46.染色问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

46.染色问题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（    ） A．216 B．360 C．720 D．1080 3．（22-23高二下·北京延庆·期中）在某种设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂三个格子（如图），要求每种颜色都要有，李明共有多少种不同的填涂方法？（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 5．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 6．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（    ）种涂色情况. A．121 B．454 C．621 D．以上答案均不对 8．（2024高二下·江苏·学业考试）用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 9．（23-24高二下·安徽·阶段练习）如图，一个椭圆形花坛分为A，B，C，D，E，F六个区域，现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花，相邻区域所种的花颜色不能相同．现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择，B区域必须种红花，则不同的种法种数为（   ）    A．156 B．144 C．96 D．78 10．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．48 B．60 C．72 D．84 11．（23-24高二下·河北石家庄·期中）在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（    ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A．0 B．1 C．2 D．3 12．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 13．（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（    ）种 A．99 B．96 C．66 D．60 14．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 15．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 16．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有（    ）    A．180 B．240 C．360 D．420 17．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）在一个正六边形的六个顶点上放置数字，要求每个顶点上放置一个数字，且任意相邻两个顶点上的数字之和不能为5或7.若已经在三个相邻顶点上放置了数字1、2、3，则共有 种不同的放置方法（数字可以重复使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六个顶点上的数字之和的最小值是 ． 18．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法. 19．（25-26高三上·上海·单元测试）四色定理（Four color theorem）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）提出来的，其内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有 种． 20．（23-24高二下·重庆·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 种. 21．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 种． 22．（23-24高二下·重庆·阶段练习）我市周边接壤的省份如下图，用若干种颜色标注6个地图的区域，使得相邻区域颜色不同，则最少需要 种颜色，此时共有 种涂色方案． 23．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有 种不同的方法．    24．（2024·全国·模拟预测）斐波那契时钟是一种基于斐波那契数列设计的特殊时钟．钟面上是5个正方形方块，每个方块对应的数值分别是斐波那契数列里的前5个数：，方块的数值固定，颜色可变化，可呈现红色、蓝色、绿色、白色．人们根据方块对应的数值和颜色计算时间，规则如下：小时数红色方块数值蓝色方块数值；分钟数（绿色方块数值蓝色方块数值）；呈现白色时忽略．如图表示时间为，则当表示时间为时，数值为5的方块为白色的概率为 ． 25．（2024·安徽淮北·二模）在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为 . 26．（23-24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 27．（23-24高二下·浙江宁波·期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种． 28．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色，则一共有 种着色方法． 29．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）现有5种不同的农作物可供下图中的4块地种植，每一块地种一种农作物，且相邻的两块地种的农作物不能相同，若最多使用3种农作物，则不同的种植方法数为 . 30．（23-24高二下·河北唐山·阶段练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是 31．（24-25高三上·重庆长寿·开学考试）某次文化艺术展，以体现了中华文化的外圆内方经典的古钱币造型作为该活动的举办标志，举办方计划在入口处设立一个如下图所示的造型现拟在图中五个不同的区域栽种花卉，要求相邻的两个区域的花卉品种不一样. 现有木绣球、玫瑰、广玉兰、锦带花、石竹等5各不同的品种. (1)（i）共有多少种不同的栽种方法； （ⅱ）记“在③和⑤区域栽种不同的花卉”为事件A，“完成该标志花卉的栽种共用了4种不同的花卉”为事件，求； (2)设完成该标志的栽种所用的花卉品种数为，求的概率分布及期望. 32．（23-24高二下·河南信阳·期末）绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为.    (1)求的分布列与期望； (2)若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？ 