30.向量共线问题-高二数学必刷题型汇总专练拔高（全国版）

30.向量共线问题 1．（23-24高三上·河南·期中）已知过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，点Q满足，点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 2．（2024·四川内江·模拟预测）已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广西桂林·三模）已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上（A在第一象限），点在上，以为直径的圆过点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的面积的最小值为 D．的面积大于 9．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与抛物线的准线有公共点 D．以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点 10．（23-24高二下·河南濮阳·期中）已知直线经过抛物线的焦点，与交于不同的两点，与的准线交于点，则（    ） A． B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．若成等差数列，则 11．（2024·安徽安庆·三模）直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（    ） A．线段与线段的中点必重合 B． C．线段的长度不可能成等差数列 D．线段的长度可能成等比数列 12．（2024·山东滨州·二模）已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B． C． D．双曲线的离心率为 13．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ． 14．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 15．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 . 16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线的焦点是点，准线为，过的直线交于（点在第一象限），交于点，且，则点的纵坐标是 ． 17．（2024·云南·模拟预测）已知是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，则直线的斜率为 . 18．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为 ． 19．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 . 20．（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线：的焦点为，直线，过分别交抛物线于点，，，，且直线，交轴于，，其中，则点坐标为 ． 21．（2024·湖南怀化·二模）已知双曲线，过点的直线交双曲线于两点，交轴于点（点与双曲线的顶点不重合），若，则当时，点坐标为 ． 22．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知椭圆：的长轴长为，离心率为，直线与椭圆有两个不同的交点； (1)求椭圆的方程； (2)若直线的方程为，椭圆上的点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求直线的斜率的值； 23．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，    (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最小值. 24．（2024·福建·模拟预测）贝塞尔曲线是由法国数学家Pierre Bézier发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础．贝塞尔曲线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉上的冲击． (1)在平面直角坐标系中，已知点在线段上．若，，，求动点坐标； (2)在平面直角坐标系中，已知，，，点在线段上，若动点在线段上，且满足，求动点的轨迹方程； (3)如图，已知，若点分别在线段上，且，求动点的轨迹方程． 25．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的一条渐近线方程为，若过点的直线交于两点，设的斜率为. (1)求的取值范围； (2)若交的两条渐近线于两点，且，求. 26．（11-12高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，且.    (1)若，求直线的方程； (2)试用表示点的横坐标，并求出的最大值； (3)若点是点关于轴的对称点，求证：. 27．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1. (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围. 28．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，. (1)求C的方程； (2)已知异于F的动点P，使得. （i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上： （ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值. 29．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 30．（2024·新疆·二模）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值． 31．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 32．（2024高三·全国·专题练习）设，定点，动点，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点C，点P满足，求点P的轨迹方程． 33．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点． (1)求曲线的方程； (2)证明：曲线在点处的切线与平行； (3)若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围． 34．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆C：与顶点，经过点且斜率存在的直线l交椭圆于Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN．求证：存在实数λ，使得恒成立． 35．