精品解析：期中检测卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

期中检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 2. 已知关于x的一元二次方程有一个解为，则c的值为（     ） A. B. C. 1 D. 2 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C D. 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 5. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共900万元，若设平均每月增长率为x，则可列方程应为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，在抛物线上，则它的对称轴是（     ） A. B. C. D. 7. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（ ） A B. C. 1 D. 3 9. 若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题 11. 方程是一元二次方程，则__________． 12. 已知m是方程的一个根，则代数式______． 13. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 14. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 15. 已知，是抛物线上的点，则，的大小关系为______． 16. 在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为________． 17. 小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是______． 18. 如图，抛物线交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，于点A，于点C，四边形与四边形的面积分别为6和10，则与的面积之和为_______． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实根分别为，当时，求的值． 21. 某楼盘准备以每平方米9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持续观望，房地产开发商为了加快资金周转，价格经过两次下调后，以每平方米7290元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率． 22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元/台，厂商建议，台灯的标价应不低于元/台，且不高于元/台． （1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元/台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台，求日销售量（台）与（元/台）之间的函数关系式； （2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元， “”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元/台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值． 23. 已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点， ①当点在轴上方，且时，求点的坐标； ②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标． 24. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值． 25. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 26. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 根据题意得到，，即可求得m的范围．要特别注意二次项系数这一条件，当时，方程就是一元一次方程了． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 解得：． 故选：C． 2. 已知关于x的一元二次方程有一个解为，则c的值为（     ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念：使一元二次方程两边相等的未知数的值，掌握这个概念是关键；把方程解代入一元二次方程中，即可求得c的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：B． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，且， 故选：B． 5. 某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共900万元，若设平均每月增长率为x，则可列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元， ∴则二月份和三月份的营业额分别为和， ∴第一季度的营业额为 ∴，   故选：D ． 6. 若点，在抛物线上，则它的对称轴是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是明确在抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称．根据两点的纵坐标相同，横坐标的和的一半就是对称轴即可求解． 【详解】解：点，在抛物线上，则它的对称轴是， 故选：D． 7. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题．先整理成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线解析式为， 故选：C． 8. 二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数的对称性和增减性，可得答案． 【详解】∵，且， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而减小． ∵当时，y随x增大而减小， ∴． ∴． 故选：D． 9. 若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 10. 抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程两个根分别为， ∴， ， ∴，故⑤错误，正确的个数为2个． 故选：D． 二、填空题 11. 方程是一元二次方程，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：整理得， 即， ∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 已知m是方程的一个根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整式的化简求值，解题关键是掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，能够使方程左右两边相等．根据一元二次方程的解的定义，得出，再将整式化简，整体代入求值即可． 【详解】解：m是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 13. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为，根据“2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为． 故答案为：． 15. 已知，是抛物线上的点，则，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把，分别代入抛物线，求出，，再比较得出答案． 【详解】解：把，分别代入抛物线得， ， ∴， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点是直线一个动点，且有最小值，则的值为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解一元二次方程，理解二次函数的性质是解答关键． 根据题意先表示出，利用得到，利用有最小值来求解． 【详解】解：点是直线的一个动点， ， ． 有最小值， 且， 整理得， 解得，， 经检验，，都是方程的根，符合题意． 故答案为：1或． 17. 小初进行投实心球练习，实心球的行进过程为抛物线形状，如图所示建立平面直角坐标系，实心球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则实心球推出的水平距离的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由图可知，要求的长实际是需要点的横坐标，已知点的纵坐标为，将代入函数的解析式，求出的值，再舍去不符合实际的一个的值即可，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：当时，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴点， ∴， 故答案为：． 18. 如图，抛物线交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，于点A，于点C，四边形与四边形的面积分别为6和10，则与的面积之和为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象关于对称轴对称是解题的关键；由抛物线的对称性知：四边形的面积等于四边形的面积，从而可求得阴影部分面积． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴点G、F关于y轴对称； ∵点B、E关于y轴对称， ∴四边形的面积等于四边形的面积，即为10； ∴与的面积之和为：四边形的面积四边形的面积 即， 故答案为：4． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． （1）先求得的值，再利用公式法，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ，，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得，， 因式分解得， ∴，， ∴，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实根分别为，当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数之间的关系： （1）利用根的判别式，进行判断即可； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 当时，方程化为：， ∵方程的两个实根分别为， ∴， ∴． 21. 某楼盘准备以每平方米9000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持续观望，房地产开发商为了加快资金周转，价格经过两次下调后，以每平方米7290元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 设平均每次下调百分率为，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x． ， 解得：，（舍去） 答：平均每次下调的百分率为． 22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元/台，厂商建议，台灯的标价应不低于元/台，且不高于元/台． （1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元/台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台，求日销售量（台）与（元/台）之间的函数关系式； （2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元， “”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元/台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用： （1）根据当销售价格为元/台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台列出对应的函数关系式即可； （2）根据题意可知每台台灯的利润为元，销售量为，据此根据总利润等于知每台台灯的利润乘以销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：日销售量（台）与时间（元/台）之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意列方程：， 整理得：． 解得或（舍去）． 23. 已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若是该抛物线上一点， ①当点在轴上方，且时，求点的坐标； ②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）①先求出点坐标，再求出，进而可求出，设点的纵坐标为，表示出，最后根据面积关系列出方程即可求解；②如图，过点作轴于点，交于点，设点，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点坐标，可得，最后根据得到与的二次函数解析式，根据二次函数性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把，代入函数解析式得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴点的坐标为或； ②如图，过点作轴于点，交于点， 设点，直线的函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴． 24. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1） （2）①；②，S有最大值6；③满足条件的t的值为或或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【小问1详解】 解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：①，则， ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵，， ∴ ， ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ③∵， 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，过点C作交于M，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 25. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】（1）， （2）自行车车棚的长为，宽为 （3）自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． 【小问3详解】 解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 26. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【小问1详解】 解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． 【小问2详解】 由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$