专题15 解直角三角形四类应用举例-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（沪科版）

专题15 解直角三角形四类应用举例 目录 解题知识必备 1 压轴题讲练 3 类型一、仰角和独俯角 3 类型二、方向角 5 类型三、坡角、坡度或坡比 6 类型四、解直角三角形应用举例 8 压轴能力测评 10 1. 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，在水平线下方的是俯角； 2. 方向角： 指北或指南的方向与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角。 3. 坡角、坡度（坡比）： 坡面与水平面的夹角叫坡角，一般用字母α或β或γ表示； 坡面的铅直高度h与水平距离l的比叫坡度或坡比，一般用字母i表示，i＝表示。 4.解直角三角形应用举例模型 类型一、仰角和独俯角 例．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【变式训练1】．某数学兴趣小组想使用无人机测量写字楼的高度，他们作出如下的测量方案：如图，将无人机放在水平面的点处（无人机自身高度忽略不计），先控制无人机从点出发向右上方匀速飞行9.9秒到达空中点处，再调整飞行方向，向左上方匀速飞行13秒到达该楼顶点处（点均在同一平面），已知无人机的速度为10米/秒，且无人机在点处测得点的俯角为，点的仰角为，求写字楼的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，， 【变式训练2】．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【变式训练3】．如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆．已知观测点C到旗杆的距离（的长度）为，测得旗杆的仰角为，旗杆底部的俯角为，求旗杆的高度是多少米？(结果保留根号)    类型二、方向角 例．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，它极大地方便了航海时轮船的定位．如图，位于东西方向海北岸线上的码头相距70海里，一艘供给船从码头出发沿北东偏东方向匀速行驶，到达处后收到信号，位于码头正北方向80海里的处有一渔船需要物资，故该供给船按原速沿北偏东方向行驶后到达处：求供给船行驶时的速度(结果保留整数参考数据： ， ， )． 【变式训练1】．北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统，它极大的方便了航海时轮船的定位． 如图，灯塔B位于港口A的北偏东方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为9km． 一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，）      【变式训练2】．在某张航海图上（单位：海里），标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． (1)求圆形区域的面积； (2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离（结果精确到海里）．（参考数据：）． 【变式训练3】．我国北斗导航装备极大的方便了航海时轮船的定位．如图，一货轮由地出发，去往地，当货轮在地时，导航显示货轮北偏东（即）方向上有海岛，货轮由地沿正东方向航行海里到达地，此时导航显示海岛在货轮的北偏东（即）方向上，求地与海岛之间的距离．    类型三、坡角、坡度或坡比 例．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【变式训练1】．如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 【变式训练2】．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为，雪道长为．求该滑雪场的高度； 【变式训练3】．为测量底部不能到达的建筑物的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为，若山坡的坡度，坡长米，求建筑物的高度．（精确到1米)（参考数据： ，，，，） 类型四、解直角三角形应用举例 例．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．如图是长嘴壶放置在水平桌面上，是水平桌面，测得，，，且，，壶嘴与水平面的夹角为．（参考数据：，，） (1)如图，当壶嘴与水平面的夹角为时，壶嘴口F离桌面高度恰好为壶身高度的倍，求壶嘴的长度；（结果保留根号） (2)若长嘴壶放置在水平桌面上，为使得长嘴壶能够装满茶水，求的取值范围．（结果保留两位小数） 【变式训练1】．动感单车是一种新型的运动器材，这种运动器材的侧面结构如图实线所示，底座为，C，D在同一条直线上，测得，，，，支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点E到水平地面的距离是多少？（结果保留整数，参考数据：，，，） 【变式训练2】．如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【变式训练3】．如图1是一个花洒实物图，图2和图3是其侧面示意图．点B处既可以调节花洒的高度，又可以调节花洒臂与花洒杆的夹角．若打开花洒后水柱与花洒臂垂直，花洒的高度，花洒臂，小丽与花洒杆的距离． (1)如图2，当时，水柱恰好落在小丽的头顶上，求小丽的身高（结果保留整数．参考数据： (2)如图3，调节花洒臂AB与花洒杆的角度，当时，要使水柱恰好落在小丽的脚上，求此时小丽与花洒的距离．（结果保留整数．参考数据：） 1．数学兴趣小组借助测角仪，根据所学知识测量某建筑物的高度，下面是小霞提出的测量方案：把测角仪放在建筑物前面的E处直立，测得建筑物低端A的俯角为，顶端B的仰角为．已知测角仪的高度为米，求建筑物的高度．（结果精确到.参考数据：，，，，，） 2．“科技改变生活”，小顾是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到3位有效数字；参考数据：，） 3．冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①；②．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（精确到1米） (2)小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D． 