第6章 图形的相似 单元测试-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第6章 图形的相似 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知点P是线段的黄金分割点，，那么为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，若的面积为，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 5．如图，已知，它们依次交直线、于点和点，如果，，那么等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 8．如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．在比例尺为的图纸上测得零件长度是，则甲零件的实际长度是 ． 10．如图，四边形和相似，已知，，，则 ． 11．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为 ． 12．如图，在中，，，垂足为D，如果，，那么线段的长为 ． 13．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 14．如图，如果，，，，，那么 ． 15．如图，是三条角平分线的交点，过点作的垂线交边、于点、，已知，，则的长为 ． 16．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点，，，分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．已知，求的值． 18．如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长． 19．如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    20．在平面直角坐标系内，的位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出． (2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 21．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 22．如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 24．阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 25．如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值． (4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 图形的相似 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第6章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查线段成比例的知识，解题的关键是只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，不成比例，不符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，成比例，符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 故选：C． 2．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，则，代入代数式计算即可解题． 【详解】解：设，则， ∴， 故选：A． 3．已知点P是线段的黄金分割点，，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例为是解题的关键． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且 ∵， 故选：B． 4．已知，，若的面积为，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：C ． 5．如图，已知，它们依次交直线、于点和点，如果，，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故选：． 6．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 7．如图，正方形内接于，点M、N在上，点P、Q分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（   ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 设正方形边长为，则，证明四边形是矩形，得出，证明，得出，即，解出的值即可． 【详解】解：设正方形边长为，则， ∵正方形内接于上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， ∴正方形的周长为8， 故选：C． 8．如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 过点C作轴于点E，连接，利用反比例函数k的几何意义得到，根据以及可得，，可得结论． 【详解】解：过点C作轴于点E，连接，则，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵的面积是8， ∴， ∵反比例函数的图象交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．在比例尺为的图纸上测得零件长度是，则甲零件的实际长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据“图上长度比例尺实际长度”，代入数值，计算即可，熟练掌握比例尺的定义是解题的关键． 【详解】解：设实际的长度为， 可得， 解得， 故甲零件的实际长度是， 故答案为：． 10．如图，四边形和相似，已知，，，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等． 根据相似图形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：80． 11．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则可证明得到，即点C为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵线段和线段关于原点位似， ∴， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，垂足为D，如果，，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 14．如图，如果，，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15．如图，是三条角平分线的交点，过点作的垂线交边、于点、，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识． 先证明，同理可得，则,则,证明，则，得到，则，即可得到． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴，， ∵过点作的垂线交边、于点、， ∴， ∴, ∴， 又∵ ∴， 同理可得， ∴, ∴, ∵，,， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为： 16．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点，，，分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为 ． 【答案】5 【分析】依据题意，由矩形的性质可得，求出，由证得，得出，过点作于，可得，再证明，利用相似三角形对应边成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，然后求解即可． 【详解】解：作，垂足为． 四边形是矩形， ． ． , ． 个小正方形大小相同， ． 又，， ， ． 过点作于，如图所示： 四边形是矩形． ，． ，， ． ， ． ． ． ． 在中，． 小正方形的边长为． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．已知，求的值． 【答案】2 【分析】根据比例的性质化简得，即可得出答案． 【详解】解：由，得， 化简，得， ∴． 【点睛】本题考查比例的性质，正确变形是解题的关键． 18．如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据，得到，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ，， ， ． ，，， ． 19．如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似，尺规作图，解题的关键是熟悉相似三角形的性质与判定．已知，要使，只需再证另一组角相等即可，由可知作即可． 【详解】解：如解图，点即为所求．    ，， ， ． 20．在平面直角坐标系内，的位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出． (2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）分别连接并分别延长到点，使得，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）如图，即为所作． 【点睛】此题考查了旋转和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 21．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，   ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 22．如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 23．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 24．阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得结合是的中点，可得根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， ， ． 25．如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值． (4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）直接由勾股定理求解即可； （2）分两种情况：当点Q在上时，，当点Q在上时，，分别求长即可； （3）过点M作于N，求得，，由勾股定理得，利用二次函数最值，求得当时 ， 有最小值，有最小值． （4）设斜边的中线为，则，根据，得，即，求出t值即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． （2）解：当点Q在上时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 当点Q在上时， 同理可得：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 综上，线段的长为：或． （3）解：过点M作于N，如图， 由旋转可得：． ∵， ∴四边形为矩形 ∴．， ∴． 由（2）知：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最小值，有最小值． （4）解：设斜边的中线为． ∴． 由旋转可知：四边形为平行四边形， ∴，． 当点落在上， ， ∴． 由（2）知：， ∴． ∴． ∴当点落在斜边中线上时t的值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$