42.平均分组问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

42.平均分组问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024·浙江·模拟预测）某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（    ） A．2025种 B．4050种 C．8100种 D．16200种 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．342 B．390 C．402 D．462 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（    ） A．60 B．114 C．278 D．336 5．（21-22高三上·湖北·阶段练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南·二模）2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（    ） A．792种 B．1440种 C．1728种 D．1800种 7．（2024·吉林白山·一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（    ） A．300 B．432 C．600 D．864 8．（23-24高二上·河南南阳·期末）把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（   ） A．540 B．630 C．1080 D．1260 9．（23-24高二下·贵州遵义·期中）第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．74种 C．88种 D．120种 10．（22-23高三上·福建厦门·期末）长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（    ）种. A．720 B．450 C．360 D．180 12．（2023·辽宁大连·一模）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二下·全国·专题练习）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ） A．240 B．300 C．420 D．540 14．（21-22高二上·江西上饶·期末）现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（    ） A． B． C． D． 15．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（    ） A．150 B．240 C．390 D．1440 16．（23-24高三上·全国·开学考试）某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（18-19高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（    ） A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 18．（2023·湖南永州·三模）在二项式的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 19．（2021·河北石家庄·一模）2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（    ） A．630种 B．600种 C．540种 D．480种 20．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高三上·广东·期末）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（    ） A．96种 B．124种 C．150种 D．130种 22．（23-24高三上·云南·阶段练习）某款对战游戏，总有一定比例的玩家作弊该游戏每10个人组成一组对局，若一组对局中有作弊玩家，则认为这组对局不公平.现有50名玩家，其中有2名玩家为作弊玩家，一次性将50名玩家平均分为5组，则5组对局中，恰有一组对局为不公平对局的概率为（   ） A． B． C． D． 23．（22-23高二下·湖北·阶段练习）园林高中三月开展“学雷锋践初心，喜迎两会”志愿活动.现有4名男同学和3名女同学，分配到3个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为（    ） A．216种 B．108种 C．72种 D．36种 24．（22-23高三下·河南·阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，则分配到3个小区的志愿者人数互不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 25．（2023·湖北襄阳·模拟预测）现有高校进入高中校园组织招生宣传，4名男生、3名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是（    ） A．42 B．60 C．84 D．120 26．（2023·贵州毕节·模拟预测）中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（    ） A． B． C． D． 27．（2022·吉林·模拟预测）将4名大学生平均分成两组，安排到甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（    ） A．24种 B．12种 C．6种 D．10种 28．（22-23高二下·安徽蚌埠·期末）把4个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，则恰有1个空盒子的放法种数为（    ） A．24种 B．42种 C．60种 D．144种 29．（2024·全国·模拟预测）为了配合社区做好新冠肺炎疫情防控工作，某校要派四名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（    ） A．14种 B．20种 C．10种 D．7种 30．（22-23高二下·湖南长沙·开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录入､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（    ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 31．（2023·陕西商洛·一模）某医院安排甲､乙等名医生到个社区去义诊，每个社区至少安排名医生，且每名医生只到个社区义诊，则甲､乙被安排在同一个社区义诊的概率是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二下·贵州·期中）为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的3月12日是我国法定的植树节．某班6名男同学和3名女同学约定周末一起去植树，现需将9人分成三组，每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法种数为（    ） A．240 B．360 C．480 D．540 33．（22-23高一下·吉林四平·期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实．同年8月，国务院教育督导委员会办公室印发专门通知，拟对各省“双减”工作落实进度每半月通报一次．2021年10月，全国人大表示：“双减”拟明确入法，避免加重义务教育阶段学生负担．11月3日，市场监管总局等八部门发布《关于做好校外培训广告管控的通知》．坚决杜绝地铁、公交站台等所属广告牌、广告位刊发校外培训广告．在“双减”政策的推动下，四平市教育局提出了教师轮岗制度，让更多的学生享受到更好更优质的教师师资，充分体现了教育的公平性．现从四平市某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级．要求每个班级至少分配1名教师．至多分配3名老师，则（　　） A．将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法 B．有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法 C．根据班级实际情况，现（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法 D．根据教学经验分析，甲、乙、丙三名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化，种分配方法 34．（22-23高三上·广东珠海·开学考试）甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（    ） A．不同的安排方法共有240种 B．甲志愿者被安排到学校的概率是 C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种 D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是 35．（23-24高二下·四川内江·期中）有甲、乙等4名同学，则下列说法正确的是（   ） A．4人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为12种 B．