44.部分平均分组问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

44.部分平均分组问题 1．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 2．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 3．（24-25高三上·重庆·开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加．若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（    ）种 A．108 B．114 C．150 D．240 4．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（    ） A．150 B．300 C．450 D．540 6．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山东济宁·期中）某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的是（    ） A．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式 B．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式 C．分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式 D．分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1160种分配方式 8．（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（    ） A．52 B．72 C．76 D．100 9．（23-24高二下·河南漯河·期末）现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·天津·期中）将5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有（    ） A．120种 B．150种 C．240种 D．360种 11．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（    ） A．2730 B．10080 C．20160 D．40320 12．（23-24高二下·浙江杭州·期中）将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（    ） A．50 B．150 C．240 D．300 13．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 14．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ）． A．若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种； B．若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种； C．若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种； D．若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种； 15．（24-25高二下·全国·课后作业）2023年春节旅游业回暖，人们纷纷外出游玩，游览祖国美好河山．现有6名游客去A，B，C，D四个景点游览，要求每个景点都有人游览，且甲和乙不去同一个景点，则不同的游览方式共有 种（用数字作答）． 16．（2023·河南周口·模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答） 17．（2024·陕西宝鸡·三模）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成三个小组，则甲和乙在同一个小组的概率为 ． 18．（23-24高二下·浙江·期中）每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为 ． 19．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是 . 20．（23-24高二下·江苏淮安·期中）4个编号不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，有1个空盒或2个空盒子的方法共有 种. 21．（23-24高二下·四川眉山·期末）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有 种（用数作答）． 22．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）安排甲、乙、丙、丁共4名志愿者完成6项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，甲不能完成其中的A项工作，则不同的安排方式有 种（用数字作答）. 23．（2024高三·全国·专题练习）将个球队分成组，一组个队，其它两组个队，有多少种不同的分法？ 24．（2024高三·全国·专题练习）现有20个不同颜色的玻璃球，按照以下要求分配，共有多少种分配方法？ (1)均匀地分为2组；均匀地分为4组. (2)分为3组，其中两个组各6个球，另外两个组各4个球. (3)从这20个玻璃球中选取19个玻璃球，放进3个不同的纸盒中，每个纸盒中至少放6颗球. 25．（23-24高二下·江苏扬州·期中）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？ （2）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （3）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答） 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C A C B D C B 题号 11 12 13 14 答案 B B BD BCD 1．D 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据排列组合知识结合分组问题求解即可. 【详解】因为甲没有选景点，所以甲有种选法， 其余5名学生可以选3个景点或4个景点. 当其余5名学生选3个景点时，有种选法； 当其余5名学生选4个景点时，有种选法. 故共有种不同的选法. 故选：D. 2．B 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可. 【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类： 第一类，A场地安排1人，共种安排方法， 第二类，A场地安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B 3．B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】把5名新教师分成3组，利用分组分配及排除法列式计算即得. 