专题16 三角函数与四类特殊图形（相似三角形、圆、抛物线、双曲线）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题16 三角函数与四类特殊图形 （相似三角形、圆、抛物线、双曲线） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、三角函数与相似三角形 2 类型二、三角函数与圆 8 类型三、三角函数与抛物线 17 类型四、三角函数与双曲线 29 压轴能力测评 39 解题 类型一、三角函数与相似三角形 把锐角三角函数与相似三角形的判定与性质结合考察，掌握相似三角形的判定与性质．平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数定义等进行求线段长或者比例问题。 例．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边F处． (1)写出图中一定相似的三角形，并证明． (2)若图中的相似三角形超过2对，试求这样的矩形两邻边，即的值． 【答案】(1)△ADE∽△AFE，△ABF∽△FCE，证明见解析 (2) 【分析】（1 ）由折叠的性质可得△ADE≌△AFE，由余角的性质可证∠BAF＝∠CFE，可证△ABF∽△FCE； （2 ）由相似三角形的性质可求∠BAF＝∠FAE＝∠DAE＝30°，由锐角三角函数可求解． 【详解】（1）相似的三角形有：△ADE∽△AFE，△ABF∽△FCE， 理由如下：∵将△ADE沿AE折叠， ∴△ADE≌△AFE， ∴△ADE∽△AFE， ∴∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠BAF＝∠AFB+∠EFC＝90°， ∴∠BAF＝∠CFE， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABF∽△FCE； （2）若图中的相似三角形超过2对，则必有△AFE∽△ABF， ∴∠BAF＝∠FAE， 又∵△ADE≌△AFE， ∴AD＝AF，∠FAE＝∠DAE， ∴∠BAF＝∠FAE＝∠DAE， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAF＝∠FAE＝∠DAE＝30°， ∴cos∠BAF＝． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，分清折叠前后的对应关系是解决问题的关键． 【变式训练1】．如图，已知△ABC，∠BAC=90° （1）尺规作图：过点A作一条直线交BC于D，使其将∠ABC分成两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AD=4，tan∠BAD=，求CD的长 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）利用相似三角形的判定方法得出：当AD⊥BC时，△ABD∽△CAD．直接利用过直线外一点作已知直线的垂线作法作出垂线AD即可； （2）根据相似三角形的性质可得∠BAD＝∠C，由tan∠BAD=可得，即可求出CD． 【详解】解：（1）如图，AD即为所求作． 理由：∵AD⊥BC， ∴∠B＋∠BAD＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°． ∴∠B＝∠DAC． 又∵∠ADB＝∠ADC， ∴△ABD∽△CAD． （2）∵△ABD∽△CAD， ∴∠BAD＝∠C． ∵tan∠BAD=，AD=4， ∴． ∴CD＝3． 【点睛】本题考查了及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、利用正切值求边长以及能过直线外一点作已知直线的垂线是解题关键． 【变式训练2】．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，C为OB的中点，D为AO上点，连结AC、BD交于点P，过点C作CEOA交BD于点E． （1）问题发现 当D为AO的中点时，通过图中的相似三角形，可以发现＝　 　（填数值）； （2）拓展探究 当时，求： ①的值， ②直接写出tan∠BPC的值． 【答案】（1）2；（2）①；② 【分析】（1）通过证明△BEC∽△BOD，可得，可求EC＝DO＝AD，通过证明△ECP∽△DAP，可得＝2； （2）①通过证明△BEC∽△BOD，可得，可求EC＝DO，通过证明△ECP∽△DAP，可得，即可求解； ②设AD＝t，则BO＝AO＝4t，OD＝3t，由勾股定理可求BD的长，由相似三角形的性质可求PD＝t＝AD，可证∠A＝∠APD＝∠BPC，即可求解． 【详解】解：（1）∵CE∥AO， ∴△BEC∽△BOD， ∴， ∵C为OB的中点，D为AO的中点， ∴BC＝BO，AD＝DO， ∴EC＝DO＝AD， ∵CE∥AO， ∴△ECP∽△DAP， ∴＝2， 故答案为：2； （2）①∵CE∥AO， ∴△BEC∽△BOD， ∴， ∵C为OB的中点， ∴BC＝BO， ∴EC＝DO， ∵， ∴AD＝DO， ∵CE∥AO， ∴△ECP∽△DAP， ∴； ②∵， 设AD＝t，则BO＝AO＝4t，OD＝3t， ∵AO⊥BO，即∠AOB＝90°， ∴BD＝＝5t， ∴BE＝DE＝， ∵， ∴PD＝t，PB＝4t， ∴PD＝AD， ∴∠A＝∠APD＝∠BPC， 则tan∠BPC＝tan∠A＝． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点，这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学学习能力． 【变式训练3】．在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质即可证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）由，过A作于M，根据勾股定理求出、、的值即可根据求解． 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）过A作于M， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质与判定，正弦，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 类型二、三角函数与圆 圆的性质、三角形外角的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、平行线等分线段定理等，在涉及比例问题时，往往把比例和三角函数的概念结合。求三角函数值也会结合相似三角形，当然也离不开直角三角形，需要构造时进行作垂线、连直径等方法构造。 例．如图，在中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于D． (1)当是等腰三角形时，求：的余弦值； (2)当时，求：边的长． 