第04章 一次函数 章节整合练习（22个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04章 一次函数 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点8．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点9．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点10．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点11．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点12．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点13．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点14．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点15．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点16．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点17．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点18．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点19．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点20．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点21．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点22．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 章节题型整合练习 一．常量与变量 1．（2024春•邯郸期末）一根蜡烛原长12厘米，点燃分钟后，剩余蜡烛的长为厘米，则在这个变化过程中，线下列判断正确的是　　 A．是常量 B．12是变量 C．是变量 D．是常量 2．（2022春•漳州期末）在圆的面积公式中，常量是　　． 二．函数的概念 3．（2021秋•诸暨市校级月考）“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，　　随　　变化而变化． 4．（2023•舟山三模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为（时，记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）是关于的函数吗？为什么？ （2）请说明点的实际意义． （3）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 三．函数关系式 5．（2024春•西安月考）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品件，则应付款与商品件数的关系式为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•邗江区期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）求当时的函数值． 四．函数自变量的取值范围 7．（2024秋•霍邱县月考）函数中自变量的取值范围是　　 A．且 B． C． D． 8．（2024•黑龙江一模）在函数中，自变量的取值范围是　　． 五．函数值 9．（2024秋•庐阳区校级月考）个月的婴儿生长发育得很快，如果一个婴儿出生时的体重为3300克，那么他的体重（克和月龄（月之间的关系可以近似用来表示．当的值为7500时，自变量的值为 　　． 10．（2022春•碑林区期末）某中学数学兴趣小组准备围建一个长方形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由长度为的篱笆围成的．如图，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，的长度为．苗圃园的面积为． （1）的长度与的长度的关系式为 　　． （2）当时，的长度　　，苗圃园的面积　　． 六．函数的图象 11．（2024秋•包河区月考）甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③、两地相距；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024春•北海期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示． （1）小明从家跑步去体育场用了 　　，体育馆距离家有 　　． （2）文具店离体育馆多远？小明在文具店停留了多久？ （3）小明从家到文具店的平均速度是多少？ 七．函数的表示方法 13．（2022春•任丘市期末）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 下列说法正确的是　　 A．当时， B．每增加，减小1.23 C．随着逐渐变大，也逐渐变大 D．随着逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 八．一次函数的定义 14．（2024秋•雁塔区校级月考）已知关于的函数是一次函数，则的值为 　　． 15．已知与成正比例（其中、都是常数）． （1）试说明是的一次函数； （2）如果时，；时，，求这个一次函数的解析式． 九．正比例函数的定义 16．（2024秋•濉溪县校级月考）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．（2024春•青山湖区校级期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 一十．一次函数的图象 18．（2023秋•滨湖区校级月考）如图，已知、，一次函数的图象为直线，点关于直线的对称点恰好落在的平分线上，则的值为 　　． 19．（2022秋•丰城市校级期末）（1）画出函数的图象． （2）设是轴上的一个动点，它与轴上表示的点的距离为，求关于的函数解析式，并画出这个函数的图象． 一十一．正比例函数的图象 20．（2024秋•灞桥区校级月考）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是　　 A． B． C． D． 一十二．一次函数的性质 21．（2024春•洪山区期末）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，；当时，，．例如：，，，．若关于的函数为，，则该函数的最小值是　　 A． B．0 C．5 D．7 22．（2024春•双城区期末）若一次函数的函数值随的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是 　　． 一十三．正比例函数的性质 23．（2023秋•成都期末）一个正比例函数的图象经过点，，则　　． 24．（2023秋•青浦区校级期中）如果是正比例函数，且随的增大而减少，求的值． 一十四．一次函数图象与系数的关系 25．（2024秋•雁塔区校级月考）已知一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 26．（2024秋•庐阳区校级月考）已知关于的函数． （1）当　　时，该函数是正比例函数． （2）当满足什么条件时，随的增大而减小？ （3）当时，函数图象交轴于点，交轴于点，求△的面积． 一十五．一次函数图象上点的坐标特征 27．（2023秋•麻栗坡县期末）若点在一次函数的图象上，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为 　　． 一十六．一次函数图象与几何变换 29．（2024秋•濉溪县校级月考）在平面直角坐标系中，有一条直线，若把轴向上平移5个单位长度，平移后直线的表达式变为 　　． 30．（2024春•新会区校级月考）如图，已知一条直线经过点、点，将这条直线向下平移，使平移后的直线与轴、轴分别交于点、点，连接，． （1）求直线的函数表达式； （2）求平移后所得直线的函数表达式． 一十七．待定系数法求一次函数解析式 31．