专题03锐角三角函数（基础类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题03锐角三角函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、正切的概念 【解惑】在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【融会贯通】 1．已知中，，CD是AB上的高，则 =（        ） A． B． C． D． 2．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC= m 3．如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 类型二、正弦的概念 【解惑】把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【融会贯通】 1．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 3．如图，中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，的平分线交于点，若，则的面积为 ． 类型三、余弦的概念 【解惑】如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 3．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么 ． 类型四、求角的正切值 【解惑】如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    【融会贯通】 1．在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 2．已知在中，，若，则的值为 ． 3．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则的值是 ． 类型五、求角的正弦值 【解惑】正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 【融会贯通】 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 3．如图，已知矩形，为对角线，点E、F分别是与的重心，连接，如果，那么 ． 类型六、求角的余弦值 【解惑】在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，垂足为点，将沿直线翻折，点落在边延长线上的点处，已知，，，那么的余弦值等于 ． 3．在中，，则的值是 ． 类型七、已知正切值求边长 【解惑】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【融会贯通】 1．如图，正方形的面积为3，点E，F分别在边，上，连接，，，若点M，N分别是，的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 3．在中， 则的长为 ． 类型八、已知正弦值求边长 【解惑】在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 3．如图，在中，，则的长是 ． 类型九、已知余弦值求边长 【解惑】如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 【融会贯通】 1．如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A．3 B．5 C． D． 2．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 3．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 类型十、特殊三角函数值的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算 (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) 【一览众山小】 1．在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 3．已知β为锐角，且，下列度数与β度数最接近的是（　　） A． B． C． D． 4．计算： 5．在中，，，，则的正切值为 ． 6．社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 7．计算：． 8．计算：． 9．计算： (1) (2)． 10．计算∶ (1)； (2) 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03锐角三角函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、正切的概念 【解惑】在中，各边都扩大3倍，则的正切值（    ） A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了正切函数的概念，根据锐角三角函数的定义，可得答案．属于简单题．理解正切函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，得，各边都扩大3倍，则角A的正切值不变． 故选：C． 【融会贯通】 1．已知中，，CD是AB上的高，则 =（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】 解：∵△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB， ∴∠A=∠BCD， ∴ . 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC= m 【答案】50 【分析】根据正切三角函数计算求值即可． 【详解】解：由题意作图如下， Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=， ∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了正切三角函数，掌握正切的概念是解题关键． 3．如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数的定义，根据一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到与的面积之比等于． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴与的面积之比等于． 故答案为：． 类型二、正弦的概念 【解惑】把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 【融会贯通】 1．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ． 【答案】 【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键． 3．如图，中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，的平分线交于点，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC ，可得，可得，解得：BE=9，BH=，由sin∠AFN=sin∠CFM，得AN=，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，AD∥BC，的平分线与的延长线交于点， ∴∠DAE=∠BAE=∠AEB， ∴BA=BE， ∵的平分线交于点， ∴BH⊥AE， 过点C作CM⊥EF，过点A作AN⊥DC ， ∴CM∥BH，AH=EH=2+1=3， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠CFE=∠BAE， ∴∠CFE=∠AEB， ∴CE=CF=3， ∴ME=EF=×2=1， ∴， ∴，解得：BE=9，BH=， ∴CD=AB=BE=9， ∵∠AFN=∠CFM， ∴sin∠AFN=sin∠CFM，即：, ∴，解得：AN=， ∴的面积= CD×AN=9×=． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形，是解题的关键． 类型三、余弦的概念 【解惑】如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 【融会贯通】 1．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2．当时，．在中，是斜边上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是 ． 【答案】，，， 【分析】根据题意作出相应图形，然后利用正弦和余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 【点睛】题目主要考查正弦函数和余弦函数的定义，理解三角函数的基本定义是解题关键． 3．如图，已知在中，，点G是的重心，，，那么 ． 【答案】 【分析】根据重心的性质和余弦函数的定义可以得到解答． 【详解】解：如图，延长CG与AB交于点D，过D作DE⊥CB于点E， ∵G是△ABC 的重心，∴CG=2GD， ∵CG=2，∴GD=1，∴CD=2+1=3， ∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB，∴AC∥DE， ∵D是AB中点，∴E是CB中点， ∴CE=，∴cos∠GCB=， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形的综合运用，熟练掌握重心的性质和余弦函数的定义是解题关键． 类型四、求角的正切值 【解惑】如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    【答案】/0.75 【分析】本题考查了矩形的性质及锐角三角函数的定义，根据矩形的对角线互相平分，可将对角线一半的长度求出，根据的长，可求出，再根据勾股定理求的长，根据正切的定义即可得出结论，求出三边长是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【融会贯通】 1．在Rt中，，则的正切值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 故选：A． 2．已知在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设，利用勾股定理求出，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，求解即可． 