【答案】(1)或； (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、三角形外角的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、余弦函数、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，先证明可得，进而得到、，然后再分、、三种情况求解即可； （2）如图：连接并延长交于H，过A作交的延长线于E，则，再说明，即；设， 由勾股定理可得，进而得到，再结合即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，解得：，即， ∴的余弦值为； 当时， ∴，即D和A重合，不符合题意． 综上，的余弦值为或． （2）解：如图：连接并延长交于H，过A作交的延长线于E，则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， 利用勾股定理可得：， ∴，解得：， ∴，即 ∴． 【变式训练1】．如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：； (3)如图所示，阴影部分面积和：____________． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出的长度即可求证； （）连接，利用三角函数可得，再分别求出的值即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，三角函数，扇形的面积，坐标与图形，勾股定理，掌握反比例函数的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）与正方形交于点，， ∴将代入（）中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）证明：∵，四边形是正方形， ∴， ∴点的横坐标为， 把，代入中得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，    ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】．如图，中，，在边上取一点O，以O为圆心，为半径作圆，分别交于点D、E，连接，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）如图：连接，由，，得，则，所以，即可证明结论； （2）如图：作于点F，则，由，证明，而，所以，可证明，则，因为，所以，则，由，得；由 ，所以，则，，求得． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵ ， ∵， ∴， ， ∴， ， ∵是的半径，且， ∴是切线． （2）解：作于点F，则， ∴， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ，， ， 的面积为10． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定定理、等腰三角形的判定与性质、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识点，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式训练3】．如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明，见解析 (2)证明，见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可； （2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可； （3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可． 【详解】（1）连接 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线．    （2）证明，如下： 由（1）得，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， 设的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用． 类型三、三角函数与抛物线 锐角三角函数在于二次函数结合考察时，有时是直接根据图形求三角函数值，只需要直接找出或者转化等角的三角函数值；还有一种是根据三角函数的思想求出线段的长，往往和相似进行结合较多。 例．如图，直线l：与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L：经过点和点C，其顶点为M，对称轴与x轴交于点H，点P是抛物线L上的一点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A． (2)若点P介于点M，B之间（包括端点），点D与点P关于对称轴对称，作轴，交l于点E． ①当时，求的长； ②若的长随m的增大而增大，求m的取值范围． (3)若点P在第二象限，直接写出点P与直线l距离的最大值． 【答案】(1)，抛物线L经过点A (2)①，② (3) 【分析】（1）先求点，用待定系数法求解析式，再将点A坐标代入解析式判断即可； （2）①先求点，根据对称性求出，再求出即可；②由题意知，则，，，然后根据二次函数的性质求取值范围即可； （3）如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F．则，，由题意知，，，则，，则，然后求最值即可． 【详解】（1）解：当时，，即点， 当时，， 解得，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴； 当时，， ∴抛物线L经过点A． （2）① 解：当时，， ∴， ∵， ∴抛物线L的对称轴为直线， ∴， 当时，，即， ∴， ∴的长为； ②解：由题意知，，则，， ∴， ∴当时，随着m的增大而增大， 又∵， ∴当的长随m的增大而增大，m的取值范围是； （3）解：如图，作 于点Q，作轴于点G，交于点F． ∵，， ∴， ∴， ∴， 由题意知，，，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质，正弦，二次函数与线段综合等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质，正弦，二次函数与线段综合是解题的关键． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点D． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)若点P在第三象限，且，求m的值； (3)连接，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设，如图1，点P在第三象限，过点C作于点G，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解即可； （3）分点在的上方，点在的下方，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得，， 解得，， ∴； （2）解：设， 如图1，点P在第三象限，过点C作于点G， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴m的值是； （3）解：设， 令，则， 解得，或， ∴， 由勾股定理得，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当在上方时，如图2，点P在第三象限，过点E作轴于点F，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点E与点关于对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 解得，或（舍去）； 当在下方时，在第一、第二、第四象限，如图3， 同理可得，， 解得，或（舍去）， 综上所述，m的值是或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与几何综合，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式、锐角三角函数、坐标与图形等知识．数形结合和分类讨论是解题的关键． 【变式训练2】．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． 　　 (1)柱子的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ (2)如图，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点离柱子的距离为米，，灯孔在边上，灯孔离地面的距离为米，若水流恰好落在灯孔处，求的值． 【答案】(1)柱子的高度为米，水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外 (2) 【分析】本题考查了二次函数图像的性质与实际应用的综合，掌握从实际问题中抽象出二次函数模型，三角形函数的计算方法等知识是解题的关键． （1）柱子的高度即为抛物线与轴交点的纵坐标，令二次函数解析式中的即可求解；令，解关于的一元二次方程，求得正数解即可； （2）把代入解析式即可求出点的横坐标，过点作于点，可求出的值，在中即可求的值． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线与轴的交点的纵坐标的值即为柱子的高度， ∴当时，， 柱子的高度为米， 水池的半径指的是的长度， ∴在中，当时，， ，， 又， ， 水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外． （2）解：灯孔离地面的距离为米，即点的纵坐标为，且点在抛物线的图像上， ∴当时，， 解得，舍去， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∵点离柱子的距离为米， ∴，且， ∴在中，． 【变式训练3】．如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式． (2)若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． (3)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)周长最大为，此时点坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，作轴于点，根据抛物线的解析式可得到，，进而求出直线的解析式为，设，则，得到，证明，得到，由，，可推出，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作交抛物线于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出直线的解析式为，联立，即可求解；②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点，可得到是直角三角形，且，，由，，知是等腰直角三角形，得到，进而得到也是等腰直角三角形，推出，求出直线的解析式为， 联立，即可求解． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）在中，令，则， 解得：或， ， 又， 顶点， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ， 如图，延长交轴于点，作轴于点，即， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 又， ， 当时，有最大值， 周长最大为，此时点坐标为； （3）存在，理由如下： ①当点在上方时，如图，过点作交抛物线于点， 则， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； ②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， 由，，知是等腰直角三角形， ， 又， ， 也是等腰直角三角形， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的 性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 类型四、三角函数与双曲线 三角函数与双曲线进行结合的时候，往往根据三角函数的比例求线段长；当然也离不开直角三角形的，利用直角三角形结合锐角三角函数进行求值。 例．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)直接写出A、B两点的坐标（用含有a的代数式表示）； (2)当时，在双曲线位于直线下方的图象上找一点D，使得，求出点D的坐标； (3)点C在y轴上，坐标为，且直线过一定点，试判断的值是否会发生变化．若不变化，请求出该值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)不变，． 【分析】（1）令，可求出点B的坐标，令，可求出点A的坐标； （2）分点D在第一象限和第三象限讨论即可； （3）由可得出此直线过定点，可得，作C点关于x轴对称点，过向作垂线，垂足设为D，利用求出，在中，求出，在中，利用可得结果． 