（2023秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，且，则所在直线的函数表达式为　　 A． B． C． D． 32．（2024春•攸县期末）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 　　． 一十八．待定系数法求正比例函数解析式 33．（2023秋•姑苏区期末）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是　　． 34．（2024春•潮南区校级期末）如图，直线的解析式为，点的横坐标是，，与轴所夹锐角是． （1）求点坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若直线与轴的交点为点，求的面积； （4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 一十九．一次函数与一元一次方程 35．（2023秋•大方县校级期中）如图，直线过点和点，则方程的解是　　 A． B． C． D． 36．（2023春•清原县期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． （1）点的一对“相伴点”的坐标是 　　与 　　； （2）若点的一对“相伴点”重合，则的值为 　　； （3）若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标． 二十．根据实际问题列一次函数关系式 37．（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，则下列与的关系式及自变量的取值范围中，正确的是　　 A． B． C． D． 38．（2024春•兴宁市期末）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时之间的关系式是　　． 二十一．一次函数的应用 39．（2024秋•大观区校级月考）为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费（元与用电量之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量． 二十二．一次函数综合题 40．（2023春•和平区校级期末）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①； ②直线的解析式为； ③点，； ④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是，． 正确的结论是　　 A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 一次函数 章节整合练习（22个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 知识点6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 知识点7．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 知识点8．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点9．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点10．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点11．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 知识点12．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 知识点13．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点14．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 知识点15．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 知识点16．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 知识点17．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点18．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点19．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点20．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点21．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 知识点22．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 章节题型整合练习 一．常量与变量 1．（2024春•邯郸期末）一根蜡烛原长12厘米，点燃分钟后，剩余蜡烛的长为厘米，则在这个变化过程中，线下列判断正确的是　　 A．是常量 B．12是变量 C．是变量 D．是常量 【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【解答】解：一根蜡烛原长12厘米，点燃分钟后，剩余蜡烛的长为厘米，则在这个变化过程中，12是常量，，是变量， 故选项符合题． 故选：． 【点评】此题考查的是常量与变量，掌握其定义是解决此题的关键． 2．（2022春•漳州期末）在圆的面积公式中，常量是　　． 【分析】根据常量的概念：保持不变的量是常量． 【解答】解：保持不变的量是常量， 其中的是常量． 【点评】考查了常量的概念．特别注意是一个无理数，不要误把当做字母． 二．函数的概念 3．（2021秋•诸暨市校级月考）“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，　　随　　变化而变化． 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量． 【解答】解：“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间变化而变化． 故答案为：气温，时间． 【点评】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 4．（2023•舟山三模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为（时，记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． （1）是关于的函数吗？为什么？ （2）请说明点的实际意义． （3）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，即可解答； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）提出一条合理的建议即可． 【解答】解：（1）根据图象知，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应， 是关于的函数； （2）点的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为； （3）由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 【点评】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． 三．函数关系式 5．（2024春•西安月考）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品件，则应付款与商品件数的关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出打8折优惠的钱数，然后根据应付款打8折优惠的钱数列出函数式． 【解答】解：由题意得：打8折优惠的钱数为元， 应付款与商品件数的关系式为： ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了列函数式，解题关键是根据题意，找出常量和变量存在的数量关系． 6．（2023秋•邗江区期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）求当时的函数值． 