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于． (1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值； (3)若直线过点，设，求的值． 36．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 37．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知椭圆，以的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．设为原点，直线与交于不同的两点，且与轴交于点，点满足，过点的直线与的另一个交点为． (1)求的方程及离心率； (2)若轴，证明：是等腰直角三角形． 38．（2023·安徽安庆·模拟预测）设是椭圆的左右焦点，是上一点. (1)求椭圆的方程； (2)过作斜率不为0的直线与交于两点，且轴上是否存在，使得，若存在求出的值，若不存在请说明理由. (3)设是上除长轴端点外任一点，对于有如下结论：与三边所在直线均相切的圆有4个，其中一个是我们熟悉的内切圆，其余三个称为旁切圆，记与线段相切的旁切圆的半径为，求的最大值. 39．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 40．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，直线是与圆的一条公切线. (1)求的方程； (2)已知过的直线交于两点，交轴于点，，若（分别表示的面积），，求实数的取值范围. 41．（2023·天津和平·三模）已知椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且满足，求的值． 42．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆：的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点． (1)求的周长； (2)若过的直线与椭圆交于、两点，且，求的值； (3)若直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明． 43．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知椭圆长半轴长为，离心率为，过左焦点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，且． (1)求椭圆方程； (2)求直线的方程； (3)若点位于直线的左侧且为椭圆上一点，点关于点的对称点为，设直线，的交点为，求面积的最大值． 44．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过作直线与交于两点，（）． (1)当时，求的值； (2)是否存在异于点的定点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 45．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点. (1)若，试求直线的斜率; (2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）. 46．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率； (3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围. 47．（23-24高二下·上海·阶段练习）设点， 分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. (1)求椭圆C的方程; (2)当 时，求点N的坐标； (3)当 时，求直线的方程. 48．（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 49．（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N． (1)求曲线C的方程； (2)过点A作于，若，O，B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 50．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，四边形的对角线交于点，且，，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断三点是否共线，并说明理由． 51．（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.    (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围； (3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围. 52．（2024·广东·二模）双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为． (1)若的一条渐近线为，求的方程； (2)已知动直线与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值． 53．（2024·河南·二模）已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由. 54．（2024·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大2． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过轴上的点的任意直线，交轨迹于不同两点和；交轴于，且，求的值． 55．（2024高三下·河南·专题练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，若点满足，证明：点在一条定直线上. 试卷第12页，共12页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B D D ABD AD ACD 题号 11 12 答案 ABD ABD 1．C 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】由题意，设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、向量的坐标运算以及点到直线的距离公式再进行求解即可． 【详解】易知直线l的斜率存在且不为零， 不妨设直线l的方程为，， 联立，消去x并整理得， 因为 由韦达定理得，，① 不妨设， 因为， 所以，② 因为， 所以，③ 联立②③可得， 整理得到即④ 又，⑤ 联立④⑤，可得， 所以的最小值即为点到直线的距离， 则最小距离， 当最小时，，解得，， 经检验，其满足， 所以的最小值为． 故选：C． 2．C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】设，则直线的方程为，与双曲线方程联立，得， ，由，得，从而求得，由此可得直线的方程. 【详解】设，直线的斜率为，则直线的方程为， 联立， 则①， ② 因为，则③， ①③联立解得，代入②得， 则直线的方程为或， 故答案为：C 3．