4人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为24种 C．4名同学分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有20种 D．4名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在一起，则不同的安排方法有6种 36．（22-23高二下·山西·期中）3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（    ） A．共有种不同的报名方法 B．若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能 C．若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法 D．若每个活动小组最少安排一名同学，且甲､乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法 37．（20-21高二·全国·单元测试）某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（    ） A．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式 B．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式 C．分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式 D．分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式 38．（22-23高二下·河北石家庄·期中）有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（    ） A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480 B．6人站成两排，且甲乙不在同一排，则不同的站法种数为432 C．6名同学分配到工厂参加实践活动，每个工厂2人，则有90种不同的安排方法 D．6名同学分别去三个展馆参观，则不同的方法有种 39．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法. B．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个. C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果. D．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有种24报名方法. 40．（21-22高二下·湖北·阶段练习）下列说法正确的是(    ) A．的展开式中，的系数为30 B．将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种 C．已知，则 D．记，则 41．（2023·河南郑州·二模）某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种． 42．（22-23高三·全国·课后作业）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有 种. 43．（2023高三·全国·专题练习）“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.为了缓解了教育的“内卷”现象，2021年7月24日，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.某初中学校为了响应上级的号召，每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了乒乓球，羽毛球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 种 44．（2024高三·全国·专题练习）现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为 . 45．（2023·海南海口·二模）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联．书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为 ． 46．（22-23高二下·湖北·期中）在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有 种. 47．（2022·黑龙江·模拟预测）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有 种. 48．（2022·上海徐汇·三模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 ．（结果用最简分数表示） 49．（2023·山西阳泉·三模）在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分配方式一共有 种．（用数字作答） 50．（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 51．（2022高三·全国·专题练习）设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）. (1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ (2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ (3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？ (4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？ (5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ (6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？ (7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？ (8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？ 52．（21-22高二·全国·课后作业）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)一堆1本，一堆2本，一堆3本； (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本； (4)平均分给甲、乙、丙三人； (5)平均分成三堆. 53．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期末）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数． (1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本； (2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本； (3)平均分成三个组每组两本． 54．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 试卷第10页，共10页 试卷第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D A B B A B A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B A D D C A D A C D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 C C A D C B C B A A 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 D C ACD ABD AD ABD BD ABC ACD ACD 1．A 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为个，将两类情况的方法总数相加即可. 【详解】将个红球分成组，每组球的数量最多个最少个，则有，两种组合形式， 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可. 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有种放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可. 综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球， 不同的装法种数为种. 故选：A . 2．B 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】首先考虑两对混双的组合，再考虑余下名男选手和名女选手组成两对男双组合，两对女双组合，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先考虑两对混双的组合有种不同的方法， 余下名男选手和名女选手各有种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合， 故共有． 故选：B 3．