【详解】（1）解：对于，令得， 令得， ∴，； （2）解：当，，， ∴双曲线为：，直线为：， ①当D点在第一象限时，设，的方程为：，与y轴交于， 此时， 解得：， ∴， 令得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去），， 此时）， 将代入直线得：， ∴D1在直线下方，符合题意； ②当D在第三象限时，设， 根据，求得方程为：（方法同求的方程）， 令得：， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得（舍） ， 此时， 将代入直线得：， ∴在下方，符合题意， 综上，D点坐标或； （3）不变，理由： ∵， ∴令可得， ∴此直线过定点， 根据题意，该直线过点， ∴当时，该直线与x轴平行， ∴，这与题中矛盾，从而， ∴）， 作C点关于x轴对称点， 由对称可知， ∴， ∴， 过向作垂线，垂足设为D， ∵，，，， ∴=5a， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴=， 在中，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，三角函数等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数的相关知识是解题的关键． 【变式训练1】．如图，直线与双曲线相交于A、B两点，直线与x轴相交于点C，点B的坐标是，，E为x轴正半轴上一点，且． (1)双曲线的解析式是 ，直线的解析式是 ． (2)求证：． (3)当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据三角函数的定义求出点A的坐标，代入反比例函数解析式求出结果即可；求出点B的坐标，用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据A、B两点的坐标分别表示出和的面积即可得出答案； （3）根据函数图象得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 将点A的坐标代入反比例函数得，， ∴双曲线的解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式是； （2）解：∵，， ∴的面积，的面积， ∴的面积， ∴； （3）解：根据函数图象可知，当或时，一次函数在反比例函数图象的上面， ∴当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数的解析式，三角函数的应用，解题的关键是数形结合，根据三角函数求出点A的坐标． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接． (1)求双曲线的表达式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，证明，得出，根据中，，得出，求出，，求出B的坐标为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴． （2）解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示： 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴，． ∵中，， ∴， ∴，． ∴B的坐标为， ∴将代入得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定方法． 【变式训练3】．如图，抛物线与x轴交于两点（在的左边），与y轴交于C，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1． (1)求抛物线和双曲线的解析式． (2)点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值． (3)若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2)P点坐标， (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）求得两点坐标，由题意可得对称轴为，求出抛物线解析式，再求得顶点，即可求解； （2）连接，过点P作，交于点E，求出直线的解析式，设点P的坐标为，用表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得，点Q在的垂直平分线上，求出垂直平分线解析式，分别于抛物线和双曲线联立，求解即可． 【详解】（1）解：∵令得：， ∴点C的坐标为， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴点A的坐标为． ∵抛物线的对称轴为， ∴点B的坐标为． 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析． 将代入得：． ∴点D的坐标为． 将代入反比例函数的解析式得：， 解得：． ∴反比例函数的解析式为． （2）如图1所示：连接，过点P作，交于点E． ∵， ∴． 设直线BC的解析式为，将、代入得：，， 解得， ∴直线BC的解析式为． 设点P的坐标为，则E点的坐标． ∴， ∴． ∴， 将代入抛物线的解析式得：， ∴P点坐标，． （3）如图2所示：连接，过点O作，垂足为E． ∵， ∴点Q在的垂直平分线上． ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点Q在上， ∵垂直平分， ∴直线OE的解析式为． 将与联立得， 解得或 ∴点Q的坐标为或， 将与联立得， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了二次函数与反比例函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数与反比例函数的有关性质，利用数形结合思想求解问题． 1．如图，直线的双曲线交于点，并分别与x轴、y轴交于点C、B． (1)求b、m的值 (2)连接，求的正切值； (3)点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与相似，试求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入，即可求出b、m的值； （2）过点A作轴于点E，过点O作轴于点F，依次求出，，，再根据即可求解； （3）先根据和都小于，判断出点D在点C的右侧，再分和两种情况分别计算即可求解． 【详解】（1）解：将分别代入，， 可得：，， 解得：，； （2）解：如图，过点A作轴于点E，过点O作轴于点F， , ,, ． 直线的解析式为， ，， ， ， ， ． ， 即的正切值是； （3）解：,，， ，，． 由（2）知， ， ， 和都小于， 若，则点D在点C的右侧． 当时，， 解得， 点D的横坐标为， ； 当时，， 解得， 点D的横坐标为， ， 综上可知，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查求一次函数、反比例函数解析式，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质等，第三问有一定难度，解题的关键是判断出点D在点C的右侧，注意分情况讨论，避免漏解． 