D 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中向量共线比例问题 【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 4．D 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题 【分析】设，由双曲线定义和题目条件，表达出，，，在中，由余弦定理得，则，在中，由余弦定理得，故，设，求出直线与的斜率之积为. 【详解】设，则， 由双曲线定义得，， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 则，， 在中，由余弦定理得 ， 解得，则，， 设，则， 将代入得， 则直线与的斜率之积为. 故选：D 【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知椭圆的两顶点分别为，则椭圆上一点（除两点），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知双曲线的两顶点分别为，则双曲线上一点（除两点），满足； 5．B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 6．D 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆焦半径公式求出，结合条件列式运算得解. 【详解】根据题意，，所以直线的倾斜角为， 由椭圆焦半径公式得，， ，，即， 化简得，. 故选：D. 7．D 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中向量共线比例问题 【分析】由题意可知：，设，，根据向量共线可得，结合椭圆方程运算求解即可. 【详解】由题意可知：，可知， 设，，则， 因为，可得，整理得， 将代入方程可得，解得， 可知B点的横坐标为. 故选：D． 8．ABD 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】利用抛物线的定义及平行线分线段成比例计算即可判定A；利用抛物线的定义及三角形全等判定为等边三角形即可得B正确；设，利用焦半径的倾斜角公式结合辅助角公式计算最值可判定C，利用线段关系结合C项结论可判定D项. 【详解】设在上的投影为与轴交于点，因为两点在上，则， 又，则，得，A正确； 设A在上的投影为，则，所以， 又，则， 即，为等边三角形， 则，，B正确； 若在第四象限，设，则， ，令， 则， 则，当且仅当时取最小值，易知错误； 易知，所以，当且仅当轴时取等号， 由C知，此时，故，D正确. 故选：ABD      【点睛】思路点睛：对于C项，由于三角形为直角三角形，可根据焦半径的倾斜角公式利用角来表示三角形面积，求最值过程用到了三角函数的平方关系，换元法求最值即可，对于D项，借助三角形面积的大小关系及C结论即可判定. 9．AD 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】设直线方程为，则，由可得，联立直线与拋物线方程，利用韦达定理求出，进而求出以为直径的圆的圆心与半径，利用圆心到准线的距离与半径大小判断是否有公共点即可． 【详解】解：设直线方程为，即，则， 由，消去整理得， 则，, 由可得，，则，整理得， 所以，解得，. 又因为直线过，所以，即， 验证 ，与抛物线有两个交点.故A正确，B错误； 可知：准线方程为，直线的方程：， 由弦长公式得， 则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线没有公共点，C错误，D正确． 故选：AD． 【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解． 10．ACD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】根据题意求得，可判断A；由于，得，进而直线与抛物线联立方程组消去，然后利用韦达定理可求的值，可判断B选项；设，将把用表示出来，然后令，从而利用二次函数的性质可得范围，则可判断C选项；由成等差数列，得，然后过点做垂直准线与点，过点做垂直准线与点，进而利用平行关系成比例，从而可得点为中点，由此可判断D选项. 【详解】对于A：直线过点，所以，故A正确； 对于B：由于，，即， 由，， ， 又，即， 解得（舍去），，， 于是，解得，故B错误； 若，设，则 令， ，所以C正确； 成等差数列，得， 过点做垂直准线与点，过点做垂直准线与点， 则， 在中，由，得， ， ， 所以点为中点，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 1.在解决向量与圆锥曲线相结合的问题时，将把向量坐标表示，直线与圆锥曲线的方程列方程组，消去一个未知数得到一元二次方程，从而利用韦达定理即可解决问题. 2.在圆锥曲线问题中，通常情况下画出图象，要善于数形结合思想解决问题. 11．ABD 【难度】0.4 【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段和共中点，可判断A；从而证得线段与线段的长度始终相等，可判断B；由等差中项的性质可判断C；由等比中项的性质可判断D. 【详解】设直线， 联立得， 于是， 联立得， 于是，所以， 因此线段与线段的中点必重合，A正确； 设中点为，则，所以，B正确； 假设线段的长度成等差数列，则， 所以，于是， 两边同时平方并整理得， 于是， 展开整理得，该方程有解，所以存在直线， 使得线段的长度成等差数列，C错误； 同上推理，当线段的长度相等时， 线段，的长度成等比数列，D正确. 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．ABD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】设，，，由求出可判断A；由可判断B；由三点共线，则可判断C；注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式可判断D. 【详解】对于A，因为A，B关于原点对称，，， 设，， 因为，所以，， 解得：，，，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为三点共线，，，， 所以，则，故C错误； 对于D，因为，在双曲线上，所以，， ， 因为，即，其中， 所以，所以， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是得到，，，由此即可顺利得解. 13．或 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设由得，由均在抛物线上求出可得直线的斜率，再由点斜式方程方程可得答案. 【详解】由题，，又， 则，， 由题意知,，因此， 即， 又由均在抛物线上知， 解得， 直线的斜率为， 因此直线的方程为或. 故答案为：或. 14．/ 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解． 【详解】因为双曲线：，所以， 设直线方程为，代入双曲线方程消去得． 设， 因为，且， 所以，． 因为，所以， 所以，， 两式联立解得（负值舍去）． 故答案为：. 15． 