4．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 5．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 6．为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的改造为坡角为的，已知 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离(结果保留根号)． (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为， ，若 ，求此时货车顶端E到水平线的距离．(结果精确到，参考数据： ，)． 7．我校新买了一批折叠桌.如图所示，将其中一张折叠桌平稳放置地面，此时桌脚与相交于点O．，，，，． (1)求点O至的距离； (2)《中华人民共和国国家标准》中指出，桌椅高度差应控制在至范围内（包括与），现有两种规格的椅子可供挑选，甲种椅子高度为，乙种椅子高度为，请问挑选哪种椅子比较合适，为什么?（参考数据：，，） 8．云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，． (1)求的长； (2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，） 9．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 10．如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 解直角三角形四类应用举例 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、仰角和独俯角 3 类型二、方向角 8 类型三、坡角、坡度或坡比 12 类型四、解直角三角形应用举例 17 压轴能力测评 23 1. 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，在水平线下方的是俯角； 2. 方向角： 指北或指南的方向与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角。 3. 坡角、坡度（坡比）： 坡面与水平面的夹角叫坡角，一般用字母α或β或γ表示； 坡面的铅直高度h与水平距离l的比叫坡度或坡比，一般用字母i表示，i＝表示。 4.解直角三角形应用举例模型 类型一、仰角和独俯角 例．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，米，，然后设米，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，米，， 设米， 在中，，米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， （米）， ， 解得：， 米， （米）， 该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【变式训练1】．某数学兴趣小组想使用无人机测量写字楼的高度，他们作出如下的测量方案：如图，将无人机放在水平面的点处（无人机自身高度忽略不计），先控制无人机从点出发向右上方匀速飞行9.9秒到达空中点处，再调整飞行方向，向左上方匀速飞行13秒到达该楼顶点处（点均在同一平面），已知无人机的速度为10米/秒，且无人机在点处测得点的俯角为，点的仰角为，求写字楼的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，， 【答案】高度约为148米 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，过点作于点，证明四边形为矩形，易得，由题意得（米），（米），利用三角函数解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意得（米），（米）， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴（米）． 答：写字楼的高度约为148米． 【变式训练2】．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 【变式训练3】．如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆．已知观测点C到旗杆的距离（的长度）为，测得旗杆的仰角为，旗杆底部的俯角为，求旗杆的高度是多少米？(结果保留根号)    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别在和中，利用正切的定义求出，，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即旗杆的高度是． 类型二、方向角 例．北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，它极大地方便了航海时轮船的定位．如图，位于东西方向海北岸线上的码头相距70海里，一艘供给船从码头出发沿北东偏东方向匀速行驶，到达处后收到信号，位于码头正北方向80海里的处有一渔船需要物资，故该供给船按原速沿北偏东方向行驶后到达处：求供给船行驶时的速度(结果保留整数参考数据： ， ， )． 【答案】供给船行驶时的速度约为60海里/时 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及矩形判定与性质、等腰直角三角形性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，过点分别作，垂足为点，如图所示，由等腰直角三角形性质及三角函数得到相关边的关系，设，则，由列方程求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的解决实际问题． 【详解】 解：过点分别作，垂足为点，如图所示： 四边形是矩形， ∴， 根据题意，得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， 答：供给船行驶时的速度约为60海里/时． 【变式训练1】．北斗卫星导航系统是我国自主研发的全球卫星定位导航系统，它极大的方便了航海时轮船的定位． 如图，灯塔B位于港口A的北偏东方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为9km． 