【分析】（1）设与的函数关系式为，再把当时，代入求出的值即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可． 【解答】解：（1）设与的函数关系式为， 当时，， ， 解得， 与的函数关系式为； （2）由（1）知，与的函数关系式为， 当时，． 【点评】本题考查的是函数关系式，熟知待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 四．函数自变量的取值范围 7．（2024秋•霍邱县月考）函数中自变量的取值范围是　　 A．且 B． C． D． 【分析】分式的分母不能为0，二次根式中被开方数大于等于0，由此可解． 【解答】解：由题意知分式的分母不能为0，二次根式中被开方数大于等于0， 且， 即且， 因此自变量的取值范围是且， 故选：． 【点评】本题考查求函数自变量的取值范围，正确根据二次根式和分式的要求列式计算是解题关键． 8．（2024•黑龙江一模）在函数中，自变量的取值范围是　　． 【分析】根据分母不为零是分式有意义的条件，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ，解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式是解题关键． 五．函数值 9．（2024秋•庐阳区校级月考）个月的婴儿生长发育得很快，如果一个婴儿出生时的体重为3300克，那么他的体重（克和月龄（月之间的关系可以近似用来表示．当的值为7500时，自变量的值为 　　． 【分析】将的值代入函数解析式计算即可． 【解答】解：当时，， 解得：． 故答案为：6． 【点评】本题考查了函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键． 10．（2022春•碑林区期末）某中学数学兴趣小组准备围建一个长方形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边是由长度为的篱笆围成的．如图，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，的长度为．苗圃园的面积为． （1）的长度与的长度的关系式为 　　． （2）当时，的长度　　，苗圃园的面积　　． 【分析】（1）根据周长公式求解； （2）代入求值，根据矩形的面积公式求解． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：． （2）当时，的长度， 苗圃园的面积． 故答案为：24，192． 【点评】本题考查列函数表达式，并求值，理解题意是解题的关键． 六．函数的图象 11．（2024秋•包河区月考）甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③、两地相距；④甲车比乙车晚到；其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车1小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发6小时后到达地，求出两地的距离即可判断③；根据乙到达地时，甲距离地还有，求出甲车比乙车晚到的时间，即可判断④． 【解答】解：甲车的速度为， 甲车先出发， 甲出发后，乙追上甲， 甲车提前出发，乙车出发后追上甲车，故①正确； 乙车的速度为：，故②正确； 根据图可知，乙出发后，到达点， ，两地相距，故③正确； 根据图可知，乙车到达地时，甲车距离地还有， 甲车比乙车晚到的时间为：，故④正确； 所以正确的有4个， 故选：． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． 12．（2024春•北海期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示． （1）小明从家跑步去体育场用了 　　，体育馆距离家有 　　． （2）文具店离体育馆多远？小明在文具店停留了多久？ （3）小明从家到文具店的平均速度是多少？ 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象即可求解； （3）求出小明从家到体育场再到文具店的路程，再除以时间即可求解． 【解答】解：（1）由函数图象可得，小明从家跑步去体育场用了，体育馆距离家有， 故答案为：15，2.5； （2）由图象可得，文具店离体育馆， 小明在文具店停留了； （3）小明从家到体育场再到文具店的路程为， 小明从家到文具店的平均速度为． 【点评】本题考查了函数的图象，看懂函数图象是解题的关键． 七．函数的表示方法 13．（2022春•任丘市期末）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 下列说法正确的是　　 A．当时， B．每增加，减小1.23 C．随着逐渐变大，也逐渐变大 D．随着逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【分析】根据函数的表示方法，可得答案． 【解答】解；．由表格可知，当时，，故不符合题意； ．由表格可知，由增加，减小1.23；由增加，减小0.15，故不符合题意； ．随着逐渐升高，逐渐变小，故不符合题意； ．随着逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故正确； 故选：． 【点评】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键． 八．一次函数的定义 14．（2024秋•雁塔区校级月考）已知关于的函数是一次函数，则的值为 　　． 【分析】根据一次函数的概念求解可得． 【解答】解：根据题意知且， 解得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查一次函数的定义，关键掌握形如，、是常数）的函数叫做一次函数． 15．已知与成正比例（其中、都是常数）． （1）试说明是的一次函数； （2）如果时，；时，，求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）因为与成正比例，设比例系数为，列等式后变形进行说明； （2）把“时，；时，”分别代入一次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程求得它们的值即可． 【解答】解：（1）与成正比例， 设比例系数为，则， 整理得：， 是的一次函数； （2）把时，；时，分别代入，得 ， 解得， 则该一次函数为：． 【点评】本题考查了一次函数解析式的一般形式，关键是根据与成正比例，设比例系数为，列等式． 九．正比例函数的定义 16．（2024秋•濉溪县校级月考）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据正比例的定义进行解答． 【解答】解：（1）是正比例函数，故正确； （2）是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的一般形式是是解题的关键． 17．（2024春•青山湖区校级期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【分析】（1）首先设，再把，代入，可得的值，进而可得函数解析式； （2）把点代入函数解析式可得答案． 【解答】解：（1）与的成正比例， 设， 时，， ， 解得：， 与之间的函数表达式为：； （2）点在这个函数的图象上， ， 解得：． 【点评】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握待定系数法求函数解析式的步骤． 一十．一次函数的图象 18．（2023秋•滨湖区校级月考）如图，已知、，一次函数的图象为直线，点关于直线的对称点恰好落在的平分线上，则的值为 　　． 【分析】过点作于，设一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，连接和，证得，得，利用等面积法得，根据题意得，，则，，，利用等面积法可求得答案． 【解答】解：过点作于，设一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，连接和，如图， ，都在的角平分线上， ，， ， ， ，， ， ， ， 一次函数， ，， 点关于直线的对称点， ，，，， ，， 即，， ， ， 故． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查一次函数的图象，坐标与图象变化，正确记忆相关知识点是解题关键． 19．