秋•鸠江区校级月考）（1）如图1，平分，，，． ①　　，　　； ②如图2．若把“”变成“点在的延长线上，”，其它条件不变，求的度数； （2）如图3，平分，平分，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形中的边角关系（6种题型基础练+能力提升练） 一．三角形（共5小题） 1．（2023秋•蜀山区期末）△的三角之比是，则△是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【分析】设，则，，再根据三角形内角和定理求出的值，进而可得出结论． 【解答】解：在△中，若， 设，则，， ， 解得， ， 此三角形是直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 2．（2023秋•无为市月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以为顶点的三角形的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：以为顶点的三角形有，，，共4个三角形， 故选：． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 3．（2023秋•大观区校级期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，，则是钝角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【解答】解：．若，则，，，所以是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； ．若，，则，所以是钝角三角形，故此选项判断不正确，符合题意； ．若，，则，，所以是钝角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； ．若，则，，所以是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记等腰三角形的性质和判定定理是解此题的关键． 4．（2023秋•阜南县校级期中）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能　　 A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形 C．都是钝角三角形 D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 5．（2023秋•阜南县校级期中）如图，以为边的三角形的个数是 　4　． 【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【解答】解：以为边的三角形的有△，△，△，△，一共有4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是三角形的认识，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 二．三角形的角平分线、中线和高（共4小题） 6．（2024秋•太和县月考）下列四个图形中，线段是△的高的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是△的高，再结合图形进行判断． 【解答】解：线段是△的高的图是选项． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 7．（2023秋•肥西县期末）如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是　　 A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，这样就很容易判断出选项的错误；由于，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出是否是的高，这样也能得出选项的正误． 【解答】解：、由图可知：是的中线，正确，不符合题意； 、由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意； 、是的角平分线， ， 是中线， ， 不正确，符合题意． 、由图可知： 是的高，正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 8．（2024秋•庐江县校级月考）如图，在△中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则△与△的周长差为　1　； （2）若，是△的高，求的度数． 【分析】（1）首先由是中线得，再分别求出△和△的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据是△的高得，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的外角定理可得的度数． 【解答】解：（1）是中线， ， ，， △的周长，△的周长， △的周长△的周长． 故答案为：1． （2）是△的高， ， ，是△的角平分线， ， ． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的外角定理进行角度的计算是解答此题的关键． 9．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长． 【分析】根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式列方程，解方程得到答案． 【解答】解：设，则， 是边上的中线， ， 由题意得：，， 解得：，， ， ， 的长为44，的长为34， 答：的长为44，的长为34． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 三．三角形的面积（共4小题） 10．（2023秋•芜湖县期中）如图，在中，已知点、分别为边、、上的中点，且，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据为的中点，可得、分别是、的中线，然后根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，可得，，所以，据此求出的值为多少即可． 【解答】解：为的中点， 、分别是、的中线， 、， ， 即的值为． 故选：． 【点评】（1）此题主要考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个三角形的高一定时，面积和底成正比． （2）此题还考查了三角形的中线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 11．（2023秋•池州期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可． 【解答】解：是的边上的中线，的面积为， 的面积为：， 是的边上的中线， 的面积为：， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 12．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，中，，是的两条高，，． （1）请画出，； （2）若，求的长． 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图， （2）， ， ． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形高的定义及三角形的面积公式是解题的关键． 13．（2023秋•安庆期中）如图，中，是边上的中线，是边上的高． （1）若，求的度数； （2）若，，求高的长． 【分析】（1）根据三角形高的定义和三角形的外角性质解答即可； （2）根据三角形的面积公式和中线的性质解答即可． 【解答】解：（1）是边上的高， ， 又， ； （2）是上的中线，， 为的中点， ， 是边上的高，， ， 即， ． 【点评】此题考查三角形的面积，关键是根据三角形的面积和中线的性质解答． 四．三角形三边关系（共4小题） 14．（2024秋•庐江县校级月考）已知三角形两边的长分别是5和8，则此三角形第三边的长可能是　　 A．3 B．6 C．13 D．16 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解即可． 【解答】解：设三角形第三边的长为，则：， ， 三角形第三边的长可能是6； 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，两天的关键是理解三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 15．（2024秋•庐江县月考）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． 【解答】解：、，不能摆成三角形，不符合题意； 、，不能摆成三角形，不符合题意； 、，不能摆成三角形，不符合题意； 、，能摆成三角形，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 16．（2024秋•太和县月考）已知△三边分别是、、，化简　　 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【解答】解：、、分别为△的三边长， ，，， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质． 17．（2023秋•金安区校级期末）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长． （1）求的取值范围； （2）若为整数，当为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 【分析】（1）根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，即可解决问题； （2）根据取值范围确定第三边，然后求得答案即可． 【解答】解：（1）三角形的第三边大于两边之差小于两边之和， 三角形的两边长分别是5、7， 则第三边长的取值范围是； （2）为整数， 当时，组成的三角形的周长最大， 最大值是． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 五．三角形内角和定理（共7小题） 18．（2023秋•和县期末）已知△的三个内角度数之比为，则此三角形是　　三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 【分析】根据三角度数的比和三角形内角和定理将三角形的三角分别求出来，然后判定三角形的形状． 【解答】解：△的三个内角度数之比为， 设三角的度数分别为：， 解得：， 三个内角的度数分别为：， 此三角形为锐角三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题时可以用设未知数列方程的方法分别求出三内角的度数，然后判断形状． 19．（2024秋•太和县月考）如图在△中，为边上一点，，平分，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得的度数，再根据三角形内角和．即可求得的度数． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，△和△是△分别沿着，边翻折形成的，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由翻折得，，由，得到，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【解答】解：由翻折得，， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是记住三角形的内角和为． 21．（2023秋•阜南县校级期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 　　． 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 22．（2023秋•宁国市期末）如图，在中，与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度，则与之间的函数关系式为 　　． 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可得出，由角平分线的定义，可得出，进而推导出． 【解答】解：如图，与相交于点， 与的平分线交于点，， ，． ，， ， ①， 又， ， ②， ①②得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及函数关系式，根据各角之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 23．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，在△中，，的平分线相交于点． （1）若，则　　； （2）若，则　　； （3）试探索与之间有怎样的数量关系？ 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，，再由三角形内角和定理得到，从而求得，再由三角形内角和定理即可得到； （2）先由三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，，即，从而得到，再由进行求解即可； （3）同（1）方法进行求解即可． 【解答】解：（1）、的平分线相交于点， ，， ，， ， ， ， ； 故答案为：； （2），， ， 、的平分线相交于点， ，， ， ， 又， ； 故答案为：； （3）、的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（2023秋•怀宁县期末）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为 　　； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解． 【解答】（1）解：、是、的角平分线， ， 在中，， ， ． 故答案为：； （2）解：在中，是高，，， ， 是的角平分线， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 六．三角形的外角性质（共7小题） 25．（2023秋•海曙区校级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 26．（2023秋•南陵县校级期中）在中，的平分线与的外角平分线相交于点，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的性质及三角形内角与外角的关系解答． 【解答】解：中，的平分线与的外角平分线， ， 又， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 27．（2023秋•金安区校级期中）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据角平分线的定义及平角的定义证明，然后根据三角形外角定理得，据此可求出的度数． 【解答】解：平分，平分， ，， ， ， 即：， ，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义及平角的定义，三角形的外角定理，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角定理是解答此题的关键． 28．（2023秋•裕安区校级期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：由三角板的性质可得：，， ． 故选：． 【点评】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． 29．（2023秋•田家庵区校级月考）如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线可得，同理，再根据四边形内角和即可得的度数． 【解答】解：方法一：、分别平分、， ，， ， 、分别平分三角形的两个外角、， ，， ， ． 方法二：、分别平分、， ，， 、分别平分三角形的两个外角、， ，， ， 同理可得：， 在四边形中，根据内角和为， ． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练运用角平分线是解题关键． 30．（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，、分别是、上的点，点在的延长线上，，，，则． 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：， ， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 31．（2023秋•庐江县期中）如图，在中，平分，，，求，的度数． 【分析】根据角平分线的定义求出，再用三角形内角和定理求出，再用外角的性质求出的度数即可． 【解答】解：平分，， ， ，， ， 是的外角， ． 【点评】此题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握定理的用法是解题的关键． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•宁国市期末）将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”以及对顶角相等的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，由题意，， 由外角的性质可得：， 故选：． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角的性质． 2．（2024秋•庐江县校级月考）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③④；⑤．其中正确的结论有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据相关判定定理和性质，逐项判断，即可得到答案． 【解答】解：①平分， ， ，， ， ， ，故①正确， ②， ， 平分，， ，故②正确； ③，， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④平分， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ，故④正确； ⑤由④得，， ， ， ，故⑤不正确． 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质、平行线的判定和性质、含角平分线的三角形内角和定理的应用，关键是三角形外角性质的应用． 3．（2023秋•太湖县期末）如图，在中，已知，，分别是边，，的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为　　 A．14 B．21 C．28 D．32 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】解：点是的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 4．（2023秋•怀宁县期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是　　 A．9 B．12 C．18 D．20 【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【解答】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 又是的边上的中线，则是的边上的中线， ，， 则， 故选：． 【点评】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键． 5．（2023秋•合肥期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得．则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据图中的三角尺两个角是60度和45度，求出的度数；再根据三角形的内角和是180度，求出的度数． 