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设，则，利用勾股定理得到 ，则得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可. 【详解】依题意，设，则， 因为点在以为直径的圆上，则， 在Rt中，，则， 故或(舍去)，所以， 则，故， 所以在中，， 整理得，则，则，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程， 16．/ 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题 【分析】点到准线距离，由，可得直线的斜率为，方程为，代入抛物线方程可求点的纵坐标. 【详解】抛物线，焦点，，则有 过点作准线的垂线，垂足为，则有 中，，则， 轴，则有直线的斜率为，直线的方程为，即， 由，消去得，解得或， 点在第一象限，则点在第四象限，所以点的纵坐标为. 故答案为：. 17．/ 【难度】0.4 【知识点】椭圆中向量共线比例问题 【分析】设，由，结合向量坐标运算表示出，代入到椭圆的方程，再由点差法和斜率公式求解即可. 【详解】如图，设，故， 则，又都在椭圆上， 故，且， 两式相减得：， 即，且把该式记为①， 同理可得：，且把该式记为②， 故由②-①得：，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理分析给定的条件，然后运用点差法，得到所要求的斜率即可． 18．4 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】方法一：联立方程可得韦达定理，结合分析可得，即可得离心率；方法二：根据双曲线的性质可得，，结合题意列式求解即可；方法三：直线方程写为参数方程，联立方程，根据韦达定理结合参数的几何意义分析求解；方法四：建立极坐标系，双曲线方程可以写为，结合极坐标的定义分析求解. 【详解】方法一：可知直线过左焦点，斜率， 且直线与双曲线相交，可知，则， 联立方程，消去x可得， 设，则， 由可知， 与联立可得， 代入可得，则， 所以双曲线的离心率； 方法二：由题意可知：直线的斜率，则直线的倾斜角， 可得，， 因为，可知， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法三：因为直线过点，将直线方程写为参数方程， 代入双曲线可得， 整理得， 可知两解为， 由可知，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率； 方法四：若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系， 则双曲线方程可以写为，其中为焦点到相应准线的距离． 由直线的倾斜角为可知，取可得两点， 由条件知在的延长线上，则当时为负值， 可得， 则，即，解得. 故答案为：4. 19． 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的参数及范围 【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可. 【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示， 设，则， 由，可得，解得. 又， 可得，即，⑤ 将①②代入⑤可得，⑥ 联立①⑥，即，解得， 将点带入椭圆方程可得，整理得， 由可得，解得， 又，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 20．/ 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，用点的坐标表示点的坐标，同理用点的坐标表示点的坐标，再利用共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】依题意，，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为， 由消去得：，设，则，即， 于是点，设点，同理得，， 显然，则，整理得，即点， 设，则，而， 因此，整理得，即， 解得，所以点坐标为 故答案为：    21． 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、根据韦达定理求参数 【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算结合已知列式求解即得. 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，则， 由消去y并整理得， ，则且，设， 于是，， 由，得，则， ，而，因此，解得， 所以点坐标为. 故答案为：    【点睛】思路点睛：直线与双曲线相交问题，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 22．(1)； (2)； (3)． 【难度】0.4 【知识点】求点关于直线的对称点、根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）由已知列方程组求得得标准方程； （2）设，由对称求得点坐标，代入椭圆方程可得； （3）设，，，，，， 直线的斜率为，直线方程为，代入椭圆方程求得点坐标，同理求得点坐标，由三点共线得向量共线，由向量共线的坐标表示可得结论． 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆标准方程是； （2）设，则，解得， 又在椭圆上，所以，解得或（舍去，此时与重合）， 所以； （3）设，，，， ，， 直线的斜率为，直线方程为， 由，得 ， ， ，所以， 同理， 又，， 因为三点共线， 所以， 将两点坐标代入得，整理得， 所以直线的斜率为2. 【点睛】关键点点睛：本题求椭圆标准方程，直线与椭圆相交、向量共线问题，解题关键是设出四点坐标，直线方程表示为，其中，直线方程与椭圆方程联立求得交点的坐标，同理得点坐标，利用参数代入求解可大大减少计算量，然后再由向量共线的坐标表示求得结论． 23．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）由椭圆方程求出，从而可得坐标，将其横坐标代入椭圆方程中可求出的值，进而可求出的面积; （2）设点的坐标为，则直线的方程为，代入椭圆方程中求出得，因为，可得，计算即可得出坐标； （3）由（2）同理可求得，从而可得化简后结合基本不等式可得答案 【详解】（1）设椭圆的半长轴长为，短半轴长为，半焦距为， 由椭圆，得，则， 所以， 当时，，得， 所以 所以的面积为; （2）设点的坐标为（），则直线的方程为， 将其代入椭圆方程中可得， 整理得， 所以，得， 所以， 因为，所以，可得， 化简得， 解得，代入得出 所以点的坐标为 （3）由（2）得 同理可求得， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 【点睛】关键点点睛： 的最大值得关键是结合韦达定理得出,再转换未知量,最后应用基本不等式求解即可. 24．(1) (2) (3) 【难度】0.15 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题、求平面轨迹方程、求抛物线的轨迹方程 【分析】（1）由题意得，再由向量的坐标运算可求坐标； （2）由题意得，，，依次进行向量的坐标运算，代入的坐标则可用参数表示的坐标，消去参数可得轨迹方程； （3）结合（1）（2）的运算，同理可得的坐标，消去参数可得轨迹方程； 【详解】（1）由题意可知，设， 则， ， 因为，且点在线段上， 所以，则有， 解得， 所以点坐标为. （2） 设， 由题意得，，，. 