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数得表达式为：， (2)或 (3)存在，， 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，解直角三角形的应用等； （1）用待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）求出直线的表达式，即可求解； 【详解】（1）把代入， 解得：， 一次函数的表达式为； 把代入，， 把代入得：， 反比例函数得表达式为：， 由得：， 解得：，， ； （2）从图象看，当时，即一次函数值大于等于反比例函数值， x的取值范围为或； （3）过点作交轴于点，如下图， 设直线的解析式为    由直线的表达式知，，则， ， 设，将代入：， ． ，解得：，， ，时，构成直角三角形． 3．如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点的纵坐标为 ，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)求直线的解析式； (2)若点是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）过点作轴于点，根据三角函数的性质，得点，将点代入，得 ；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）连接、、，结合的结论，得点；结合题意得；把代入 ，得点；设点的坐标为，通过计算即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案． 【详解】（1）如图，过点作轴于点， ，， ，， 点， 双曲线的解析式为 ， 把，分别代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为 ； （2）如图，连接、、 把代入，得， 点， ， ， 把代入 ，得 ， 点 设点的坐标为， ， ， 点的坐标为； （3）根据函数图象，结合点、点， 或． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程，已知正切求边长，解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）令代入中可得点的坐标，再利用待定系数法求抛物线的函数解析式； （2）①过点作轴于，交于点，证明，设点，，根据相似三角形性质建立方程求解即可； ②过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，先证明，然后设点，应用三角函数定义建立方程求解． 【详解】（1）解：当时，，∴， 将A、B、C分别代入 得， 解得： ， ∴解析式为：； （2）解：①如图1，过点作轴于，交于点， ∵， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 设点，， ， 轴， ， ， ， ， ， ，即：， ， 解得：，， 点为直线上方抛物线上的点， 的坐标为或； ②存在点，使得，理由如下： 如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点， ， ， ， 在中，，， ， ， 设点， 则，， ， 解得：， 点的坐标为； 存在点，使得，此时点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、三角函数定义以及两函数的交点问题．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键． 5．如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式； （2）如图，过点作于点，先求出点，的坐标，从而求得，，，利用待定系数法求得直线为：，进而求得，，，根据面积公式即可求得，从而即可得解． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点， ， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：如图，过点作于点， 在抛物线中，令，则， 解得，， ，， 又， ，，， 设直线为：， 过和， ， 解得， 直线为：， 令，则，解得， ， ，， ，即 ， ； 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求一次函数与二次函数解析式、勾股定理，求一个角的正弦，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知，． (1)求； (2)若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求的值． 【答案】(1)3：8 (2) 【分析】（1）过点D作DF⊥BC交BC于点F，证明△可得到，进一步得出，由得，设，则，求出，，再证明△即可得到结论； （2）以H为圆心，HB为半径作圆，根据直径所对的圆周角是直角可得，结合勾股定理和余弦的定义可得结论． 【详解】（1）过点D作DF⊥BC交BC于点F ∵，AH为△的高， ∴∠ ∵∠ ∴△ ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵∠ ∴△ ∴ ∴ ∴ （2）以H为圆心，HB为半径作圆，如图， ∵ ∴BC是⊙O的直径 ∴∠ 由（1）知， ∵ ∴设 ∴ ∴ 在中， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及求角的余弦值等知识，灵活运用相似三角形的判定定理证明相似三角形是解答本题的关键． 7．如图，在△ABD中，ABAD，以AB为直径的圆交AD于点M，交BD于点O，延长AO至点C，使OCAO，连结CD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AM3，BO，求cos∠DAB． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）利用直径所对的圆周角可得，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，连接BM，利用勾股定理构建方程即可求出，得到，根据余弦函数的定义（领边比斜边）即可． 【详解】（1）证明：∵AB是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵， ∴四边形ABCD是菱形 （2）如图连接BM，设． ∵AB是直径， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查直径所对的圆周角是直角、平行四边形、菱形的判定定理、勾股定理解直角三角形、求三角函数的值等，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题关键． 8．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，连接AC、CD，且AC＝CD，延长DC与BA的延长线相交于E点． (1)求证：△EAC∽△ECO； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可证得△AOC≌△DOC，从而可得对应边、对应角都相等，再由△ECO、△EDO的内角和定理，可证得，从而可得△EAC∽△ECO； （2）过点C作CF⊥EO，由，可设CF=3x，则可得OF=4x，OC=5x=OA，故可得AF=x，可求AC=x，，从而可得，即为的值． 