专题03 人教版八年级上学期计算题专项分类训练2（因式分解7种类型80道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题03 人教版八年级上学期计算题专项分类训练2 （因式分解7种类型80道） 目录 【题型1 提取公因式法】 1 【题型2 公式法混合运用】 1 【题型3 分组分解法】 2 【题型4 十字相乘法】 3 【题型5 利用因式分解简便运算】 3 【题型6 配方法】 4 【题型7 添项拆项法】 8 【题型8 双十字相乘法】 12 【题型1 提取公因式法】 1．计算：． 2．分解因式：． 3．因式分解：． 4．因式分解：． 5．分解因式：． 6．因式分解：． 7．分解因式：． 8．因式分解：． 9．因式分解：． 10．因式分解： 【题型2 公式法混合运用】 11．分解因式： (1) ； (2)． 12．分解因式： (1)． (2)． 13．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 14．分解因式： (1)； (2)． 15．因式分解： (1)； (2)． 16．因式分解： (1) ； (2) 17．分解因式： (1)； (2)． 18．分解因式． (1)； (2)． 19．因式分解 (1)； (2)． 20．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【题型3 分组分解法】 21．分解因式：． 22．分解因式：． 23．把多项式分解因式． 24．因式分解：． 25．因式分解：． 26．因式分解：． 27．因式分解：． 28．分解因式：． 29．因式分解：． 30．因式分解：； 【题型4 十字相乘法】 31．因式分解： 32．分解因式： 33．因式分解：． 34．因式分解： 35． 分解因式∶ ． 36．分解因式：． 37．把分解因式． 38．分解因式：． 39．分解因式：． 40．分解因式：． 【题型5 利用因式分解简便运算】 41．利用因式分解计算： (1)； (2)． 42．利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 43．利用因式分解计算： (1)； (2)． 44．利用因式分解计算： (1) (2) 45．利用因式分解简便计算 (1) (2) 46．利用因式分解进行简便计算： （1）3×852﹣3×152； （2）20212﹣4042×2019+20192． 47．利用因式分解计算 (1) (2) 48．利用因式分解计算： （1）； （2）． 49．利用因式分解计算： （1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92 50．利用因式分解计算： （1）； （2）. 【题型6 配方法】 51．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． (3)当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 52．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式： ；又例如：求代数式的最小值：∵；又∵；∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 53．阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用公式法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 54．阅读下列材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法可以称之为“配方法”． (1)应用：体会配方法的特点，仿照上述配方法的解题步骤因式分解：； (2)拓展：利用配方法求代数式的最小值． 55．阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 56．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 57．阅读材料： 已知，求m，n的值． 解：等式可变形为, 即． 因为， 所以． 所以． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： 已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，试求长方形的面积． 58．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1．用配方法因式分解：． 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值； ； ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：； (3)若，求的最小值是多少． 59．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 60．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是－8． (1)分解因式：______． (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数． (3)当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【题型7 添项拆项法】 61．对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有： .像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法. (1)请用上述方法把分解因式； (2)多项式有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时的值是多少？ 62．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：例如：． ②拆项法：例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 63．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：， ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：a，b，c为的三条边，，求的周长． 64．【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 65．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 如：． ②拆项法： 如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法； ②用拆项法； (2)已知、、为的三条边，，求的周长． 66．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) (2) (3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值. 67．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若三边、、满足，试判断的形状． 68．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如： 例1分解因式：． 解：原式 例2分解因式：． 解：原式． 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3把多项式写成的形式． 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)运用拆项添项法分解因式：______； (3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值； (4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值． 69．【阅读材料】 对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab－8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab－8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把－8b2拆成+b2与－9b2的和），使整个式子的值不变． 于是有： a2+2ab－8b2 =a2+2ab－8b2+b2－b2 =（a2+2ab+b2）－8b2－b2 =（a+b）2－9b2 =[（a+b）+3b][（a+b）－3b] =（a+4b）（a－2b） 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【应用材料】 （1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用　 　法实现分解因式． （2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ①m2+6m+8； ②a4+10a2b2+9b4 70．【阅读材料】 对于二次三项式可以直接分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，(这里也可把拆成与的和)，使整个式子的值不变． 于是有： ， 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法． 【应用材料】 上式中添(拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用______法实现分解因式． 请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ； 【题型8 双十字相乘法】 71．用双十字相乘法分解因式 例：20x2+9xy-18y2-18x+33y-14． ∵4×6+5×(-3)=9，4×(-7)+5×2=-18，-3×(-7)+2×6=33， ∴20x2+9xy-18y2-18x+33y-14=(4x-3y+2)(5x+6y-7)． 双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案． 分解因式6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2= 72． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 73．