结合（1）同理可得，， 又， 则， 且， 则 将，，，坐标代入得 ， 设，则，消得. 又由，得. 故的轨迹方程为：. （3）设， 由题意结合（1）（2）同理可得， ， 且， ， 且， 其中. 则 ， 同理. 故， 将代入得 ， ， 设，则，消得， 又由，得. 故的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点有两点：一是将共线与长度比关系转化为向量关系式，再利用向量的坐标运算求解点的坐标；二是用参数表示动点坐标，再消参求解动点轨迹方程，并注意参数的取值范围. 25．(1)且 (2) 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由渐近线方程解出双曲线的标准方程，再直曲联立，消去，令判别式大于零解出即可； （2）由共线向量的关系得到恰好为线段的两个三等分点，设，通过联立方程求出和，利用，结合弦长公式即可得到关于的方程，解出即可； 【详解】（1）由题意可得，则，所以双曲线方程为． 当直线斜率不存在时显然不符合题意， 设直线的斜率为，设，联立 得，且 由得， 所以的取值范围为且， （2）由题知点恰好为线段的两个三等分点， 设， 由得，同理可得， 易知，即，则， 其中， 由（1）可得， 则， 故， 解得． 【点睛】关键点点睛：本题第一问关键在于直线不能和渐近线平行；第二问关键在于通过向量关系得到弦长关系，再利用韦达定理求解. 26．(1) (2)， (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）设，利用，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，即可求得直线的方程； （2）利用可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，当且仅当在长轴上时，最大，即可求解； （3）用坐标表示向量，即可证得结论． 【详解】（1）设， 因为， 所以， 所以， 又 解得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：. （2）设因为， 所以， 所以， 又解得：， 当且仅当在长轴上时，最大，此时， 即， 所以最大值为. （3）证明：由（2）知，， 所以 由（2）有，， 所以，， 所以. 27．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据已知的焦准距得出即可写出抛物线方程； （2）先设直线方程，再联立方程，结合向量的线性关系，得出，最后应用导函数正负结合单调性得出参数范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，从而抛物线C的方程为：. （2） 由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，. 由得：，， 则，由得：， 从而， 令，由于， 则， 所以在上单调递增，从而， 即， 所以直线在轴上的截距的取值范围为. 28．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据已知列式求出,即可得出椭圆方程； （2）（i）联立方程组结合向量关系计算得出点在的直线方程；（ii）先根据弦长公式求出再应用圆的方程求出高的最大值即可. 【详解】（1）当时，由对称性可知轴， ， 的标准方程为． （2）（i）（方法一）点异于点， 设，直线的方程为， 联立方程，得， ， 由可知 三点共线，且且， 点在线段的延长线或反向延长线上， 则，设，则， 由，则，代入上式得， ， 把，代入上式得，命题得证． （方法二）点异于点， 设，由可知 三点共线，且且， 点在线段AB的延长线或反向延长线上，，设，则， ， ， 将①式减去②式，得， 即， 则， 点在定直线上，命题得证． （ii）当时，由（i）可知 故解得 不妨设A在第一象限，则将代入C的方程， 得， ， 则直线的方程为，即， 设，由可知， 化简得， 点在以为圆心，3为半径的圆上，且不在直线上， 在直线上， 面积的最大值为． 29．(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线相交求直线方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据抛物线求焦点坐标，设直线方程为，与抛物线联立方程组，利用韦达定理计算的斜率判断三点共线； （2）根据（1）结合，得，，代入计算得，即得直线的方程. 【详解】（1） 证明：拋物线的焦点坐标为， 设直线的方程为，点， 联立，消去得，则， 所以，因为，所以， 又，所以， 即，所以三点共线. （2）因为，所以，于是，即， 由（1）知， 所以直线的方程为. 30．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据两点间距离最值结合离心率求出，即可得出椭圆方程； （2）结合向量共线求出参数关系得出轨迹方程，再根据点到直线距离求出最小值. 【详解】（1）设，， 则． 又因为，所以，即， 又椭圆的离心率，所以，则， 解得，故的方程为． （2）设，，，因为， 所以， 若，则，即与重合，与矛盾， 若，则，即与重合，与矛盾， 故，于是，将点代入， 化简得， 同理可得，， 故，为方程的两根， 于是，即，动点在定直线上． 令直线，当与相切时，记，的距离为，则， 联立可得， 由，解得，又，则， 此时，解得，，即切点为，直线，的距离为， 故的最小值为．    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求出点得轨迹方程为，最后再求出直线与椭圆相切的情况即可. 31．(1)； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用离心率求解即可，（2）利用是等边三角形，得到，（3）由知，故．联立双曲线和直线的方程结合韦达定理求解即可. 【详解】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 32． 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求平面轨迹方程 【分析】设点，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得到各点的坐标关系，表示出Q，C点的坐标，将的坐标代入，求出P的轨迹方程． 【详解】设，由点，和， 即，得点， 由经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点C，得． 由，得 则，即为点P的轨迹方程． 33．(1)； (2)证明见解析； (3)或． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）先设点再根据已知应用两点间距离公式列式计算即可； （2）先设点，再根据导数求切线，写出直线方程结合求参即可证明； （3）根据两点关于直线对称，先设直线再根据斜率积再联立求参数范围. 