一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，这时，D处距离港口A有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，）      【答案】32km 【分析】延长交直线于点E，则，解直角三角形，求出，可得，解直角三角形，求出，进而可得结果． 【详解】解：延长交直线于点E，则， 在直角三角形中，， ∴，， ∵， ∴， 则在直角三角形中，∵， ∴， ∴km； 答：D处距离港口A32km．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键． 【变式训练2】．在某张航海图上（单位：海里），标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． (1)求圆形区域的面积； (2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离（结果精确到海里）．（参考数据：）． 【答案】(1)圆形区域的面积为平方海里 (2)观测点B到A船的距离为海里 【分析】（1）连接连接、，根据坐标与图形性质得到，，，即OC为圆形区域的直径．由勾股定理求得即可求解； （2）过点B作于点，则，由题意得到，分别在和中，利用锐角三角函数求解、即可． 【详解】（1）解：连接、， 因为，，， 所以，，， 所以OC为圆形区域的直径． 所以． 所以圆形区域的半径为50海里． 所以圆形区域的面积为平方海里． （2）解：过点B作于点，则， 由题意可得，所以 因为，所以 在中，因为，所以． 所以在中，（海里） 答：观测点B到A船的距离为海里． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，涉及锐角三角函数、勾股定理、坐标与图形，理解题意，构造直角三角形解决问题是解答的关键． 【变式训练3】．我国北斗导航装备极大的方便了航海时轮船的定位．如图，一货轮由地出发，去往地，当货轮在地时，导航显示货轮北偏东（即）方向上有海岛，货轮由地沿正东方向航行海里到达地，此时导航显示海岛在货轮的北偏东（即）方向上，求地与海岛之间的距离．    【答案】地与海岛之间的距离为海里 【分析】根据题意，过点作于点，是等腰直角三角形，则求出的长度，中，，三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵，，， ∴，是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∵，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴地与海岛之间的距离为海里． 【点睛】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，掌握方位角的特点，直角三角形，三角函数的知识是解题的关键． 类型三、坡角、坡度或坡比 例．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设点到的距离为，在中，求出的长，设米，在，利用锐角三角函数求出的值，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，设点到的距离为，由题意可知，， 在中，米， ∴米， 设米，则米． 在中，， ∴米， 在中，，解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 【变式训练1】．如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)10米 (2)约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过作，根据比例设，结合勾股定理求出，即可得到答案； （2）延长角的水平边交于则，由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：过作， ∵的坡比， 设， ∴在中，， ∴， ∴； 答：小李从斜坡走到处高度上升了10米． （2）解：延长角的水平边交于则， 在中，， 设， 在中，， ， ∵四边形是矩形， ， 又∵， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度为米． 【变式训练2】．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为，雪道长为．求该滑雪场的高度； 【答案】该滑雪场的高度h为 【分析】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．过B作，过A过，两直线交于F，过B作垂直地面交地面于E，根据题知，可得，由的坡度，设，则，，即可得； 【详解】解：过B作，过A过，两直线交于F，过B作垂直地面交地面于E，如图： 根据题知， ∴， ∵的坡度， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，（负值已舍去）， ∴， 答：该滑雪场的高度h为； 【变式训练3】．为测量底部不能到达的建筑物的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为，若山坡的坡度，坡长米，求建筑物的高度．（精确到1米)（参考数据： ，，，，） 【答案】约21米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意得：，根据山坡的坡度，可得，从而利用平行线的性质，以及平角定义可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：， 山坡的坡度， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，米， （米）， 在中，（米， 答：建筑物的高度约为21米． 类型四、解直角三角形应用举例 例．长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．如图是长嘴壶放置在水平桌面上，是水平桌面，测得，，，且，，壶嘴与水平面的夹角为．（参考数据：，，） (1)如图，当壶嘴与水平面的夹角为时，壶嘴口F离桌面高度恰好为壶身高度的倍，求壶嘴的长度；（结果保留根号） (2)若长嘴壶放置在水平桌面上，为使得长嘴壶能够装满茶水，求的取值范围．（结果保留两位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰梯形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过作于，先根据四边形是等腰梯形求出的长度，在求出，过作于，交过的水平线于，求出的长度，最后在中，求出的长度即可； （2）只需要，故，解得，所以即可求解． 