B 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】先分组再分配，先将人分成组，有、、三种分组可能，结合条件甲、乙两人不去同一景区游览，每种情况都先求出所有游览方法总数，减去甲乙去同一景区的方法总数，三种情况再求和即可. 【详解】去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览， 则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为； ②1，2，3型，则不同种数为； ③2，2，2型，则不同种数为． 所以共有种. 故选：B 4．D 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】分三类，第一类，只有3人被录用，第二类，只有4人被录用，第三类，5人全部录用，根据分类计数原理即可得到答案. 【详解】分三类情况，第一类情况，只录用3人，有种情况；第二类情况，只录用4人，有种情况； 第三类情况，录用5人有两种情况：或，有种情况． 所以根据分类加法计数原理共有种． 故选：D. 5．A 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、排列组合综合 【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解 【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1； 在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）. 因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个， 所以所求的概率． 故选：A． 6．B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解. 【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有种排法， 再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有种排法， 所以一共有种排法； 当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有种排法， 不考虑甲两天不能连排的情况，有种排法， 其中甲两天连排的排法有种，故初三到初八的值班安排有种排法， 所以一共有种排法； 综上可知共有种不同排法. 故选：B. 7．B 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】根据特殊原元素先排列，4名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果. 【详解】杨教授站中间，只有1种方法； 四名男生分成两组放在两边方法数； 两名女生放在两边方法数， 每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为. 故选：B. 8．A 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】根据排列组合中的分组分配问题求解即可. 【详解】将6个不同的小球按要求放有三种方案：4:1:1，3:2:1，2:2:2， 则所有的放法有种. 故选:A. 9．B 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】按照A场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解. 【详解】当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排； 当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排． 故不同的安排方法共有种． 故选：B. 10．A 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】利用均匀分组的原理，再结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由已知条件得 将12人任意分成3组，不同的分组方法有 种， 3个种子选手分在同一组的方法有 种， 故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为， 故选：. 11．B 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】考虑6人的分组情况，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，根据分类计数加法原理即可求得答案. 【详解】由题意可知，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱， 或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱， 每2人一组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案， 按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案， 故共有（种）安排方案， 故选：B 12．A 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题 【分析】先讨论分书的总方法，再求概率即可. 【详解】解：可以分为三类情况：①“2，2，2型”，有（种）方法； ②“1，2，3型”，有（种）方法； ③“1，1，4型”，有（种）方法，所以一共有（种）方法． 甲得到4本方法，. 故选：A 13．D 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】根据题意，结合分组分配问题，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意，将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组， 然后将这3组分配给甲乙丙三个人， 所以不同的分配方案有. 故选：D 14．D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可. 【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由种情况，综上：共有种情况，而五人抽五个礼物总数为种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为. 故选：D 15．C 【难度】0.4 【知识点】分组分配问题 【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果. 【详解】因为或 所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中 （1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法： 各放1个，2个，2个的方法有种. 各放3个，1个，1个的方法有种. （2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有 种. 综上，总的放球方法数为种. 故选：C 【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题. 16．A 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、确定性事件与随机事件的概率 【分析】根据题意按照分组分配问题的步骤，首先计算出恰有两种饮品没人购买的总数，再计算出四种饮品四人随意选择的总数，即可求得其概率. 【详解】解决该问题，可以将四位同学先分为2，2或3，1两堆，共有种分堆方法， 再从4种饮品中选出2种，分配给两堆人， 故共有种方法. 所以恰有两种饮品没人购买的概率为. 故选：A 17．D 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合 【解析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误， ③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位， 故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 , 从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加， 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是， 即选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法: 1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置; 3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; 5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列; 6.间接法:正难则反、等价转化的方法. 18．A 【难度】0.65 【知识点】求有理项或其系数、不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先写出二项展开式的通项，找出有理项和无理项的项数，再利用排列组合中的插空法求解即可. 【详解】解：因为二项展开式的通项为， 又因为， 所以当或时，为有理项， 所以有理项共有2项，其余5项为无理项， 先排5项为无理项，共有种排法，再排2项有理项，共有种排法， 所以有理项互不相邻的排法总数为：种. 