【详解】5名新教师按分组有种方法，按分组有种分法， 因此5名新教师的安排方案有种， 当甲乙在同一组时，甲乙可视为1个人，即相当于4名教师的安排方案，有种， 所以所求不同的安排方案有（种）. 故选：B 4．C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 5．A 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【详解】把5人分组有两类情况：和. 先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把三组人安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 故选：A. 6．C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、分组分配问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得． 【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1． 三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种， 三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种， 恰好取6次卡片时停止的概率为：． 故选：． 7．B 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、组合数的计算、排列数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】AB项，工地不同，工程车不同，按工地选车顺序分步计数即可；CD项，先分组再分配．计算后判断各选项． 【详解】对A，先甲地从6辆工程车中分2辆，有种方法，再乙地从剩余的4辆工程车中分2辆，有种方法，最后的2辆分给丙地， 所以不同的分配方式有（种），故A错误； 对B，6辆工程车先分给甲､乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙､丁两地每地各1辆，有种方法， 所以不同的分配方式有（种），故B正确； 对C，先把6辆工程车分成3组：4辆､1辆､1辆，有种方法，再分配给甲､乙､丙三地， 所以不同的分配方式有（种），故C错误； 对D，先把6辆工程车分成4组：2辆､2辆､1辆､1辆，有种分组方法，再分给甲､乙､丙､丁四地， 所以不同的分配方式有（种），故D错误. 故选：B. 8．D 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】分类讨论与甲为一组的人数情况，结合分组分配问题的解法即可得解. 【详解】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2， 则不同的选择方案有种； 若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2， 则不同的选择方案有种； 若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1， 则不同的选择方案有种； 所以共有种选择方案. 故选：D. 9．C 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】将六本书先分组再分配，按照三组本数为，和三种情况讨论可得总分法.每种情况下优先分甲可得满足条件的分法，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】第一类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法：先将两本分给甲，然后将4本书分成两组分给乙、丙， 共有种； 第二类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法：先从4本书中取2本连同分给甲，剩下的分给乙、丙， 共有种； 第三类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法： 1）甲得2本：将分给甲，然后将剩余4本分成两组分给乙、丙， 共有种； 2）甲得3本：先从4本书中取1本连同分给甲，再将剩余3本分成两组分给乙、丙， 共有. 综上，将六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，共有种， 满足条件的分法有种. 所以，两本书被分给甲的概率为. 故选：C 10．B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】先把5个不同的球按照（3,1,1）和（2,2,1）的方式分成3组，求出分组的方法种数，然后再全排列即可. 【详解】若每个盒子中球的个数分别为2、2、1，则有 种方法， 再把这3组分别装入3个盒子中，有 装法，共有 种方法， 若每个盒子中球的个数分别为3、1、1，则有种方法， 再把这3组分别装入3个盒子中，有 装法，共有种方法，总共有 种方法， 故选：B. 11．B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、组合数的计算、分组分配问题 【分析】分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可. 【详解】若没有人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 若有一人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为. 故选：. 12．B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、分组分配问题 【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案. 【详解】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况， 若分组为1、1、3，则有； 若分组为1、2、2，则有； 则不同分法为种. 故选：B 13．BD 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】根据分步计数原理可判断A；先分组，然后再分配可判断BCD. 【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误； 对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故B正确； 对C，先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故C错误； 对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确. 故选：BD. 14．BCD 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、分组分配问题 【分析】利用捆绑法与插空法可判定A，利用分类计数原理计算可判定B、D，利用定序法可判定C. 