【详解】（1）解：过作于， ，， 四边形是等腰梯形， ， 在中，， 过作于，交过的水平线于， 由题意得：，， 根据，，， 在中，， 所以，壶嘴的长度为； （2）解：壶嘴与水平面夹角为， 则， 故，依题意即可成立，故， 当时，取最小值为，即， 所以，的取值范围为：． 【变式训练1】．动感单车是一种新型的运动器材，这种运动器材的侧面结构如图实线所示，底座为，C，D在同一条直线上，测得，，，，支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点E到水平地面的距离是多少？（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．作于点M，于点N，在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点M，于点N， 在中，，即， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式训练2】．如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，可证明，即可证明结论； （2）根据四边形为平行四边形．得出．，在中，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∴四边形为平行四边形． （2）过点作于， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 在中，，即， ∴． 答：雕塑的高为． 【变式训练3】．如图1是一个花洒实物图，图2和图3是其侧面示意图．点B处既可以调节花洒的高度，又可以调节花洒臂与花洒杆的夹角．若打开花洒后水柱与花洒臂垂直，花洒的高度，花洒臂，小丽与花洒杆的距离． (1)如图2，当时，水柱恰好落在小丽的头顶上，求小丽的身高（结果保留整数．参考数据： (2)如图3，调节花洒臂AB与花洒杆的角度，当时，要使水柱恰好落在小丽的脚上，求此时小丽与花洒的距离．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】(1)163cm (2)63cm 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． （1）过点作于点，延长交的延长线于点，先得出，求出，在求出，最后根据即可得出答案； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据三角函数求出即可． 【详解】（1）如图1，过点作于点，延长交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：小丽的身高约是163cm． （2）如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：此时小丽与花洒的距离约是63cm． 1．数学兴趣小组借助测角仪，根据所学知识测量某建筑物的高度，下面是小霞提出的测量方案：把测角仪放在建筑物前面的E处直立，测得建筑物低端A的俯角为，顶端B的仰角为．已知测角仪的高度为米，求建筑物的高度．（结果精确到.参考数据：，，，，，） 【答案】建筑物的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题的应用，利用题干条件结合解直角三角形即可求得、的长，从而求得建筑物的高度． 【详解】解：根据题意可知：米，，， 在中，， ， （米）， 在中，， （米）， （米）， 答：建筑物的高度约为米． 2．“科技改变生活”，小顾是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到3位有效数字；参考数据：，） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的的实际应用，利用三角函数分别解和即可． 【详解】解：中，， ， （米）， 中，， ， （米）， （米）， 即该建筑物的高度为米． 3．冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①；②．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（精确到1米） (2)小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D． 【答案】(1)约2573米 (2)小外先到达终点D 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角的问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由三角函数定义求出、的长． （1）过作于交于，过作于，过作于，由等腰直角三角形的性质求出米，由，，得到米，由矩形的性质，，，，求出米，得到米，由等腰直角三角形的性质米； （2）求出滑雪道线路①②的路程，求出两人所滑行的时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：过作于交于，过作于，过作于， 点在点的西南方向， ， 是等腰直角三角形， （米）， ，， （米）， ，，，，， 四边形，是矩形， ，，，， （米）， 米， ， 是等腰直角三角形， （米）； （2）解：滑雪道线路①全程（米）， 小外滑行的时间是（秒）（分钟）， 小外途经的每个休息区都各休息了5分钟， 小外在滑雪道线路①共用时（分钟）， （米）， （米）， 米， （米）， 是等腰直角三角形， 米， 滑雪道线路②全程（米）， 小外的爸爸滑行的时间是（秒）（分钟）， 小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟， 小外先到达终点． 4．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． （1）过点C作于点D，分别在和中，解直角三角形即可求得的长； （2）由题意可得及的长，则计算即可求得结果． 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意得，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故景点B和C处之间的距离为； （2）由题意得：，， ， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约． 5．