故选：A. 19．C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合 【分析】先把把6名工作人员分成三组，再安排到三个村，即先分组，再排列. 【详解】把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：种； 把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有：种； 把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：种； 所以共有90+90+360=540种. 故选：C. 【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合． 20．D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题、排列组合综合 【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可. 【详解】名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有种分法，4组人有种站法，故所求概率. 故选：D. 21．C 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题、分组分配问题 【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5人分层三组，一种按照1,1,3；另一种按照1,2,2；由组合数公式可得分组的方法数目，②将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意：分2步进行： ①5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住， 可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2； 当按照1,1,3来分时共有种分组方法； 当按照1,2,2来分时共有种分组方法； 则一共有种分组方法； ②将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法； 则安排方法共有种， 故选：. 22．C 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型公式计算即可. 【详解】所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了同一组对局， 记该事件为事件，则. 故选:C. 23．A 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】有一个服务站有2名男同学1名女同学，其他两个服务站有1名男同学1名女同学，计算得到答案. 【详解】有一个服务站有2名男同学1名女同学，其他两个服务站有1名男同学1名女同学， 故共有. 故选：A 24．D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题、全排列问题 【分析】先将6名志愿者分组，然后再全排列到各个小区. 【详解】将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，共三种情况， 第1种情况：3个社区的志愿者人数分别为4，1，1，不同的分配方案共有种； 第2种情况：3个社区的志愿者人数分别为3，2，1，不同的分配方案共有种； 第3种情况：3个社区的志愿者人数分别为2，2，2，不同的分配方案共有种，则分配到3个小区的志愿者人数互不相同的概率． 故选：D． 25．C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先将男生按2，2和3，1，分为2组分配到两个学校，再把女生分3，1两组分配到两个学校，然后利用分步乘法计数原理求解. 【详解】解：先将男生分为2组分配到两个学校：一类是，二类是， 再把女生分为2组分配到两个学校有， 然后利用分步乘法计数原理得， 故选：C 26．B 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、排列组合综合 【分析】根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法， 其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种， 节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种， 故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种， 故所求概率为. 故选：B 27．C 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】均匀分组的计算公式，分组后进行分配，即可得解. 【详解】对四人均匀分为两组共有：， 再将两组与甲、乙两校全排列共有：， 所以不同的实习安排方案. 故选：C. 28．B 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】根据分组分配的解题步骤，结合分步乘法原理，可得答案. 【详解】将4个不同的小球分为2组，分组方案为或， 则恰有1个空盒子的放法种数为， 故选：B. 29．A 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】按照分组，分配的方法，结合组合和排列数公式，即可求解. 【详解】第一步：将四名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，共有种分法； 第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法，则不同的安排方法有（种）. 故选：A． 30．A 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意，分两种情况考虑：第一种：人数为的三组，第二种：人数为的三组求解. 【详解】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：人数为的三组，共有种； 第二种：人数为的三组，共有种. 所以不同的安排方法共有种， 故选：. 31．D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分组分配问题 【分析】将名医生分配到个社区分为两种情况，分别计算出两张情况的分配方案数，加和可得总体方案数；确定甲、乙被安排在同一社区的方案数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】将名医生分配到个社区有两种情况： 第一种情况是个社区分配名医生，另个社区分配名医生，有种不同的分配方案； 第二种情况是每个社区分配名医生，有种不同的分配方案； 将名医生分配到个社区去义诊，共有种不同的分配方案； 其中甲､乙被安排在同一个社区义诊的方案有种，所求概率． 故选：D. 32．C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意得到每组中两个男生和一个女生，先求得男同学甲与女同学乙不在同一个小组，有分法，再求得将6个男生和3个女生，分为3组，结合平均分组的计算方法，求得有分法，进而得到男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法为种分法，再根据每组中的两名男生有2种不同的分配情况，即可求解. 【详解】因为每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水， 所以每组中男女分配只有一种可能，即两个男生和一个女生， 若男同学甲与女同学乙在同一个小组，再从5个男生中抽取一个男生，有中， 剩余的6分成两组，共有种分法，所以共有分法， 若将6个男生和3个女生，分为3组，且每组中两个男生和一个女生， 共有分法， 所以男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法，共有种分法， 又因为每组中的两名男生有2种不同的分配情况： 所以不同的安排方法种数为种. 故选：C. 33．ACD 【难度】0.4 【知识点】分组分配问题 【分析】根据分组分配问题的处理方法，逐项列式判断即可. 【详解】对于A：将8名教师平均分配到4个不同班级，有种分配方法，故A正确； 对于B：有两个班级分配一名教师，另两个班级分配三名教师，有种分配方法，故B错误； 对于C：（1）班需要1名教师，（2）班和（3）班均需要2名教师，（4）班需要3名教师，有种分配方法，故C正确； 对于D：甲、乙、丙3名教师必须搭配一个班级，可达到教学效果最优化， 故剩余5名教师可按1，2，2和1，1，3两种情况分类，有种分配方法，故D正确． 故选：ACD． 34．ABD 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率、分组分配问题 【分析】先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A； 分A学校只有一个人和A学校只有2个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，再根据古典概型即可判断B； 先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者安排到其他3所学校即可判断C； 求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可判断D. 