【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，连接AC、CD，且AC＝CD， ∴在△CAO与△CDO中： ∴△CAO≌△CDO， ∴， 在△ECO与△EDO中， ， ， ∴， 在△EAC与△ECO中， ，， ∴△EAC∽△ECO． （2）解：过点C作CF⊥EO， ∵， ∴， 设CF=3x，则OF=4x， ∴OC==OA， ∴AF=5x-4x= x， ∴AC=， ∴， 由（1）得△EAC∽△ECO， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，利用好数形结合的思想． 9．如图，圆中，过圆心，为圆的一条弦，且，垂足为，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连，根据AB垂直平分,得出AC=AD,再根据勾股定理求解即可； （2）先证明，得出，设，根据为直角三角形，得出a=4b,再根据三角函数求解即可． 【详解】（1）连 过圆心，且 垂直平分 ∵ （2）连接OD, ，， ∴ ∵, ∴ 令， 设 为直角三角形 ， ∴CO=2a=8b, 且 ∴ 在RT△OBC中，CB=， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握这些性质． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点 (1)求抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点在抛物线上，若，求点的坐标． (4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据一次函数可以求出点和点坐标，把点和点坐标代入即可求出抛物线的表达式； （2）先利用（1）中所得到的抛物线的表达式求出点和顶点的坐标，再利用勾股定理分别求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明是直角三角形，从而可以求出的正切值； （3）根据，再结合（2）的结论，可得出的正切值，可知满足的点在点的左侧，可以在轴的上方或下方，又点在抛物线上，可设出点的坐标，利用正切值的定义建立方程求解即可； （4）过点作交于点，首先设直线的解析式为，再将点和点的坐标代入解析式即可求出和的值，从而求出直线与轴的交点的坐标，从而确定的长度，再利用勾股定理求出和的长度，然后在中，根据，可求出的长，然后在和分别求出和的正弦值，从而确定，根据条件与是相似三角形，则点在点的右侧，然后分和两种情况进行讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点， 当时，， 当时，， ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）如图：∵， ∴，， 又∵，， ∴， ， ， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的正切值为． （3）如图：点在抛物线上，过点作交轴于点，设， ∴是直角三角形，， ∵， ∴点在点的左侧，且满足条件的点有两个， ∵ ∴， 解得：，（舍去），，（舍去）， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． （4）过点作交于点，设抛物线的对称轴交轴于点，设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，，，， 在中， ，，， ∵， ∴， ∴， 在中， ，，， ∴， ∴， 若与是相似三角形，则点在点的右侧，又点在直线上，设（）， 在中， ， ， ， 有以下两种情况： ①，则， 即， 解得：， ∴ ∴； ②，则， 即， 解得， ∴ ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了一次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理以及勾股定理逆定理、锐角三角函数、相似三角形的性质、分类讨论思想．灵活运用相关知识和分类讨论的思想方法是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 三角函数与四类特殊图形 （相似三角形、圆、抛物线、双曲线） 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 4 类型一、三角函数与相似三角形 4 类型二、三角函数与圆 5 类型三、三角函数与抛物线 7 类型四、三角函数与双曲线 9 压轴能力测评 11 解题 类型一、三角函数与相似三角形 把锐角三角函数与相似三角形的判定与性质结合考察，掌握相似三角形的判定与性质．平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数定义等进行求线段长或者比例问题。 例．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边F处． (1)写出图中一定相似的三角形，并证明． (2)若图中的相似三角形超过2对，试求这样的矩形两邻边，即的值． 【变式训练1】．如图，已知△ABC，∠BAC=90° （1）尺规作图：过点A作一条直线交BC于D，使其将∠ABC分成两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AD=4，tan∠BAD=，求CD的长 【变式训练2】．如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，C为OB的中点，D为AO上点，连结AC、BD交于点P，过点C作CEOA交BD于点E． （1）问题发现 当D为AO的中点时，通过图中的相似三角形，可以发现＝　 　（填数值）； （2）拓展探究 当时，求： ①的值， ②直接写出tan∠BPC的值． 【变式训练3】．在七年级第二学期14.7这一章节的课后练习部分，我们学习了以平习题，如图，已知B、C、E在一直线上，和都是等边三角形，联结，试说明和全等的现由．现在我们已经学习了相似三角形、锐角的三角比这两章节的内容．在此基础上我们继续探究：已知，，与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的正弦值． 类型二、三角函数与圆 圆的性质、三角形外角的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、平行线等分线段定理等，在涉及比例问题时，往往把比例和三角函数的概念结合。求三角函数值也会结合相似三角形，当然也离不开直角三角形，需要构造时进行作垂线、连直径等方法构造。 例．