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为． (1)求乙同学从点到点的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)上升的高度为6米 (2)大树的高度约为24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形函数的相关定义和运算是解题关键． （1）作于，根据题意可得，然后利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得，进一步可得，，然后利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：作于，如图所示， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：乙同学从点到点的过程中，他上升的高度为6米； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴在矩形中，，， 在中，， ∵， ∴， 解得 ， 答：大树的高度约为24米． 6．为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为 的改造为坡角为的，已知 ，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离(结果保留根号)． (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为， ，若 ，求此时货车顶端E到水平线的距离．(结果精确到，参考数据： ，)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题； （1）过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，，从而可得，，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 的距离为； （2）解：延长交于点， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， 在中，， ， 米， 此时货车顶端到水平线的距离约为． 7．我校新买了一批折叠桌.如图所示，将其中一张折叠桌平稳放置地面，此时桌脚与相交于点O．，，，，． (1)求点O至的距离； (2)《中华人民共和国国家标准》中指出，桌椅高度差应控制在至范围内（包括与），现有两种规格的椅子可供挑选，甲种椅子高度为，乙种椅子高度为，请问挑选哪种椅子比较合适，为什么?（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)甲种椅子，理由见详解 【分析】（1）过点作于点，根据已知条件和锐角三角函数即可求点至的距离； （2）延长与交于点，结合（1）可得的长，再根据桌椅高度差应控制在至范围内，进行计算即可判断． 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ，， ，． ， ； （2）解：甲种椅子，理由如下 延长与交于点， ，， ， ， ， 甲种：，在至范围内； 乙种：，不在至范围内． 所以张先生挑选甲种椅子比较合适． 8．云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，． (1)求的长； (2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1)m (2)此时点B距离城墙的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形，作辅助线构造直角三角形，利用三角函数计算即可． （1）先根据角度得到，然后利用正切计算即可； （2）过点C作于点M，过点D作于点N，的延长线交的延长线于点P．得到四边形是矩形，在中，利用余弦得到长，然后在中求出的值即可解题． 【详解】（1）∵，， ∴． 在中， ∵，， ∴． （2）如图，过点C作于点M，过点D作于点N，的延长线交的延长线于点P． ∴，． ∵， ∴． ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴， ． ∴此时点B距离城墙的距离约为． 9．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，． (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：） 【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为米 (2)此时水桶B上升的高度为米 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过O作于O，过A作于G，在中即可求解； （2）过O作，过B作于C，过作于D，在中求出，在求出即可求解； 【详解】（1）解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； （2）解：过O作，过B作于C，过作于D， ∵， ∴，， ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 10．如图1是一手机直摇专用支架，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度． (1)如图2，当支杆与地面垂直，悬杆与支杆之间的夹角且的长为时，求手机悬挂点D距离地面的高度． (2)在图2，所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得，同时调节的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为，求的长（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点E，解，得到，故； （2）过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设，分别解中，得，而，解中，得，由题意得，，故，解得． 【详解】（1）解：过点D作于点E， ∵在中，， ∴， ， 由题意得，， ∴点D距离地面的距离与相等，即为； （2）解：过点D作的平行线交地面于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足为，过点C作于点H，设， 由题意得，四边形，为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 由题意得，, ∴， ∴， 解得， 答：的长约为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$