33．（23-24高二下·安徽合肥·期中）如图，从左到右有5个空格． (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） (2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） (3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 34．（23-24高二下·贵州六盘水·阶段练习）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为等份，种植红､黄､蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花. (1)如图1，圆环分成的4等份为，有多少种不同的种植方法？ (2)如图2，圆环分成的等份为，有多少种不同的种植方法？ 试卷第8页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D C A D B A C 题号 11 12 13 14 15 16 答案 B B C A B D 1．D 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】对、号无人机颜色与至号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种. 故选：D 2．D 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，结合棱柱的结构特征，分3步讨论侧棱、上底、下底的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，如图： 分3步进行分析： ①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法， ②对于上底，有4种颜色可选，则有， ③对于下底，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有种选法， 则共有种选法． 故选：D． 3．B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】每个格子填涂都有两种颜色可选，计算出所有情况，再去掉三个格子填涂颜色相同的情况，即可得出结果. 【详解】因为每个格子填涂都有两种颜色可选， 所以三个格子填涂颜色一共有种情况， 又因为三个格子颜色相同时有2种情况， 所以李明共有种不同的填涂方法. 故选：B. 4．D 【难度】0.65 【知识点】涂色问题 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，    分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 5．C 【难度】0.65 【知识点】涂色问题 【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 6．A 【难度】0.4 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为， 所以不同的涂色方案有（种）. 故选：A 【点睛】思路点睛：涂色问题，可以按用色多少分类，再在每类中探求同色方案列式求解. 7．D 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型 【分析】先求出不考虑旋转的条件下的涂色情况；再求出四面体旋转方式的总数，即可求解. 【详解】若不考虑旋转的情况，共有，而四面体共有种旋转方式，故共有. 故选：D 8．B 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】利用分类分步计数原理，分4步分别计算即可求得结果. 【详解】将“田”字型的4个小方格分别编号为，如下图所示： 根据题意，将问题分成4步进行， 第一步：涂方格A，共有5种颜色选择， 第二步：涂方格B，需与A不同，共有4种颜色选择， 第三步：涂方格C，若方格C与方格B颜色相同，只有1种选择；若方格C与方格B颜色不同，则有3种选择； 第四步：涂方格D，当方格C与方格B颜色相同，方格D有4种颜色选择；当方格C与方格B颜色不同，方格D有3种颜色选择， 因此可得不同的涂色方法共有种. 故选：B 9．A 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、排列组合综合 【分析】依题意对、、、区域所选颜色分三种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】除B区域外，其他区域的种法分三类： 第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A区域选红色，有种不同的种法; 第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种， C，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法; 第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种， C，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法． 综上可得，共有（种）不同的种法． 故选：A 10．C 【难度】0.65 【知识点】涂色问题 【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案. 【详解】由题意知，与任意一点均不同色. 只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为； 用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色. 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为； 若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为. 根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为. 故选：C 11．B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】①分析可得在方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线，在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一个矩形，由分步计数原理计算可得答案；②分两类，选其中一组对角分同色和异色先涂，再涂余下的两个小正方形，按分步乘法计数原理求出每一类的方法种数，再按加法计数原理相加即可；③先求出蚂蚁由到的最短路径方法，再求出由到的最短路径方法，按分步乘法计数原理得到蚁可以选择的最短路径条数. 【详解】①根据题意，的方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线， 在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条， 就可以组成一个矩形，则可以组成个矩形，故①错误； ②当其中一组对角区域同色时，有种， 当其中一组对角区域异色时，有种， 由分类加法计数原理得四个区域涂色方法共有种，故②正确； ③蚂蚁沿小正方形的边从点A出发到达C的最短路径，需要走4条小正方形的边， 向上走2条边，向右走2条边，所以有条， 然后从点C出发到达E的最短路径，需要走9条小正方形的边， 向上走3条边，向右走6条边，所以有条， 由分步乘法计数原理，则共有条，故③错误. 故选：B. 12．B 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、涂色问题 【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法． 故选：B． 13．C 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】第一类，三条边用同一种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 第二类，三条边用种颜色， 由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色， 先涂有种方法，再涂，，有种方法， 共有方法数为种； 第三类三条边用种颜色， 先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法， 再涂有种方法，共有方法数为种； 由分类加法计数原理可得，共有方法数种． 故选：C． 14．A 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算. 【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 15．B 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有. 故选：B. 16．D 【难度】0.65 【知识点】其他排列模型、涂色问题、分类加法计数原理 【分析】依次求出5个花池栽了5种颜色的花卉，栽了4种颜色的花卉，栽了3种颜色的花卉的方法种数，再相加即得所求． 【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种， 若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花， 或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种， 若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种， 所以最多有种栽种方案. 故选：D 17． 72 6 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合 【分析】分析已知三点的数字分布，由题意分析出已知三点中两端的相邻点的可能得数字，这两个点的数字可能相同也可能不同，所以分类讨论出结果，再相加即得答案；第二个空即可从前面的答案中找到数字最小的情况再相加即可. 【详解】数字包含了：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个， ∵相邻两个顶点数字之和不能为5或7， ∴2和3不相邻，即三个点分布为3、1、2或2、1、3， ∵正六边形是对轴称图形，故上述两种情况相同，记一种结果， 由题意可知： 与2相邻的另一个点的数字可能是：0、1、2、4、6、7、8、9， 与3相邻的另一个点的数字可能是：0、1、3、5、6、7、8、9， 1)当这两个点所选数字相同时，共有种取法， 此时，与剩余点相邻的数字相同，只需考虑2种不符合题意的数字， ∴最后一个点共有种取法， ∴共计种不同的放置方法； 2)当这两个点所选数字不同时，则有种取法， 此时，与剩余点相邻的数字不同，即2、3；2、5；4、3；4、5不存在差为2的情况， 所以每种结果都需排除4个不符合题意的数字， ∴最后一个点共有种取法， ∴共计种不同的放置方法； 综上所述，共有种不同的放置方法. 在所有符合上述要求的放置方法中，六个点上的数字分别为2、1、3、0、0、0时和最小， ∴最小值为：6 故答案为：①72 ；②6. 【点睛】思路点睛：本题的关键在于分析第四和第五个点相同与否会影响到第六个点的取值情况，所以在这里需要分类谈论. 18． 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分类加法计数原理 【分析】①利用分步计数原理可求不同的涂法；②先涂，再就的涂色情况分类计算即可. 【详解】①先涂，共有种，再涂鸦，共有种， 故共有种涂法. ②先涂，共有， 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 同理所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 故共有涂法种， 故答案为：. 19． 【难度】0.65 【知识点】涂色问题 【分析】涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案，再利用分步乘法原理计算各类的方法数，并结合分类加法原理求出总的方法数. 【详解】涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案， 若只使用3种颜色的涂色方案有种， 若使用4种颜色的涂色方案种， 所以不同的染色方案有种． 故答案为： 20． 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】按同色区域用黄色和不用黄色分类，再结合分步乘法计数原理列式计算即得；按用色多少分成3类，再在每一类中采用先取后排的方法列式计算即得. 【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色， ①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法， 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，分3种情况讨论： ①若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法； ③若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法， 综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：染色问题，可以按用色多少分类，再在每一类中找同色方案，并结合排列组合综合问题求解. 21．72 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、涂色问题 【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点开始涂色计算可得结果. 【详解】根据题意按照的顺序分5步进行涂色， 第一步，点的涂色有种， 第二步，点的颜色与不同，其涂色有种， 第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种， 第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择； 第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择； 根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种. 故答案为：72 22． 4 120 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、涂色问题 【分析】根据题意结合题中地图分析可得至少用4种颜色；4种颜色全部用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，利用穷举法，结合排列数公式计算即可求解. 【详解】图中有三个省份相邻，若用3种颜色，必有湖北和四川相同颜色， 陕西和规则同色，此时需要重庆和湖南同色，不满足题意，故至少需要4种颜色； 根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同， 其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色， 共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、 {“四川和湖北”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”}、 {“贵州和湖北”且“湖南和陕西”}，5种情况， 所以不同的涂色共有种， 故答案为：4；120. 23．420 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分类加法计数原理 【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可. 【详解】分两类情况： 第一类：2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法； 第二步种2与4区域，有4种方法； 第三步种3区域，有3种方法； 最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有种方法； 第二类：2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上， 是排列问题，共有种方法； 第二步种5号区域，有2种方法， 由分步计数原理共有种方法. 再由分类计数原理，共有种不同的方法. 故答案为：420. 24．/0.25 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意：小时数红色方块数值蓝色方块数值；分钟数（绿色方块数值蓝色方块数值），可知蓝色方块数值可以既用来表示小时数，也可以用来表示分钟数，接下来就是对这五个区域着色，按数值为5的方块着色，分四类列举讨论即可得到结果. 【详解】 当表示时间为时，小时数为6，则红蓝；分钟数为30， 则（绿蓝）30，所以绿蓝．故红绿，则各方块的颜色情况如下． （1）如图1，当数值为5的方块为白色时，剩下方块的数值分别为， 若2，3为蓝色，1，1为一红一绿，则有2种情况；若为蓝色，另一个1为白色， 则有2种情况，（提醒：此时钟面上不出现红色和绿色的方块）总计4种情况． 图1 （2）如图2，当数值为5的方块为蓝色时，剩下方块的数值分别为， 若2，3为白色，1，1为一红一绿，则有2种情况；若2，3为白色，1，1为一蓝一白， 则有2种情况，总计4种情况． 图2 （3）如图3，当数值为5的方块为红色时，剩下方块的数值分别为， 若1，1为一蓝一白，2，3为绿，则有2种情况；若1，1为一红一绿，2，3为绿色， 则有2种情况，总计4种情况． 图3 （4）当数值为5的方块为绿色时，因为红绿，由（3）可知，也有4种情况． 综上，总计有16种情况，其中数值为5的方块为白色时有4种情况，所以． 故答案为：. 25． 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题、排列数的计算 【分析】根据题意，第一个的方格有种涂法，假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色，分类求得不同的涂色方法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】设四种颜色分别为，对于第一个的方格，共有种不同的涂法， 假设第一个的方格，涂如图所示四种颜色， ①若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或， 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； ②若第三列的一个方格涂，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂或， 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第一、二方格，分别涂； 当第三列的第三方格涂时，则第三行的第二方格涂，不合题意； 所以，共有类涂法，则共有种不同的涂色方法. 故答案为：. 26．72 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、涂色问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同. 那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色. 由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和. 如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种. 综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种. 而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种. 故答案为：. 27．396 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、实际问题中的计数问题 【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成即可求解. 【详解】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情： 第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种. 按照分类加法计数原理得，共有种. 故答案为：396. 28．144 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先对③着色，再求①和②，④和⑤着色，根据分步计数原理，即可求得结果. 