【详解】（1）设点,由； （2）∵点在抛物线上， ∴，求导得， 在点的切线方程为，即， ②-①得，即，∴，则， 令方程为，代入得：， 点坐标为，以点为切点的切线斜率为，故曲线在处的切线与平行； （3）若存在两点关于直线对称，则， 令中点，令方程为，由于在直线上，故有， 根据（2）结论可知，即， 故， 将直线与抛物线联立得： 或． 34．证明见解析 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、椭圆中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线再联立方程组，再根据共线得出参数关系再证明等式即可. 【详解】设，由，可得． 设，则 , ∴． 又N，E，Q三点共线，则，即，∴． ∵，则， ∴存在实数，使得恒成立． 35．(1) (2) (3)2 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的定值问题、抛物线中的参数范围问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）由题意易得直线斜率存在且不为，且直线、斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出，解不等式即可得直线斜率的范围. （2）设直线的方程为：联立直线与抛物线的方程得出点纵坐标之间的关系，再由，，得出、与点坐标之间的关系，对化简可求得的值. （3）根据，，得出、与点坐标之间的关系，再根据在同一直线上，在同一直线上，得出，与点坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得的值. 【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，所以， 所以抛物线的解析式为． 又因为直线过点，且直线与抛物线有两个不同的交点． 易知直线斜率存在且不为，故可设直线的方程式为. 根据题意可知直线不能过点，所以直线的斜率. 若直线与抛物线的一个交点为，此时该点与点所在的直线斜率不存在， 则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾， 此时，所以直线斜率. 联立方程，得， 因为直线与抛物线有两个不同交点，所以，所以． 故直线的斜率的取值范围是且且. 即率的取值范围是. （2）如图所示 设直线的方程为：由，得， 设，， 则，∵，， ，， ∴，，∴ ， . （3）如图所示 设点，，则，， 因为，所以，故，由得， 设，， 直线方程为， 令，得①，由直线可得②， 因为③， 将①②代入③可得， ， 又由根与系数的关系：，， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 36．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】双曲线向量共线比例问题、双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解； （2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 37．(1)，离心率为 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据题意得，再根据离心率公式即可； （2），联立方程得到韦达定理式，再利用共线向量关系得，计算，代入韦达定理式得其为0，则，再设的中点，证明，从而得到其为等腰直角三角形. 【详解】（1）由题意. 因为.所以， 所以椭圆方程为，离心率为. （2）设，联立方程， 消去得：. 依题意，得，则.     直线，令得， 又因为，所以. 因为轴，所以点B与点关于x轴对称，所以， 所以向量，， 则有 . 所以，所以.         设的中点为，则，. ， 由题意可知，故，所以， 因为点B与点关于轴对称，所以， 所以， 所以为等腰直角三角形.     【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线与椭圆方程得到，再计算的值，设的中点为，最后再证明即可. 38．(1) (2)存在， (3). 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中向量共线比例问题、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由在椭圆上，且求解； （2）假设存在满足条件，易知轴是平分线，则，然后设直线方程，与椭圆方程联立，再利用韦达定理求解; （3）由，当为短轴顶点时，最大求解. 【详解】（1）解：由到的距离之和为，得， 所以椭圆方程为； （2）假设存在满足条件， 由，则轴是平分线，所以， 又，设直线方程：，代入椭圆方程联立得： ， 设，所以， ，即， ，则， 故存在满足条件. （3）如图所示： 设与线段相切的旁切圆圆心为， 故当最大时，即为短轴顶点时，最大，此时， 所以. 【点睛】方法点睛：本题第三问，将问题转化为焦点三角形，由，得到而得解. 39．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由题意列出关于，，的方程组，求出，，即可得解. （2）由向量共线得出的值、直线斜率存在且不为，设直线方程为，联立椭圆方程求出值和韦达定理，利用得出，结合所得韦达定理即可求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题，解得，， 因此椭圆的方程为即． （2）由题意可知向量起点相同，终点共线， 又由得， 故，即，即， 显然直线斜率存在且不为，设其方程为， 联立方程，消去，得，所以， 设，，则，， 又由得，即， 因此，从而，， 所以， 整理得，显然， 所以， 解得或．经检验，此时， 因此的取值范围是. 40．(1). (2). 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）利用直线是圆的一条切线，与椭圆相切，再结合离心率可得答案； （2）设，的方程为，由向量共线得，，直线与椭圆方程联立，由韦达定理得，代入有，从而，设，利用导数可得答案. 【详解】（1）因为直线是圆的一条切线， 所以，解得， 因为的离心率，所以， 由可得， 因为直线是椭圆的一条切线， 所以， 结合，解得， 所以的方程为； （2）设，显然的斜率存在且不为0， 设的方程为，令， 则，则， 由得， 解得，同理. 由得，则， . 不妨设， ， 代入，有， 则， 由，得. 解得， 因为，所以. 设，则，令， 则，故在上单调递增， 则，则的值域为， 则的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键首先是解出、的表达式，再联立直线与椭圆得到韦达定理式子，从而求证出为定值，然后再用有表示出，从而用表示出，最后再设新函数，利用导数求解出其范围，计算量很大. 41．(1) (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由椭圆的基本性质，利用求解即可. （2）先表示直线，则需考虑斜率存在不存在两种情况，斜率不存在时，可算出，斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立求解，找出，进而得到，又在线段的垂直平分线上，可求出，最后由代入向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设椭圆焦距为，依题意：，解得 又因为，所以，所以，椭圆的方程为． （2）由（1）可知，设点，，中点为， （ⅰ）若直线的斜率不存在，，线段的垂直平分线为轴， ，代入， ，有． （ⅱ）如图所示：    若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 解得，（舍去），即， 则中点，由题意， 所以．