【解答】解：如图， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据平角和三角形内角和的度数来解答． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•霍邱县月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是轴上一点． （1）若点在直线上，则点的坐标为 　　； （2）已知表示图形的面积，若，则点的坐标 　　． 【分析】（1）求出直线与轴的交点坐标即可； （2）根据，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）设直线的解析式为：， 把，，代入得： ， 解得：， ， 当时，， 点的坐标为； 故答案为：； （2）设直线与轴的交点为点，则点的坐标为， 设， ，， ，， ， ， 或， 或， 解得：或， 或； 故答案为：或． 【点评】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 7．（2023秋•淮北期末）如图，是△中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则　30　． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【解答】解：是△中的平分线，是的外角的平分线， ，， 是△的外角， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 8．（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　　． 【分析】先求出折叠的小三角形的两个折叠角的度数，再根据折叠后的两个角相等和平角的定义求出答案． 【解答】解：， 将折叠， 小三角形折叠的两个角的和为， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质和三角形内角和是来解答． 9．（2024秋•鸠江区校级月考）如图，在中，已知点、分别是、边上的中点，且，则的值为 　12　． 【分析】由点是的中点，则有，则有，再由点是的中点，则有，，从而得，从而可求的面积． 【解答】解：点是边上的中点，， ， ， 点是的中点， ，， ， 即， ， ． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 10．（2024•镜湖区校级开学）不等边三角形的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，则它的长为　5　． 【分析】先设长为4和12的高分别为、边上的高，边上的高设为，三角形的面积设为，根据三角形面积公式可有，，，再结合三角形三边关系建立不等式，解出即可． 【解答】解：设长为4和12的高分别为、边上的高，边上的高设为，三角形的面积设为， 则，，， 由三角形三边关系可得， 即， 化简后得：，又为整数， 则或5， 当时，，这与三角形不等边矛盾， 故． 故答案为：5． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，解不等式，求出整数值后，特别注意要检验解是否符合要求． 三．解答题（共10小题） 11．（2023秋•南陵县期末）如图，中，，平分，，，求的度数． 【分析】由三角形的内角和可得，再由角平分线可求得，从而可得，结合，即可求的度数． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解答的关键是熟记三角形内角和为． 12．（2023秋•金寨县期末）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，求的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质可得，即可求出的度数． 【解答】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 13．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 【分析】利用得出的长，由是边上的中线即可得出和的长． 【解答】解：是中边上的高，且， ， ， ， 是中边上的中线， ，． 【点评】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积． 14．（2023秋•凤阳县期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为 ． （1）第三边的范围为 　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案． （2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可． 【解答】解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则 ． 即． 根据三角形两边的差小于第三边，则 ． 即． 综上所述 ． 故答案为：． （2）第三边的长为奇数， 第三边的长为． 三角形的周长． 两条边的长为，另外一条边的长为， 这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【点评】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键． 15．（2023秋•颍州区期末）如图，在中，为角平分线，为边上一点（不与点，重合），连接交于点． （1）若，为高，求的度数； （2）若，为角平分线，求的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和是，先求出的度数；再根据的内角和求出的度数； （2）根据角平分线的定义求出的度数，再根据的内角和求出的度数． 【解答】解：（1）在中， ， 在中， ． （2）为角平分线，为角平分线， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据角平分线定义和三角形内角和是来解答． 16．（2024秋•太和县月考）如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到，再由三角形周长公式结合已知条件推出，据此可得答案． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）为的中线， ， 的周长比的周长大3， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键． 17．（2024秋•太和县月考）在△中，平分，． （1）如图①，若于点，，，求的度数； （2）如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图②，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，然后由，代入计算即可； （2）先利用三角形的内角和以及角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算即可； （3）过作于，根据平行线的性质可得，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算可求解． 【解答】解：（1）在△中，，， ， 平分， ， ， ， ， ． 的度数为． （2）．理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即． （3），理由如下： 过作于， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 18．（2024秋•庐江县校级月考）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”， 为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角” ，． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【分析】（1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【解答】解：（1）①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角” ， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形”； （2）是“友爱三角形”， 是边上一点（不与点，重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． 19．（2023秋•安庆期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）如图1，在“对顶三角形” 与中，，则　110　． （2）如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． 【分析】（1）由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理可得到，进而得到，由图知与为对顶三角形得出，由题意知比大，联立方程组即可解得答案． 【解答】解：（1）由对顶三角形可得， 在中，， ； 故答案为：110； （2）、分别平分和， ，， 又， ， ， ， ， 由图知与为对顶三角形， ①， 又比大， ②， 联立①②得， 解得：， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键． 20．（2024秋•鸠江区校级月考）（1）如图1，平分，，，． ①　80　，　　； ②如图2．若把“”变成“点在的延长线上，”，其它条件不变，求的度数； （2）如图3，平分，平分，，求的度数． 【分析】（1）①利用三角形内角和定理求出，再求出，即可解决问题． ②想办法求出即可解决问题． （2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可． 【解答】解：（1）①，， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为80，20． ②， ， ， ， ． （3）平分， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$