如图，在中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于D． (1)当是等腰三角形时，求：的余弦值； (2)当时，求：边的长． 【变式训练1】．如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求证：； (3)如图所示，阴影部分面积和：____________． 【变式训练2】．如图，中，，在边上取一点O，以O为圆心，为半径作圆，分别交于点D、E，连接，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的面积． 【变式训练3】．如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 类型三、三角函数与抛物线 锐角三角函数在于二次函数结合考察时，有时是直接根据图形求三角函数值，只需要直接找出或者转化等角的三角函数值；还有一种是根据三角函数的思想求出线段的长，往往和相似进行结合较多。 例．如图，直线l：与坐标轴分别交于点A，C，抛物线L：经过点和点C，其顶点为M，对称轴与x轴交于点H，点P是抛物线L上的一点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线L的解析式，并经过计算判断抛物线L是否经过点A． (2)若点P介于点M，B之间（包括端点），点D与点P关于对称轴对称，作轴，交l于点E． ①当时，求的长； ②若的长随m的增大而增大，求m的取值范围． (3)若点P在第二象限，直接写出点P与直线l距离的最大值． 【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点（不与点A，B，C重合）．设点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点D． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)若点P在第三象限，且，求m的值； (3)连接，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求m的值． 【变式训练2】．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． 　　 (1)柱子的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ (2)如图，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点离柱子的距离为米，，灯孔在边上，灯孔离地面的距离为米，若水流恰好落在灯孔处，求的值． 【变式训练3】．如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式． (2)若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． (3)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、三角函数与双曲线 三角函数与双曲线进行结合的时候，往往根据三角函数的比例求线段长；当然也离不开直角三角形的，利用直角三角形结合锐角三角函数进行求值。 例．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)直接写出A、B两点的坐标（用含有a的代数式表示）； (2)当时，在双曲线位于直线下方的图象上找一点D，使得，求出点D的坐标； (3)点C在y轴上，坐标为，且直线过一定点，试判断的值是否会发生变化．若不变化，请求出该值；若变化，请说明理由． 【变式训练1】．如图，直线与双曲线相交于A、B两点，直线与x轴相交于点C，点B的坐标是，，E为x轴正半轴上一点，且． (1)双曲线的解析式是 ，直线的解析式是 ． (2)求证：． (3)当时，x的取值范围是 ． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接． (1)求双曲线的表达式； (2)若，求的值． 【变式训练3】．如图，抛物线与x轴交于两点（在的左边），与y轴交于C，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1． (1)求抛物线和双曲线的解析式． (2)点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值． (3)若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 1．如图，直线的双曲线交于点，并分别与x轴、y轴交于点C、B． (1)求b、m的值 (2)连接，求的正切值； (3)点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与相似，试求点D的坐标． 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，．    (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点的纵坐标为 ，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)求直线的解析式； (2)若点是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)为直线上方抛物线上一动点． ①连接交于点，若，求点D的坐标； ②是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； 6．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知，． (1)求； (2)若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求的值． 7．如图，在△ABD中，ABAD，以AB为直径的圆交AD于点M，交BD于点O，延长AO至点C，使OCAO，连结CD，BC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AM3，BO，求cos∠DAB． 8．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，连接AC、CD，且AC＝CD，延长DC与BA的延长线相交于E点． (1)求证：△EAC∽△ECO； (2)若，求的值． 9．如图，圆中，过圆心，为圆的一条弦，且，垂足为，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过点和点，且其顶点为，点为抛物线与轴的另一个交点 (1)求抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点在抛物线上，若，求点的坐标． (4)连接，延长交轴于点，点是直线上的动点，如果与是相似三角形，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$