【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1x c1a2x c2 a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x c1c2． 反过来，就得到：． 我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1x c1a2 x c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x 2)(x 3)． 请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ． 【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）= ； （2）= ． 【探究与拓展】 对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b ， pk qj e ，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （1）分解因式= ； （2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值； （3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值． 74．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而 所以 而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式 例：分解因式 解：如图3，其中，， 而，， 所以 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：① ． ② ． （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 75．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）． 例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2． 解：如图1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）． ∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y） 而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）； 例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2 解：如图3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2； 而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1； ∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2） 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ①6x2﹣17xy+12y2＝　 　 ②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝　 　 ③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝　 　 （2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 人教版八年级上学期计算题专项分类训练2 （因式分解7种类型80道） 目录 【题型1 提取公因式法】 1 【题型2 公式法混合运用】 3 【题型3 分组分解法】 9 【题型4 十字相乘法】 12 【题型5 利用因式分解简便运算】 14 【题型6 配方法】 19 【题型7 添项拆项法】 30 【题型8 双十字相乘法】 41 【题型1 提取公因式法】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法．提公因式法是指如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 2．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再提取公因式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法分解即可． 【详解】解： ． 4．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先将式子变形为，再利用提公因式法分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 5．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 先变形为，再提公因式，即可求解． 【详解】解： ； 6．因式分解：． 【答案】 【分析】先将多项式中的、变形为、，再利用提公因式法进行因式分解即可．本题考查了因式分解的方法—提公因式法，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 7．分解因式：． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 变形后直接利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解： ． 8．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 9．因式分解：． 【答案】 【分析】用提公因式法进行因式分解即可，此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 【详解】解： 10．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练的利用提公因式的方法分解因式是解本题的关键，本题先提取公因式，分解后再次提取公因式2，从而可得答案． 【详解】解： ； 【题型2 公式法混合运用】 11．分解因式： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 12．分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 13．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）综合利用公式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 14．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）根据平方差公式和提供因式法因式分解即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：    （2）解： 15．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可． 本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， （2）解： ． 16．因式分解： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式： （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）综合利用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 18．分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法等． （1）先根据平方差公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数6，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3 分组分解法】 21．分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 22．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式是解题的关键．将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】解： ． 23．把多项式分解因式． 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式．把原式中的第二项的系数3变为，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式． 【详解】解： ． 24．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法分解因式是解题的关键．利用因式分解-分组分解法和完全平方公式，进行分解即可解答． 【详解】解： ． 25．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和分组分解法分解因式是解题的关键．首先将原式前两项和后两项分组，进而提公因式分解因式即可得出答案． 【详解】解： ． 26．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，先根据完全平方公式进行因式分解，然后再用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 27．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【详解】解： ． 28．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式，进一步提取公因式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． 29．因式分解：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的因式分解，选择适当的方法进行因式分解是解题的关键，先利用分组分解法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 30．因式分解：； 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 【题型4 十字相乘法】 31．