云南省文山州富宁上海新纪元实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

绝密★启用前 绝密★启用前 上海新纪元数学试题·第 1 页(共 4 页) 上海新纪元数学试题·第 2 页(共 4 页) 上海新纪元 2024 年 10 月云贵统一考试试题 数学(高二) 本试题共 4 页，19 小题，满分 150 分．考试时间：120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核 准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1．已知向量 (1, 2, 1), (2, 0, 1)a b= − = ，则向量a 在向量b 上的投影向量为 ( ) A． 1 5 b B． 5 5 b− C． 5 5 b D． 1 5 b− 2．直线 1 0x y− + = 的倾斜角为 ( ) A．－45 B．－30 C．45 D．135 3．过点(0, 1)且与直线 2 1 0x y− + = 垂直的直线方程是 ( ) A． 2 2 0x y− + = B． 2 1 0x y− − = C．2 1 0x y+ − = D．2 1 0x y+ + = 4．已知点 A(a, －3, 5)，B(0, b, 2)，C(2, 7, －1)，若 A，B，C三点共线，则 a，b的值分别是 ( ) A． 2− ，3 B． 1− ，2 C．1，3 D． 2− ，2 5．若 A(2, 2, 1)，B(0, 0, 1)，C(2, 0, 0)，则点 A到直线 BC 的距离为 ( ) A． 30 5 B． 2 30 5 C． 2 5 5 D． 5 5 6．在正四面体 ABCD中，F是 AC 的中点，E是DF 的中点，若 , ,DA a DB b DC c= = = ， 则BE = ( ) A． 1 1 4 4 a b c− + B． 1 1 2 2 a b c− + C． 1 1 4 4 a b c+ + D． 1 2 a b c− + 7．若直线 ( )1 2 3 2 3 0l m x y− + − =： 与直线 ( ) ( )2 1 3 1 0l m x m y m+ + − + − =： 垂直，则 m的值是 ( ) A．3 B．－2 或 3 C．－1 或 2 D．2 8．设 m∈R，过定点A 的动直线 0x my+ = 和过定点B的动直线 3 0mx y m− − + = 交于点 ( , )P x y ，则 | | | |PA PB 的最大值是 ( ) A．2 10 B． 10 C．10 D．5 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求 的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是 ( ) A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 10．对于两条不同直线 m, n和两个不同平面 ,   ，下列选项正确的是 ( ) A．若 , , m n   ⊥ ⊥ ⊥ ，则m n⊥ B．若 // , // , m n   ⊥ ，则m n⊥ 或 //m n C．若 // , m   ⊥ ，则 / /m  或m  D．若 , m m n⊥ ⊥ ，则 //n  或n   11．已知圆 ( ) 2 2 1 1 1 C x y− + =： 和圆 2 2 2 4 4 4 0C x y x y+ − − + =： ，则 ( ) A．圆 C2 的半径为 4 B． y 轴为 C1与 C2 的公切线 C．圆 C1 与 C2公共弦所在的直线方程为 2 2 0x y+ − = D．圆 C2 上到直线 2 0x y− + = 的距离为 1 的点有 3 个 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知直线 l1和 l2，下列命题： ① l1∥l2 的充要条件是 k1=k2； ② l1∥l2 的充分条件是 k1=k2； ③ l1∥l2 的必要条件是 k1=k2； ④ l1⊥l2 的充要条件是 k1k2+1=0； ⑤ l1⊥l2 的充分条件是 k1k2+1=0； ⑥ l1⊥l2 的必要条件是 k1k2+1=0； 正确的是 ． 13．若直线 2 0x y− − = 被圆 2 2( ) 4x a y− + = 所截得的弦长为2 2 , 则实数a的值为 ． 14．已知曲线 ( ) 2 2 4 2C y x− = − −： , 直线 0l x y a− + =： , 曲线C上恰有 3个点到直线 l的距离为 1, 则a 的取值范围是 ． 绝密★启用前 绝密★启用前 上海新纪元数学试题·第 3 页(共 4 页) 上海新纪元数学试题·第 4 页(共 4 页) 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (13 分)已知向量 ( ) ( )2, 1, , 1, 4, 1a m b= − = ，且a b⊥ ． (1) 求 2a b+ 的值； (2) 求向量 2a b+ 与 a b− 夹角的余弦值． 16． (15 分)如图，已知在四棱锥P ABCD− 中，PD ⊥平面 ABCD，四边形 ABCD为直角梯形，AD⊥CD， AB∥CD，AB=AD=PD=2，CD=4，点 E 是棱 PC 上靠近 P 端的三等分点，点 F 是棱 PA 上一点. (1) 证明：PA∥平面 BDE； (2) 求点 F 到平面 BDE 的距离； (3) 求平面 BDE 与平面 PBC 夹角的余弦值. 17． (15 分)已知⊙C 的圆心在 x轴上，经过点 (1, 3)和 (2, 2)． (1) 求⊙C 的方程； (2) 过点 P(3, 1)的直线 l与⊙C 交于 A、B两点． (ⅰ) 若 | | 2 3AB = ，求直线 l的方程； (ⅱ) 求弦 AB最短时直线 l的方程． 18． (17 分)如图，在四棱锥P ABCD− 中，AD∥BC， 90BAD = ， 2 4AD BC= = ， 2AB = ， 2 2PA = ， 45PAO = ，且 O是 AD的中点． (1) 求证：平面POC ⊥平面 ABC；(用几何定理法) (2) 若二面角P AD B− − 的大小为120，求直线 PB与平面 PAD所成角的余弦值．(用向量坐标法) 19． (17 分)古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元 3 世纪末）在其代表作《数 学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的 k 倍的 动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数 k 的大小和直线的位置 等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为 ( 1,2,3)il i = ，当三条直线中有相交直线 时，记 1 2l l A = ， 2 3l l B = ， 3 1l l C = ，动点P到直线 il 的距离为 ( 1,2,3)id i = ，且满足 2 1 2 3d d kd= ．阅读上 述材料，完成下列问题： (1) 当 1 2l l// ， 3 1l l⊥ 时，若 1k = ，且 1l 与 2l 的距离为 2，点P 在 1l 与 2l 之间运动时，求动点P 的轨迹所围成的 面积. (2) 若 ABC 是等腰直角三角形， BAC 是直角，点P在 BAC 内（包括两边）运动，试探求 k 为何值 时，P的轨迹是圆？ (3) 若 ABC 是等腰三角形， AB AC= ，点P在 BAC 内（包括两边）任意运动，当 1k = 时，问在此等腰 三角形对称轴上是否存在一点D，使 PA PD 为大于 1 的定值．若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理 由．