【详解】解：如图： 在中，，， ∴可设， ∴， 故． 故答案为：． 3．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，若图中小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理的应用和正切函数的定义，其中熟练应用勾股定理是解题的关键，首先设小正方形边长，小正方形的面积恰好是大正方形面积的一半可得，再设，由勾股定理列方程求解，最后由正切函数的定义求值即可． 【详解】设小正方形边长，则小正方形面积为， 大正方形面积为，则， 设， 在中，， 整理得，， 解得，其中舍去， ， ． 故答案为：． 类型五、求角的正弦值 【解惑】正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】如图，为边上的格点，连接， 根据勾股定理，， ， ， 所以，， 所以，是直角三角形， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得进而利用三角函数定义即可得解． 【详解】解：如图，根据勾股定理得， 故选．    2．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据矩形的性质得， ，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，∵， ∴， 设，则 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，求正弦值，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 3．如图，已知矩形，为对角线，点E、F分别是与的重心，连接，如果，那么 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于，则为的中点，由点E、F分别是与的重心，可知共线，，设，则，，由勾股定理得，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接交于，则为的中点， ∵点E、F分别是与的重心， ∴共线，， 设，则，， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，重心的性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握矩形的性质，重心的性质，勾股定理，正弦是解题的关键． 类型六、求角的余弦值 【解惑】在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【融会贯通】 1．在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是互余两角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数关系直接解决即可． 【详解】解：如图，在中，，若，    ∴， 故答案选：B． 2．在中，，垂足为点，将沿直线翻折，点落在边延长线上的点处，已知，，，那么的余弦值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，求余弦值，是基础题；画好图形，由折叠的性质得，则可得，由勾股定理得，最后由余弦函数定义即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴； ∵， ∴由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 3．在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、求锐角三角函数等知识．用勾股定理求出，再根据余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 类型七、已知正切值求边长 【解惑】如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 【融会贯通】 1．如图，正方形的面积为3，点E，F分别在边，上，连接，，，若点M，N分别是，的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及中位线性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，根据正方形的性质得到，求出，再由中位线的性质得到答案即可． 【详解】解：连接， 正方形的面积为3， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点M，N分别是，的中点， ． 故选D． 2．如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，先求解，证明，可得，再进一步建立方程求解即可． 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 3．在中， 则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：6． 类型八、已知正弦值求边长 【解惑】在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角的正弦的定义，勾股定理的应用．由三角函数的定义，可得的值，进而由勾股定理可得的大小． 【详解】解：如图， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 2．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 3．如图，在中，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：6． 类型九、已知余弦值求边长 【解惑】如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果． 【详解】解：∵D 、E分别是边的中点，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值求线段长，涉及三角函数定义等知识，根据题意，由三角函数定义得到，代值列式求解即可得到答案，熟记三角函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，已知，，，则，解得， 故选：C． 2．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 3．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】作于，交的延长线于，于，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，从而得出，再证明四边形是平行四边形，得到，从而解决问题． 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，过点作于点， 则四边形是矩形． ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中， ，， ， ， ， ， 将沿直线翻折后，点落在点， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 类型十、特殊三角函数值的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）先把特殊角三角函数值代入，再根据二次根式混合运算法则，负整数指数幂计算即可； （）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，特殊角三角函数值，再由二次根式运算法则计算即可； （）把特殊角三角函数值代入，然后通过二次根式性质化简，化简绝对值，最后合并即可； （）把特殊角三角函数值代入，然后通过负整数指数幂，二次根式性质化简，最后合并即可； 本题考查了二次根式的运算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则及熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，负整指数幂，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的加减运算； （3）先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整指数幂，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ． 2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． （1）根据特殊角的三角函数值即可化简求解； （2）根据实数的性质化简，再合并求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数值，再计算加减乘除混合运算即可； （2）先求出特殊角的三角函数值与零次幂，再计算加减乘除混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【一览众山小】 1．在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键． 先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 3．已知β为锐角，且，下列度数与β度数最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，用计算器得出，由此可解． 【详解】解：用计算器得， ∴与β度数最接近的是， 故选A． 4．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 5．在中，，，，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正切的定义，勾股定理的含义，熟练掌握定义是解题的关键．利用勾股定理先求解，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 6．社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而合并得出答案． 【详解】解：原式 ． 8．计算：． 【答案】12 【分析】本题考查整数指数幂的性质和特殊三角函数值的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的性质及特殊角的三角函数值． 根据零指数幂和负整数指数幂的性质及特殊角的三角函数值、实数运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 9．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$