线段的垂直平分线方程为， 令，则，所以， ，， ，解得， 代入，则， 综上：或． 42．(1) (2) (3)相切，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可； （2）设，由可得，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理求解即可； （3）设，进而根据求得直线方程，结合直线交直线于点可得坐标，从而可得中点坐标，再根据到直线的距离等于即可判断. 【详解】（1）由题意椭圆中，则的周长为 （2）设，由可得， 联立有， 则，，. 又，可得，， 即，解得.    （3）设，，则由共线可得，即，故，则中点. 显然斜率不为0，，设直线方程，则，即， 故直线方程，即. 则到直线的距离. 又，故，则 ， 即到直线的距离等于，故以为直径的圆与直线相切.    【点睛】方法点睛： （1）直线与圆的位置关系，可根据圆心到直线的距离与半径的关系判断； （2）当椭圆上仅有一个动点时，可考虑设点坐标，根据点坐标将题意转化为表达式，最后代入动点满足的方程化简. 43．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）依题意可得，由离心率求出，即可求出，从而得解； （2）设，，根据得到关系，再由点在椭圆上得到方程组，解得、坐标，即可得到方程； （3）依题意为的中点，设，根据向量共线求出，从而得到，求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）依题意，，解得，则， 所以椭圆方程为； （2）设，，由（1）可知， 因为，又直线的斜率为，所以， 所以，所以，即， 所以，解得或（舍去），则， 即，，则，所以直线的方程为； （3）因为点关于点的对称点为，所以为的中点， 设，则， 由、、三点共线，所以，解得， 所以， 因为为的中点，所以，， 所以， 所以， 当过点的切线与平行时，的面积最大，设， 则，且切线方程为，则， 则，又点位于直线左侧，解得，即， 所以点到直线的距离为， 又， 所以，所以. 其中，椭圆上一点的切线方程为的证明过程如下： ①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得， 所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以 化简得． ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解答的关键是将的面积转化为的面积. 44．(1)或 (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设,由并与抛物线方程联立得，结合数量积的坐标表示计算即得. （2）确定点在轴上，设出直线的方程，，与抛物线方程联立，利用韦达定理及直线斜率和为0即可. 【详解】（1）当时，直线垂直轴，故，所以不合题意， 故，设，由得，即，， ，得，，即，则， 又，得， 故 , 化简得:,则或． （2）由题意，当时，直线垂直轴，， 在轴上， 故若存在定点，则必在轴上， 记直线的斜率分别为，则，     设，， 联立与得， 所以，     因为， 即，则， 故存在定点使得． 45．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、双曲线中的参数及范围、双曲线向量共线比例问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设，联立得到韦达定理式，根据垂直得到，再展开代入韦达定理式求解值，最后检验即可； （2）设 , 得到相关向量，根据向量共线得到方程组，解出，再将其代入双曲线方程化简得到，最后利用面积公式和导数求出面积范围即可. 【详解】（1）由题意知直线的斜率一定存在. 设直线的方程为. 联立，化简得:，其中 所以， 因为，所以. 即:，换元后有:. 所以，化简得:. 解得:或. 当时，直线过点，不符合题意. 当时，代入得，满足题意. 所以. （2）设， 则. 由可知:， 因为，所以，且有， 化简得:. 又， 设，则. 当时，在定义域上单减; 当时，在定义域上单增. 所以. 所以的取值范围是:. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用定比公式得到，再将其代入回双曲线方程化简整理出关键的，最后得到面积表达式，求出其范围即可. 46．(1) (2) (3). 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）把点代入方程列方程组求解即可； （2）①设直线方程为，代入椭圆E的方程可得，结合判别式与韦达定理，由，求出直线斜率即可； ②由,可知，代入，， 可得或，利用判别式求解的取值范围. 【详解】（1）因为，两点在椭圆上， 所以 解得，. 故椭圆的标准方程为. （2）设，，设， 联立，得， 即， ，，.     由得，则，则. 由得：， 即，     代入得，，， 解得：，，. 故直线的斜率为. （3）由,可知， 即， 即， 即，     代入，， 得， 即，故， 故或.     当时，直线过，此时点重合，与条件矛盾，舍去. 当时，直线过定点，点在线段上运动， 当时，由，所以，即 从而直线的斜率的取值范围为. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，转化等价条件，利用判别式和韦达定理，向量的共线问题求解，求解参数的范围. 47．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据椭圆的简单性质可得，解得即可； （2）可设，根据向量的数量积坐标运算即可求出点的坐标； （3）向量与向量平行，不妨设，设，，根据坐标之间的关系，求得的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程. 【详解】（1）点、分别是椭圆的左、右焦点，，， 椭圆上的点到点的距离的最小值为，， 解得，椭圆的方程为； （2）由（1）可得，， 由点是椭圆上位于轴上方的点，可设，， ，， ，，即， 解得，，； （3）向量与向量平行，，由题意， 又，，即， 设，，，，， ，， ， ，，， ， ，，， 解得，或（舍去）， ， ，， ，直线的方程为， 即为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算及斜率公式，解题的关键是利用向量的共线的运算的坐标运算及模的坐标公式求解点N的坐标，简化了运算过程，属于较难题. 48．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）由题意点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 ，建立方程组求解即可； （2） 三点共线，即证，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出的坐标，由坐标判断，证明即可. 【详解】（1）由题意得，且 （2）由 (1) 得， 设直线 的方程为，则， 由 得， 直线 的方程为，令 ，则， ， 所以三点共线. 49．(1)； (2)存在，8. 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据给定条件，利用圆与直线相切及与已知圆内切探讨关系，再结合抛物线定义求出轨迹方程. （2）设，由向量共线可得，进而可得，再利用直角三角形相似数量积的运算律求解即得. 【详解】（1）依题意，动圆在圆外，设动圆的半径为，且， 由圆与圆内切，得，由圆与直线相切， 因此点到的距离等于点到直线的距离， 即曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）线段MN的长度存在最小值，理由如下： 设，则， 由三点共线，得，解得， 直线的方程为，直线的方程为，则， 于是，则， 因此点在以为直径的圆上，设直线与轴交于点， 由∽，得， 则 ， 即，当且仅当取等号， 所以线段长度存在最小值，最小值为8. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 50．(1)； (2)三点共线，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】斜率公式的应用、利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出曲线方程. （2）设及直线的方程，与的方程联立，求出点的坐标，同理求出点的坐标，再利用斜率的坐标公式计算判断即得. 【详解】（1）如图1，由，得，由，得， 又，则，因此， 即有， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（不含点）． 又，故，， 所以的方程为． （2）三点共线，理由如下： 如图2，设，，，，直线的方程为， 则，即，显然， 由消去x得，，， 则，， ， 所以， ， 同理可得，， 直线的斜率， 直线的斜率， 由三点共线，得， 即，且直线有公共点，所以三点共线． 【点睛】方法点睛：涉及三点共线问题，①在斜率存在的情况可以计算斜率，利用斜率相等判断；②利用向量是否共线判断. 51．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）利用三角形重心坐标公式先求A坐标，再代入椭圆方程结合其性质计算即可； （2）设B、D、E坐标，并根据焦半径公式得，由等差中项的性质得出，再根据点差法得出中垂线的斜率，表示中垂线方程，结合点在椭圆内计算范围即可； （3）设M、N坐标，联立椭圆方程结合韦达定理得出其横坐标关系，再根据平面向量的坐标表示，利用函数的性质计算范围即可. 【详解】（1）不妨设， 因为的重心，所以， 所以， 又短轴长为6，所以，代入解得， 所以椭圆方程为:； （2）由上可知，设中点， 则， 又，消去并整理得， 同理， 又， 由题意得， 即， 因B，D在上，易得，化简得， 所以线段中垂线的斜率， 线段中垂线方程:， 令得， 又线段中点在椭圆内所以， 所以； （3）设，由得， 联立消整理得， 得， 所以， 当时，， 当时，， 解不等式得.    【点睛】思路点睛：根据焦半径公式及等差中项的性质可确定中点横坐标，再由中垂线方程得出E与中点的关系结合点在椭圆内计算范围即可解决第二问；利用平面向量共线的坐标表示结合韦达定理计算横坐标关系，分类讨论斜率是否为零，再含参表示结合函数的性质求范围解不等式即可. 52．(1)； (2)1. 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的轨迹方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）根据结合双曲线定义求出，然后根据渐近线求解即可. （2）设直线方程与（1）得到的双曲线联立，根据直线与双曲线相切表示k，再根据垂直以及向量关系求解即可. 【详解】（1）依题意， ，解得，又双曲线的一条渐近线为，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，则双曲线方程为，设， 过的直线的方程为，即，令，显然， 由消去y得，显然， 由直线与双曲线只有一个公共点，得， 化简得，代入得， 由直线与双曲线相切，得，而，于是， 过点T且与垂直的直线的直线斜率为，方程为， 令，得，即，令，得，即， 设，由，得，即， 代入得， 依题意，该双曲线与双曲线共焦点，则， 化简得，于是， ，当且仅当，时取等号， 所以的最大值为1. 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 53．(1) (2)为定值0. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由椭圆的性质结合题意可得标准方程； （2）由点斜式写出直线的方程，联立曲线，得到韦达定理，再由向量共线得到坐标关系，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）由题焦距，解得， 由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为.    （2）是定值. 已知，设， 直线的方程为，即， 代入并整理，得， ， . ， 三点共线，且与同向， ， 同理可得 ，化简得， ， 所以为定值0. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由向量的坐标表示与共线，再由韦达定理化简得到斜率关系. 54．(1)或． (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据点满足的条件，列出方程化简即可得解； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，消元后可得根与系数的关系，再由向量的坐标运算化简即可得解. 【详解】（1）设到轴的距离为． 轨迹即集合． ，化简整理，得① 当时，①即；当时，①即． 点的轨迹的方程为或． （2）由知直线与轨迹的交点，不可能在轴的负半轴（包括原点）上． 所以只需考虑时，轨迹与直线的关系． 由题意，直线的斜率存在且不等于零， 设直线的方程为，,如图， 则, 由，消去，得， 恒成立． 则． ． ， 解得． . 55．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据题意列等式，然后化简即可得到的方程； （2）分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线的斜率为0时得到，当直线的斜率不为0时，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和得到点在定直线上，又也在直线上，即可证明点在一条定直线上. 【详解】（1）由题意知，所以， 所以， 化简得，的方程为. （2） 依题意，设， ①当直线的斜率为0时，则， 因为，所以， 所以，从而， 则，即，解得，即. ②当直线的斜率不为0时，设的方程为， 由消去，得， 则且， 因为，所以， 消去，得， 所以， 从而， 又也在直线上. 综上，点在直线上. 【点睛】方法点睛：求解动点在定直线上的方法： （1）先猜后证：现根据特殊情况猜想，然后证明； （2）参数法：用题目中参数表示动点的横纵坐标，然后消参，即可得到直线方程. 答案第66页，共77页 答案第4页，共78页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$