圆的有关性质讲义（二）2024-2025学年人教版数学九年级上册

 

 

圆的有关性质讲义（二）  

1、弦、弧、圆心角的关系

1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

1．如果两个圆心角相等，那么（  ）

A．这两个圆心角所对的弦相等;           B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;   D．以上说法都不对

2.下列语句中不正确的有（     ）

①相等的圆心角所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴  ④长度相等的两条弧是等弧

A.3个      B.2个     C.1个       D.以上都不对

3.已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关系为（   ）

A.AB=2CD       B.AB<2CD       C.AB>2CD       D.不能确定

4. 如图，AB是 ⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（     ）

A． 40°      B.  60°    C.  80°    D.  120 °

 

 

5、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）

A．

cm

B．

cm

C．

cm

D．

4cm

6.在⊙O中，圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为(    )

A.4              B.8              C.24                D.16

7、已知圆O的半径为5,弦AB的长为5,则弦AB所对的圆心角∠AOB=          .

8.如图，AB是 ⊙O的直径，=,∠A=25°， 则∠BOD=        .

9.在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB＝      ；弦AB的长为          .

10.如图，在⊙O中，，∠B=70°，则∠A等于        ．

11.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=___ _____．

 

12.等腰△ABC的顶角∠A＝120°，腰AB＝AC＝10，△ABC的外接圆半径等于          .

  

13、如图，在⊙O中 ,AB =AC,∠ACB=60°，求证∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

 

 

14、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC,AB、AC交⊙O于D、E,求证：BD=DE=EC

 

 

 

 

 

 

2、圆周角定理

 

1.圆周角定义：
　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.圆周角定理：
　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3.圆周角定理的推论：
　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4、圆内接四边形：

 定义：如果一个四边形的四个顶点都在圆上，这个多边形叫做圆内接四边形。

性质：圆内接四边形的对角互补

1.如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（  ）

  A.1个          B.2 个          C.3个          D.4个

2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（  ） 

A. 20°        B.  40°     C.  60°  D.80°