（2022秋•丰城市校级期末）（1）画出函数的图象． （2）设是轴上的一个动点，它与轴上表示的点的距离为，求关于的函数解析式，并画出这个函数的图象． 【分析】（1）利用绝对值的性质结合当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为，画出图形即可； （2）根据两点间的距离公式即可解决问题． 【解答】解：（1）当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为， 故该函数的图象如图1所示 （2）由题意． 函数图象如图2所示： 【点评】此题主要考查了的图象与性质，正确取绝对值画出图象是解题关键． 一十一．正比例函数的图象 20．（2024秋•灞桥区校级月考）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【解答】解：当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项； 当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 一十二．一次函数的性质 21．（2024春•洪山区期末）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，；当时，，．例如：，，，．若关于的函数为，，则该函数的最小值是　　 A． B．0 C．5 D．7 【分析】联立与成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据，的意义即可得出函数的最小值． 【解答】解：联立与得， 解得， 当时，， ，； 当时，， ，； 综上可知，该函数的最小值是5， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 22．（2024春•双城区期末）若一次函数的函数值随的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是 　　． 【分析】由一次函数的函数值随的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限可得出的范围． 【解答】解：一次函数的函数值随的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限， ，， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握当大于零时，函数值随的增大而增大． 一十三．正比例函数的性质 23．（2023秋•成都期末）一个正比例函数的图象经过点，，则　　． 【分析】由点，的纵坐标互为相反数，结合正比例函数的对称性，即可求出的值． 【解答】解：正比例函数的图象经过点，， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“正比例函数图象正比例函数的图象关于原点成中心对称”是解题的关键． 24．（2023秋•青浦区校级期中）如果是正比例函数，且随的增大而减少，求的值． 【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 【解答】解：是正比例函数， ， 即：， 随的增大而减少， ， 即：， 综上所述：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义及其增减性，熟记相关函数结论是解题关键． 一十四．一次函数图象与系数的关系 25．（2024秋•雁塔区校级月考）已知一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于的不等式（或方程），解之即可得出的取值范围． 【解答】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， 且， ， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数经过第一、三、四象限，求出的取值范围（或的值）是解题的关键． 26．（2024秋•庐阳区校级月考）已知关于的函数． （1）当　　时，该函数是正比例函数． （2）当满足什么条件时，随的增大而减小？ （3）当时，函数图象交轴于点，交轴于点，求△的面积． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，可得出关于的不等式及方程，解之即可得出的值； （2）由随的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出的取值范围； （3）代入，可求出一次函数的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出△的面积． 【解答】解：（1）关于的函数是正比例函数， ， 解得：， 当时，该函数是正比例函数． 故答案为：； （2）随的增大而减小， ， 解得， 当时，随的增大而减小； （3）当时，函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ， △ 的面积为． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的定义、一次函数的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）牢记正比例函数的定义；（2）牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，求出△的面积． 一十五．一次函数图象上点的坐标特征 27．（2023秋•麻栗坡县期末）若点在一次函数的图象上，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：一次函数解析式为，，， 一次函数经过第一、二、四象限， 点在一次函数图象上， 点一定不在第三象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当，时，一次函数经过第一、二、三象限；当，时，一次函数经过第一、三、四象限；当，时，一次函数经过第一、二、四象限；当，时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 28．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为 　　． 【分析】点关于轴的对称点的坐标为：，将点的坐标代入直线表达式，即可求解． 【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为：， 将点的坐标代入直线表达式得：， 解得：， 故答案为1． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解． 一十六．一次函数图象与几何变换 29．（2024秋•濉溪县校级月考）在平面直角坐标系中，有一条直线，若把轴向上平移5个单位长度，平移后直线的表达式变为 　　． 【分析】利用一次函数平移规律“上加下减”，进而得出平移后函数解析式即可． 【解答】解：直线，若把轴向上平移5个单位长度，相当于该直线沿轴向下平移5个单位，那么该直线的表达式变为：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键． 30．（2024春•新会区校级月考）如图，已知一条直线经过点、点，将这条直线向下平移，使平移后的直线与轴、轴分别交于点、点，连接，． （1）求直线的函数表达式； （2）求平移后所得直线的函数表达式． 【分析】（1）直接用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据确定点的坐标，再根据平移的性质设直线的解析式，再代入点的坐标可得直线的解析式． 【解答】解：（1）设直线的函数表达式为． 直线与轴的交点为， ，即． 将点代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2），，， ，即． 根据一次函数的平移规律，设直线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化． 一十七．待定系数法求一次函数解析式 31．（2023秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，且，则所在直线的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】设点的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出值，再根据点的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【解答】解：四边形是长方形，，，， ，， 设点的坐标为，则，， 在中，，，， ， ， 点的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中， 得，解得：， 所在直线的解析式为． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，利用勾股定理求出点的坐标是解题的关键． 32．（2024春•攸县期末）已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 　　． 【分析】由一次函数的性质，分和时两种情况讨论求解． 【解答】解：（1）当时，随的增大而增大，即一次函数为增函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得： 解得， ； （2）当时，随的增大而减小，即一次函数为减函数， 当时，，当时，， 代入一次函数解析式得：， 解得 ． 所以的值为或． 【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论． 一十八．待定系数法求正比例函数解析式 33．（2023秋•姑苏区期末）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是　　． 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得 ． 解得， 函数解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，将代入函数解析式得出关于的方程是解题关键． 34．（2024春•潮南区校级期末）如图，直线的解析式为，点的横坐标是，，与轴所夹锐角是． （1）求点坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若直线与轴的交点为点，求的面积； （4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）过点作轴于点，则为等腰直角三角形，由此得出、，结合即可得出，再根据点所在的象限即可得出点的坐标； （2）由点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标，根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （3）将代入直线的函数表达式中即可求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出的面积； （4）由与的面积相等可得知，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标． 【解答】解：（1）过点作轴于点，如图所示． ，， 为等腰直角三角形， ，． ， ， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为． 设直线的表达式为， 将、代入， ，解得：， 直线的函数表达式为． （3）当时，， 点的坐标为， ． （4）与的面积相等， ， 当时，， 点的坐标为． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 一十九．一次函数与一元一次方程 35．（2023秋•大方县校级期中）如图，直线过点和点，则方程的解是　　 A． B． C． D． 【分析】根据方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标即可求解． 【解答】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，关键是一次函数和一元一次方程性质的应用． 36．（2023春•清原县期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． （1）点的一对“相伴点”的坐标是 　　与 　　； （2）若点的一对“相伴点”重合，则的值为 　　； （3）若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标． 【分析】（1）根据新定义求出，，即可得出结论； （2）根据新定义，求出点的一对“相伴点”，进而得出结论； （3）设出点的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论． 【解答】解：（1）， ，， 点的一对“相伴点”的坐标是与， 故答案为：，； （2）点， ，， 点的一对“相伴点”的坐标是和， 点的一对“相伴点”重合， ， ， 故答案为：； （3）设点， 点的一个“相伴点”的坐标为， 或， 或， 或． 【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键． 二十．根据实际问题列一次函数关系式 37．（2024春•裕华区校级期中）等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，则下列与的关系式及自变量的取值范围中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据：底边长两腰长周长，建立等量关系，变形可得与的关系式，根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【解答】解：由题意得，， 则， 根据三角形的三边关系可得：， 解得：． 综上可得：． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题抽象一次函数关系式，解答本题的关键是根据等腰三角形的周长表达式得出等式，熟练掌握三角形的三边关系． 38．（2024春•兴宁市期末）一蜡烛高20厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时之间的关系式是　　． 【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米，则小时燃掉厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度． 【解答】解：蜡烛点燃后平均每小时燃掉4厘米， 小时燃掉厘米， 由题意知：． 【点评】根据实际问题列一次函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数． 二十一．一次函数的应用 39．（2024秋•大观区校级月考）为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费（元与用电量之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）若乙用户某月需缴电费132元，求乙用户该月的用电量． 【分析】（1）根据图象可以分别设出，时的函数解析式，从而可以解答本题； （2）根据图象可以判断电费132元在的函数图象上，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）根据图象可得， 时，设． 则． 解得，． 时，． 当时，设． 则． 解得． 时，． 由上可得，与之间的函数关系式是：． （2）将代入得，． 即乙用户某月需缴电费132元，乙用户该月的用电量是240度． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的数学思想，将图象与实际问题联系在一起，然后找出所求问题需要的条件． 二十二．一次函数综合题 40．（2023春•和平区校级期末）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①； ②直线的解析式为； ③点，； ④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是，． 正确的结论是　　 A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③；由菱形的性质可得，可得点纵坐标为，可判断④，即可求解． 【解答】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点， 设直线解析式为：， ， ， 直线解析式为：，故②正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点，，故③正确； 线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且， ， 点纵坐标为，故④错误， 故选：． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$