【详解】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动， 则共有种安排方法，故A正确； 甲志愿者被安排到A学校， 若A学校只有一个人，则有种安排方法， 若A学校只有2个人，则有种安排方法， 所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法， 所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确； 若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误； 甲志愿者被安排到A学校有种安排方法， 在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种， 所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确. 故选：ABD. 35．AD 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】用捆绑法即可判断A，用倍缩法即可判断B，用平均分组与不平均分组即求解可判断C，用分类加法分步乘法原理求解即可判断D. 【详解】对于A，4人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确； 对于B，4人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误； 对于C，4名同学平均分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观， 则有种， 4名同学不平均分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观， 则有种，所以共有种，故C不正确； 对于D，6名同学分成两组参加不同的活动，甲、乙在一起， 若还有一位同学与他们一组，共有种分法； 若甲、乙一个组，另两人一个组共有； 所以共有种分组方法，故D正确． 故选：AD. 36．ABD 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、排列组合综合 【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解. 【详解】A：每位同学都有3个选择，所以共有种不同的安排方法，故A正确； B：每个活动小组至少有1名同学参加，各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况， 若3个活动小组的报名人数分别为123，则有6种可能； 若3个活动小组的报名人数分别为222，则有1种可能； 若3个活动小组的报名人数分别为114，则有3种可能， 所以共有6+1+3=10种可能，故B正确； C：若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名， 则3个活动小组的报名人数分别为222， 所以报名的方法有种，故C错误； D：若每个活动小组最少安排一名同学，则各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况， 而甲､乙两名同学报名同一个活动小组， 若3个活动小组的报名人数分别为123，则有种方法； 若3个活动小组的报名人数分别为222，则有种方法； 若3个活动小组的报名人数分别为114，则有种方法， 所以报名的方法有96+18+36=150种，故D正确. 故选：ABD. 37．BD 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】对A，工地不同，工程车不同，可分步，甲先选2辆，然后乙选2辆，剩下2辆给丙； 对B，同A相同方法可得； 对C，由于不知哪个工地是4辆车，因此可把6辆车按分组，再全排列可得； 对D，与C相同方法，先分组再分配． 计算后判断各选项． 【详解】对A，先从6辆工程车中分给甲地2辆，有种方法，再从剩余的4辆工程车中分给乙地2辆，有种方法，最后的2辆分给丙地，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故A错误； 对B，6辆工程车先分给甲､乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙､丁两地每地各1辆，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故B正确； 对C，先把6辆工程车分成3组：4辆､1辆､1辆，有种方法，再分给甲､乙､丙三地，所以不同的分配方式有（种），故C错误； 对D，先把6辆工程车分成4组：2辆､2辆､1辆､1辆，有种方法，再分给甲､乙､丙､丁四地，所以不同的分配方式有（种），故D正确. 故选：BD. 38．ABC 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、其他排列模型、不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，分步乘法计数原理. 【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法， 再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，故A正确； B选项，甲、乙在前、后排各有种方法，其余4人全排列，，故B正确； C选项，6名同学平均分成三组到工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，故C正确； D选项，6名同学分别去3个展馆参观，分6步，每步3种不同方法，共有种方法，故D不正确. 故选：ABC. 39．ACD 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】根据分步计数原理判断ACD；分为选0和选2两种情况，分别求出对应的结果，根据分类加法计数原理即可判断B. 【详解】A：每位同学均有3种选择，根据分步乘法计数原理知， 共有种报名方法，故A正确； B：若选择0，则0只能在第二位，其他两位从3个奇数中选2个排好，共有种； 若选择2，则2可以排在前两位，有2种可能， 其他两位从3个奇数中选2个排好，共有种， 根据分类加法计数原理可知，共有种结果，故B错误； C：每项运动的冠军都有4种可能，根据分步乘法计数原理知，共有种结果，故C正确； D：先从4位同学选3人，有种方法， 再在选的3人，选择不同的项目，有种方法， 根据分步乘法计数原理知，共有种结果，故D正确. 故选：ACD 40．ACD 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和、分组分配问题、组合数的计算 【分析】A：根据结构可知，由2个y、1个x、2个构成，据此即可作答；B：先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6分成两组，将两组分别放入两个信封，据此即可求出不同的数量；C：根据排列数和组合数计算公式解方程即可；D：根据二项式系数求；令x＝－1和x＝0分别求和，据此即可求解． 【详解】A选项：的展开式中，的系数为，故A正确； B选项：将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种(先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误； C选项：∵， ∴，故C正确； D选项：∵， ∴； 令x＝0得，； 令x＝－1得，； ∴，故D正确． 故选：ACD． 41．240 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、全排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】先把5名学生分成人数为的四组, 再把四组学生分给宋元数学四大家讲述,根据等量分组及排列计算即可得到. 【详解】先把5名学生分成人数为的四组,共有种分法,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有种分法, 所以分配方案有种. 故答案为: 240. 42．684 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、排列组合综合 【分析】先将护士和医生分别分成三组，再将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，根据分步乘法计数原理可求出结果. 【详解】根据题意，分3步完成： 第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组， 若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有种分组方法； 若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有种分组方法； 则护士有种分组方法； 第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法； 第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有种安排方法； 根据分步乘法计数原理得种分配方法. 故答案为：. 43．54 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】 由分类加法和分步乘法技术原理以及分配方法和排列组合公式即可求解. 【详解】由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门， 则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2， 先将4每学科按1，1，2分成三组，有种方式， 再分到三个学年，有 种不同分式， 由分步计数原理得，不同选修分式共有 种， 同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有种， 所以共有36+18=54种， 故答案为：54 44． 