【详解】先对③着色，共有种选择； 再对①和②进行着色，因为①和②颜色不能相同，且与③不同，则共有种选择； 最后对④和⑤进行着色，因为④和⑤颜色不能相同，且与③不同，则共有种选择； 根据分步计数原理，则共有：种着色方法. 故答案为：. 29． 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】分用2种农作物和3种农作物两种情况求解. 【详解】若只用2种农作物，则种植方法数有， 若用3种农作物，先从5种不同的农作物选3种农作物，有种方法， 第一块地有3种种植方法，第二块地有2种种植方法， 若第三块地与前两块地种不同作物，则第四块地有2种种植方法， 若第三块地与第一块地种种相同作物，则第四块地只有1种种植方法， 则种植方法数有， 所以总共有种种植方法. 故答案为：. 30．1920 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，按照地图涂色问题的方法，分步讨论每个区域的涂色方法，由分步计数原理计算求解即可. 【详解】如图， 设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A.种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择，则区域E可选择的花卉有4种， 故不同的种植方法种数是：. 故答案为： 31．(1)（i）420种；（ⅱ） (2)分布列见解析，数学期望为 【难度】0.65 【知识点】涂色问题、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（i）规定涂色顺序为：①→③→②→④→⑤，分类讨论②和④是否同色，进而分析求解；（ⅱ）根据题意求，结合条件概率公式运算求解； （2）分析可知：可能的取值为3，4，5，结合（1）中结论求分布列和期望. 【详解】（1）（i）规定涂色顺序为：①→③→②→④→⑤， 若②和④同色，方法数为； 若②和④不同色，方法数为； 所以共有种不同的栽种方法； （ⅱ）由题意可知：，， 所以. （2）由题意可知：可能的取值为3，4，5，则有： ，，， 所以的概率分布列为 3 4 5 期望为. 32．(1)分布列见解析， (2)， 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、涂色问题、由定义判定等比数列 【分析】（1）分别计算种两种、三种、四种花卉的种植方法，得到总共的种植方法，再进一步得到概率、分布列、数学期望； （2）利用分步乘法计数原理，第一步先给中间的涂色有5种方式，第二步中，每个区域都不能与同色，进而有个区域，有4种花卉可选，共有种方式，要保证与不同色，进而得到与的递推关系，转化为数列问题，构造等比数列得到，再结合第一步得到答案. 【详解】（1）的所有可能值为2，3，4. 若种两种花卉，则种植方法有； 若种三种花卖，则种植方法有； 若种四种花卉，则种植方法有； 所有的种植方法有. 所以，，， 所以的分布列为 2 3 4 的期望. （2）分两步， 第一步种植区域，有种种植方法； 第二步种植区域，在块区域种植不同的花卉（有4种花卉供选择），设不同的种植方法有种. 显然，； 当时，有4种种植方法，有3种种植方法，…有3种种植方法（不论是否与同种），所以共有种种植方法， 其中包含了与同种的情况，此时，可以看成和合为一个区域，则共有个区域，即种种植方法， 所以，可得， 所以，数列是以为公比的等比数列，又， 所以，，. 又，，也适合上式， 所以，当时，. 由分步乘法原理知，在这个区域上种植花来，不同的种植方法有，. 33．(1)96 (2)48 (3)180 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、涂色问题、数字排列问题 【分析】（1）先将排好，再排其他数字即可； （2）先涂第一个格子，再涂第二个格子，依次进行，求出每步的方法种数，即可得解； （3）法一：从5家企业中选一家，再从3位校长中选2位，再从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长，进而可得出答案. 法二：先将五家企业分为3份，再将这3份分给3位校长即可. 【详解】（1）分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有种情况， 则一共有种不同的填法； （2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况， 第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况， 同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况， 则五个格子共有种不同的涂法； （3）法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈， 第1步：从5家企业中选一家， 第2步：从3位校长中选2位， 第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长， 第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业， 因此有种． 法二：五家企业记为A，B，C，D，E，把这五家企业分为3份， 如，，， 含有E的这一份要从A，B，C，D取一家组成2家，如取A得， 前面分三份会出现，因此有， 然后再分给3位校长， 因此总排法有种． 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 34．(1)18 (2) 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）分类讨论与不同颜色以及与相同颜色时，不同的种植方法，即可求出答案； （2）由题意知圆环分成的等份，对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法，但这样的种法只能保证与不同颜色，但不能保证与不同颜色，在这种情况下要分类，一类是与不同色的种法，另一类是与同色的种法，根据分类计算原理的出结果. 【详解】（1）如图1，当与不同颜色时，有种；当与相同颜色时，有种，所以共有（种）. （2）如图2，圆环分为等份，对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法， 但这样的种法只能保证与不同颜色，不能保证与不同颜色. 于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种. 另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，这样的种法相当于对部分符合要求的种法， 记为，共有种种法. 这样就有.即， 则数列是首项为，公比为的等比数列. 则. 由,， . 故圆环分成的等份的不同种法有种. 答案第2页，共22页 答案第11页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$