【详解】对于A，甲乙相邻可看作一人，与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可， 方法数为，故A错误； 对于B，若甲排最左端，则有种排法， 若乙排最左端，则最右端有人可选，中间三人有种排法，计种排法， 合计同的排法共有42种，故B正确； 对于C，五个位置，先排丁、戊两人，有， 余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，故C正确； 对于D，五人分三组，有3、1、1或2、2、1两个分派方法， 若分为3、1、1三组，则有种方法， 若分为2、2、1三组，则有种方法，合计150种方法，故D正确. 故选：BCD 15．1320 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】分景点人数为和型，再分情况讨论由排列组合分别计算，最后求和即可； 【详解】若景点人数为型， 甲乙各自去一个景点时有种分组方式， 甲乙有一人和其余2人去一个景点时，共有种分组方式， 所以此时不同的游览方式有种； 若景点人数为型， 先不考虑甲乙去同一个景点的情况，从6人中选2人，再从剩下4人中选2人，共有种选法， 由于选出的2人有重复组合，还需除以，然后将4组全排，此时共有种， 再考虑甲乙去同一个景点的情况，从4个景点中选2个，有，然后将剩余4人全排列有种，此时共有种， 所以此时共有不同的游览方式有种． 所以共有种． 故答案为：1320. 16． 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案. 【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和， 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种； 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种， 所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种. 故答案为：. 17．/ 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题 【分析】先求出5人分成3个小组的分法，然后求出甲和乙在一个小组的情况，利用古典概型即可求解． 【详解】解：把5人分成3个小组的分法有：3，1，1和2，2，1， 3，1，1的的分法有种，甲和乙在一个小组的情况有种， 2，2，1的分法有种，甲和乙在一个小组的情况有种， 故所有的分组方法有25种，甲和乙在同一个小组的情况有6种， 故概率． 故答案为：． 18．216 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】按照先分组再分配的步骤安排分配方法. 【详解】第一步，将六名志愿者分成4组，要求甲、乙在同一组，戊、己不在同一组， 若分为3，1，1，1的四组，甲、乙必须在3人组，有种分组方法， 若分为2，2，1，1的四组，甲、乙必须在两人组，有种分组方法， 则一共有种分组方法： 第二步，将分好的四组全排列，分配到4个乡镇，有种，故总的分配方法有种． 故答案为：216 19． 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当五人中只有三个人被录用，不同的录用情况种数为； 当五人中只有四个人被录用，不同的录用情况种数为； 当五个人都被录用，不同的录用情况种数为， 所以每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是在于超过3人被录用时，如何正确分组，正确运用排列和组合的定义. 20．228 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】将4个小球分为“”型，“”型，“”型进行求解． 【详解】将4个小球分为“”型，则有一个空盒的方法为：， 将4个小球分为“”型，则有二个空盒的方法为：， 将4个小球分为“”型，则有二个空盒的方法为：， 则总方法数为：， 故答案为： 21． 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，分为为两类： 4女1男和5女时，共有种选法，在把选出的5人分为两类：或的两组，有种，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，选派的5人中，志愿者中至少有4名女生，可分为为两类： 当4女1男时，有种，当5女时，有种，共有种选法， 再把选出的5人分成3组，可分为或的两组，有种， 共有种不同的分配方法. 故答案为：. 22． 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先分组，然后将不含工作A的3组工作中选1组分配为甲，再分配其他3组工作即可. 【详解】第一步，将6项工作分为或有种情况； 第二步，从不含工作A的3组工作中选1组分配为甲，有种情况； 第三步，将剩下的3组工作分配给其余3人，有种情况. 由分布计数乘法计数原理可得不同的安排方式有种. 故答案为： 23． 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】首先取个队为一组；设剩余8个队为，第二步将8个队平均分成两组，结合组合知识即可求解. 【详解】分三步．第一步取个队为一组，有种分法；余下个队平均分成两组，每组个队，有种分法，但存在重复计数． 记个队为，若第二步取，第三步取，该分法记为， 则在中还有，共种分法，而这种分法是同一种分法， 故总共应有（种）分法． 24．(1)； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，利用排列数与组合数的概念与计算公式，即可求解. 【详解】（1）在抽取过程中，人为考虑了排列问题，例如，先抽取10个玻璃球，剩10个玻璃球， 和先抽取剩的10个玻璃球是同一种情况，切勿计算两次. 平均分组不用管组与组之间的顺序，先从20个不同颜色的玻璃球中抽取10个玻璃球作为一组， 剩下的10个玻璃球作为一组，然后再除以重复的倍数，重复的倍数与分组的数量相关， 具体次数是组数的一个全排列，即. 同理，均匀地分为4组的分配方法有种. （2）先从20个不同颜色的玻璃球中抽取6个玻璃球，然后从14个不同颜色的玻璃球中抽取6个玻璃球， 再从8个不同颜色的玻璃球中抽取4个玻璃球，剩下的4个不同颜色的玻璃球为一组， 这时前面两个分组的数量相同，后面两个分组的数量也相同，所以存在排列问题， 只需除以两次2的全排列，即. （3）首先把不同的对象分成相应的组，然后把分成的组进行排列，将19个球分为6、6、7组进行分配， 即. 25．；； 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、相邻问题的排列问题、分组分配问题 【分析】（1）利用捆绑法计算即可； （2）利用分类加法计数原理结合部分平均分组计算即可； （3）利用分类加法计数原理结合分组分配问题计算即可. 【详解】（1）两个女生一起视作一人，符合要求的排法数为种方法； （2）6本不同的书分给4位同学，可以分成3,1,1,1或2,2,1,1两种情况， 若是3,1,1,1分组，则有种， 若是2,2,1,1分组，则有种，合计种方法； （3）若两地安排到的女医生都为内科医生，则外科的4名男医生都被派出， 有种选法，再派去两地有2种方法，所以有72种派法； 若甲、乙两地安排到的1名女医生一个是内科医生一个是外科医生， 有两种情况：①甲内科为女医生，而乙外科有1女医生， 此时派法有种， ②甲外科有1女医生，乙内科为女医生，则派法有种， 合计288种方法； 综上共有种派法. 答案第14页，共14页 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$