【难度】0.4 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】直接根据圆排列及古典概型计算. 【详解】依题意，环排列有：种,总的连接方式有：种， 所以恰好能围成一个圈的概率为. 故答案为：. 45．15120 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】利用全排列计算长联的分配方式，利用平均分组分配计算短联的分配方式，结合分布乘法原理，可得答案. 【详解】4副长联内容不同，赠送方法有种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人， 有种方法，再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人， 方法种数为．所以所求方法种数为． 故答案为：. 46．450 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可. 【详解】满足条件的安排方案可以分为两类， 第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案； 方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人， 共有（种）不同的方案. 所以共有不同的安排方案. 故答案为：450. 47．40 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、全排列问题 【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可. 【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为种； 2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种. 所以不同的分配方法共有种. 故答案为：40 48． 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、分组分配问题、排列组合综合 【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得. 【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为种，4个人恰好分配到4个学校的情况为种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是. 故答案为：. 49．3500 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】先分医疗小组再分抢险小组，按小组数先分组后分配即可求得答案. 【详解】第一步分配医疗小组，先按2：4或3：3分两组再分配到两个受灾点，共有； 第二步分配抢险小组，只能按4：4分组再分配到两个受灾点，共有， 因此，共有种， 故答案为：3500 50．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 51．(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本有方法1种，列出式子即可；（2）和（1）类似，定向分配，分好组即可，不同的分法共有种；（3）先均分为3份，再将3份分配给3个人，不同的分法共有种；（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，再列出式子即可；（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，列出式子即可；（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，列出式子即可；（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，列出式子即可；（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，根据分析列出式子即可. 【详解】（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本.有方法1种， 不同的分法共有（种）； （2）与（1）类似，不同的分法共有（种）； （3）先平均分为3组，种分组方式，再分配给3个人， 得到不同的分法共有种； （4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本； 再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能， 不同的分法共有（种）； （5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种）. （6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有（种）； （7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有（种） （8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种） 52．(1)60种 (2)60种 (3)360种 (4)90种 (5)15种 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】(1)先从6本书中任取1本作为一堆，再从余下的5本书中任取2本作为一堆，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，根据分步计数原理计算即可； (2)结合(1)和每一种分组方法仅对应一种分配方法计算即可； (3)结合(1)和每一种分组方法有种分配方法计算即可； (4)甲从6本不同的书中任取出2本，乙再从余下的4本书中取2本书，丙从余下的2本中取2本书，根据分步计数原理计算即可； (5)注意把6本不同的书分成三堆(每堆2本)，与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人(每人2本)的区别，根据分步计数原理计算即可. 【详解】（1）先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种. （2）由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法， 故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种. （3）由（1）知，分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种分配方法， 故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有种. （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的取法有种，乙再从余下的4本书中取2本书，有种取法，丙从余下的2本中取2本书，有种取法， 所以一共有种取法. （5）把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书平均分成三堆后，再把书分给甲、乙、丙三人， 因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种. 所以，则. 53．(1)60； (2)360； (3)15. 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、全排列问题 【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案； （2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案． 【详解】（1）根据题意，第一组3本有种分法，第二组2本有种分法，第三组1本有1种分法， 所以共有种分法. （2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分法， 再将分好的三组分给3人，有种情况， 所以共有种分法. （3）根据题意，将6本书平均分为3组，有15种不同的分法． 54．(1)60 (2)90 (3)540 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】（1）利用分步计数原理可求得方法数； （2）先将名学生按分为三个组有种方法，则可求人分配到分配到三所学校方法数； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三所学校可求总的方法数. 【详解】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法；剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法， 则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有种分配方法； （2）名学生按分为三个组有种方法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； ③名学生平均分配到所学校有种方法； 则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 答案第30页，共31页 答案第10页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $$