2024-2025学年人教版九年级数学上册点拨训练第24章第13讲 弧长和扇形面积

2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第24章 第13讲 弧长和扇形面积 学习目标： 1 理解弧长和扇形面积公式， 会计算弧长、扇形面积. 2 灵活运用弧长及扇形面积公式解决实际问题. 老师告诉你 求阴影部分面积的主要思想是转化思想，基本思路是将不规则图形转化成规则图形，常用方法有：直接用公式法、和差法、割补法、等积法和平移法。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1、 扇形的弧长相关的计算 扇形的弧长l=； 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.。 【新知导学】 例1．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【对应导练】 1．如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ． 3．如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ． 知识点2 .扇形面积相关的计算 （1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. （2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关. 【新知导学】 例2．如图是的方格纸，将格点绕点按顺时针方向旋转． (1)请画出经旋转后的． (2)求线段在旋转过程中扫过的面积． 【对应导练】 1．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E，则扇形的面积为 ． 2．半径为的圆中，圆心角为的扇形面积为 ． 3．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 4．如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求弓形的面积． 知识点3、.弓形的面积公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 总结：求扇形弧长与面积的方法与数学思想思维导图 【新知导学】 例3．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【对应导练】 1．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 二、题型训练 1.弧长公式的应用 1．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ． 2．若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 ． 3．如图，中，，是的外接圆，的延长交边于点D．    (1)试利用无刻度的直尺画出的平分线，并说明理由； (2)若，的半径为2，求劣弧的长． 2. 扇形面积公式的应用 （1） 割补法求不规则图形面积 4 .求阴影部分面积．（单位：厘米） （2） 整体思想求分散图形面积 5．如图，直径为3厘米的半圆绕点A逆时针旋转，使到达的位置，求图中阴影部分的周长和面积．    6．（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． （3） 替换法求不规则图形面积 7．如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 8．如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 9．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） （4） 作差法求不规则图形面积 10．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与相切于点B ． (1)求的长； (2)求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； 11 .如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣ 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 2．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 3．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 8．如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到其中与点A对应，点与点B对应．如果A（﹣3，0），B（﹣1，2），那么点B经过的路径的长度为 ．（结果保留π） 10．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画圆弧，交边于点，若，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留）． 11．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 12．如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 13．如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 15． (1)求半圆形的面积（结果保留） (2)求图形的周长（结果保留） 16．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 17．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 18．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长．（结果保留） 19．如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，． (1)求证：； (2)若为的中点，且半径，求阴影部分面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版九年级数学上 点拨*训练 第24章 第12讲 正多边形和圆 学习目标： 1 理解弧长和扇形面积公式， 会计算弧长、扇形面积. 2 灵活运用弧长及扇形面积公式解决实际问题. 老师告诉你 求阴影部分面积的主要思想是转化思想，基本思路是将不规则图形转化成规则图形，常用方法有：直接用公式法、和差法、割补法、等积法和平移法。 一、知识点拨 1.知识导航 2.知识点梳理 知识点1、 扇形的弧长相关的计算 扇形的弧长l=； 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.。 【新知导学】 例1．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 【对应导练】 1．如图，内接于的半径为是上的一动点，P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆三角形的综合运用，如图所示，连接，由垂径定理得，点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角，根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 因为P是弦的中点 ∴， ， ∴点P在以为直径的圆上运动，设该圆与交于点，则圆心角， ∴点P所经过的路径长为， 故选：B． 2．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握弧长的计算公式是正确解答的关键，求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径是解决问题的前提．连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，则， ，，， ，， ， △为等边三角形， ， 的长为：． 故答案为：． 3．如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键．连接，得到圆心角为，根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ， ， ， 故答案为：． 知识点2 .扇形面积相关的计算 （1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. （2）扇形的面积S==．扇形的面积与圆心角、半径有关. 【新知导学】 例2．如图是的方格纸，将格点绕点按顺时针方向旋转． (1)请画出经旋转后的． (2)求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 本题考查作图旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由勾股定理得，， 线段在旋转过程中扫过的面积为． 【对应导练】 1．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，连接，求出即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴扇形的面积， 故答案为： 2．半径为的圆中，圆心角为的扇形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积计算公式直接计算即可求解，掌握据扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为 ：． 3．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为：． 4．如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求弓形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握垂径定理、圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据垂径定理，圆周角定理即可得出结论； （2）根据垂径定理，证明，推出，可得，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：，是弦，是直径， ， ； （2）解：如图，连接，，． ，是直径，是弦， ，， ，， ， ， 在中，，， ，， ， ． 知识点3、.弓形的面积公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 总结：求扇形弧长与面积的方法与数学思想思维导图 【新知导学】 例3．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 【详解】（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 【对应导练】 1．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，弓形面积的计算，先证明，，再证明，再利用割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】解： 如图，连接， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴为直径， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 二、题型训练 1.弧长公式的应用 1．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟记扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长． 故答案为：． 2．若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长．根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径． 【详解】解：∵圆锥的母线为， 设底面圆半径为r ∴ ∴． 故答案为：． 3．如图，中，，是的外接圆，的延长交边于点D．    (1)试利用无刻度的直尺画出的平分线，并说明理由； (2)若，的半径为2，求劣弧的长． 【答案】(1)画图见解析；理由见解析 (2) 【分析】（1）延长交于E，由，可得垂直平分，进而可得平分； （2）设，则，，，由，可得，则，由，可得，由，可得，可求，则，由圆周角定理得，根据劣弧的长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，为的平分线．理由如下：    延长交于E， ∵， ∴垂直平分， ∴平分； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴， ∴劣弧的长为 ∴劣弧的长为． 【点睛】本题考查了外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角平分线，垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长等知识．熟练掌握外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角平分线，垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长是解题的关键． 2. 扇形面积公式的应用 （1） 割补法求不规则图形面积 4 .求阴影部分面积．（单位：厘米） 【答案】阴影部分的面积为平方厘米 【分析】本题主要考查不规则图形面积的计算，根据图示，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴, （平方厘米）， 答：阴影部分的面积为平方厘米． （2） 整体思想求分散图形面积 5．如图，直径为3厘米的半圆绕点A逆时针旋转，使到达的位置，求图中阴影部分的周长和面积．    【答案】（厘米）；（平方厘米） 【分析】本题主要考查了圆与旋转．熟练掌握旋转性质，弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键． 观察图形可知，这个阴影部分的周长等于直径3厘米圆的周长与半径3厘米，圆心角60度的弧长之和，据此根据圆的周长及弧长公式计算即可解答；根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积，即求阴影部分的面积就等于求扇形的面积． 【详解】解：阴影部分的周长是2个半圆的弧加以为半径的圆弧， ∴（厘米）； 阴影部分面积是以为半径的扇形面积， ∴（平方厘米）． 6．（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是，图中阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， 、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． （3） 替换法求不规则图形面积 7．如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 由圆周角定理可得： ， ． 故答案为: 8．如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， 是等边三角形的边长为3， ，， 以为直径构造半圆， ， 、是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 9．如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． （4） 作差法求不规则图形面积 10．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与相切于点B ． (1)求的长； (2)求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质，勾搭定理，等边三角形的判定以及性质，扇形面积公式等知识综合性强，能熟练运用相关性质是解题的关键． （1）连接，由于A、P的坐标已知，因此求出、的长度，根据直线与相切于点B，与y轴相切于原点O，利用勾股定理定理可以求出的长度； （2）连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边三角形的性质得出，最后根据即可求出阴影部分面积； 【详解】（1）解：连接 ∵点A、P的坐标分别为、， ∴， ∴． ∵直线与相切于点B， ∴， ∴ 又∵与y轴相切于原点O， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ； 11 .如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣ 【答案】C 【解析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论． 【解答】连接OO′，BO′， ∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°， ∴∠OAO′=60°， ∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°， ∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°， ∴△OO′B是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°， ∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣． 故选C． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 3．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：A． 4．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 5．如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 6．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 7．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8．如图, 在等腰直角三角形中，，分别以点B，点 C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质计算出的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积之和，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴两个扇形面积之和， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到其中与点A对应，点与点B对应．如果A（﹣3，0），B（﹣1，2），那么点B经过的路径的长度为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】B点坐标为已知，利用勾股定理求出OB长度，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解： B（﹣1，2） 如图，由题意B点以原点O旋转中心旋转了 点B经过的路径的长度 故答案为： 【点睛】本题考查图形的旋转、勾股定理、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式． 10．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画圆弧，交边于点，若，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积．本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在，，，， ，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 11．如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 12．如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用，进行求解即可． 【详解】解∶ ∵半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ， 故答案为： ． 13．如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①②，③，证明过程见详解 (2) 【分析】（1）证明是的切线，根据，，可证明，由此即可求证； （2）如图所示（见详解），作于，在中，可求出，在中，可求出，，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：选择①②可证明③或选择①③可证明②或选择②③可证明①， 以选择①②可证明③为例证明， 证明：如图所示，连接， ， ， ， ，即，点在上， ∴与相切． 故答案为：①②，③． （2）解：如图所示，作于， 在中， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明，不规则图形的面积，掌握圆的切线的证明方法，观察图形的组成部分，几何图形的面积计算方法是解题的关键． 15． (1)求半圆形的面积（结果保留） (2)求图形的周长（结果保留） 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据圆的面积公式，计算其一半的面积即可； （2）根据圆的周长公式，计算其一半或是整圆的周长即可． 【详解】（1）解：图1，直径为，图2，小圆的直径是，大圆半径为， ∴图1中，半圆的面积为， （2）解：图1，直径为，图2，小圆的直径是，大圆半径为， ∴图1中，半圆的周长为，图2中，周长为． 【点睛】本题主要考查图形的变换，根据图形的周长，面积公式计算图形的周长，面积，掌握图形的面积计算公式，结合图形的形状是解题的关键． 16．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 17．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且， (1)求证：平分； (2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明． （2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：连结，如图所示， 切与点， ， ， ， ， ， 平分． （2）如图，过作与点 点是弦所对的优弧上一点，且， , ， ， ， ， ， 阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 18．如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）证即可； （2）根据题意求出即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的长为： 19．如图，是的直径，点在上且平分弧，于点，分别交，于，． (1)求证：； (2)若为的中点，且半径，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关计算，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）利用直径所对的圆周角为直角可得，根据可得，推出；结合点在上且平分弧可得，即可求证； （2）连接，，过点作于点，利用垂直平分线的性质，圆的有关性质和等边三角形的判定与性质得到为等边三角形，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，再利用阴影部分面积解答即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ． ， ， ． 点在上且平分弧， ， ， ， ； （2）解：连接，，如图， ，为的中点， 为的垂直平分线， ， ， ， 即为等边三角形， ． ， ， ． ． 过点作于点，则， ． 阴影部分面积 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$