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，注意因式分解要分解到再也不能分解为止；先用十字相乘法分解，再对每个二次三项式用十字相乘法与完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：原式 ． 32．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用十字相乘法分解因式；先利用十字相乘法分解，再继续利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 33．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查十字相乘因式分解．熟练掌握以上知识是解题的关键． 将原式化为，从而因式分解为两个多项式相乘的形式． 【详解】解：， ， ， ． 34．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 35． 分解因式∶ ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，原式整理后，利用十字相乘法分解，再进一步分解即可，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键． 【详解】解： ； 36．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可． 【详解】 ． 37．把分解因式． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．运用十字相乘法进行分解因式，即可． 【详解】解：． 38．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查的是十字相乘法因式分解．先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 39．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解； 利用十字相乘法进行因式分解，注意要分解彻底． 【详解】解： 40．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．设，原式可分解得，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解：设， 则原式 ， ∴ ． 【题型5 利用因式分解简便运算】 41．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式进行简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 42．利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)10000 (2)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，因式分解，关键是掌握完全平方式进行因式分解．利用完全平方公式分解因式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 43．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2019 (2)8100 【分析】（1）提取公因式2019即可得； （2）根据完全平方公式，可得答案； 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 44．利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 45．利用因式分解简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，然后利用平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． 46．利用因式分解进行简便计算： （1）3×852﹣3×152； （2）20212﹣4042×2019+20192． 【答案】（1）21000；（2）4 【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式进行因式分解计算即可； （2）对原式进行变形，利用完全平方公式直接分解因式计算即可． 【详解】解：（1）3×852﹣3×152 =3×（852-152） =3×（85+15）×（85-15） =3×100×70 =21000； （2）20212﹣4042×2019+20192 =20212-2×2021×2019+20192 =（2021-2019）2 =22 =4． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 47．利用因式分解计算 (1) (2) 【答案】(1)36 (2)31.4 【分析】（1）先将变形为的形式，再利用平方差公式求解； （2）先提取公因式，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解． 48．利用因式分解计算： （1）； （2）． 【答案】（1）314；（2）508000 【分析】（1）利用提取公因式法计算； （2）应用平方差公式计算． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题考查因式分解的应用，属于基础题型． 49．利用因式分解计算： （1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92 【答案】（1）2500；（2）100． 【分析】（1）转化为完全平方公式形式，计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500； （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100． 【点睛】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键． 50．利用因式分解计算： （1）； （2）. 【答案】（1）97800；（2）0.0386 【分析】（1）提取公因式978后进行计算；（2）提取公因式3.86后进行计算. 【详解】(1)原式 . (2)原式 . 【点睛】本题考查利用因式分解对有理数进行简便运算，利用提取公因式因式分解是解答此题的关键. 【题型6 配方法】 51．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、、c是的三边，且满足，试判断的形状． (3)当x为何值时代数式有最大值？求出这个最大值． 【答案】(1) (2)是等腰三角形或直角三角形 (3)，最大值为 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用提公因式法和平方差公式分解因式，可得或，即可求解； （3）先对式子进行因式分解，得到时，取得最大值 【详解】（1） （2）解：∵， ， ∴ ∴或， 解得或， ∴是等腰三角形或直角三角形． （3） 时，即，原式有最大值． 52．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式： ；又例如：求代数式的最小值：∵；又∵；∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)时，取得最大值为16 【分析】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，通过例题和材料，明确配方法的步骤，因式分解，用配方法求最值． （1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）对多项式变形，使式子中出现完全平方式，利用非负数的性质即可求出多项式的最大值． 【详解】（1）解：  ； （2）， ，， ， 当，即时，取得最大值为16． 53．阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用公式法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，完全平方公式和平方差公式： （1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可； （2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案； （3）先因式分解已知等式，再根据平方的非负性，确定，，的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的周长为． 54．阅读下列材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法可以称之为“配方法”． (1)应用：体会配方法的特点，仿照上述配方法的解题步骤因式分解：； (2)拓展：利用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了因式分解，熟读题意学会题中所给的信息是解题的关键． （1）根据信息中的配方法进行化简运算即可； （2）根据信息中的配方法进行化简运算即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ∵， ∴． ∴代数式的最小值是5． 55．阅读材料，利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： ． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先根据阅读材料提供的思路，把多项式配方，使代数式中有一个完全平方式：，利用完全平方公式分解因式得到：，然后再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照（1）的思路把多项式分解因式得到：，根据平方的非负性可得：，所以可知当取最小值时，代数式有最小值，从而得到的最小值； （3）首先把等式右边的部分移项到左边，得到：，然后配方得到：，利用平方的非负性分别求出、、的值，根据三角形周长公式求出的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 因为，所以， 所以多项式的最小值为； （3）解：可变为： ， 所以，，， 所以的周长． 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式、平方差公式和配方法分解因式．解决本题的关键是理解阅读材料中提供的解题思路，把多项式配方得到完全平方式利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方的非负性解决问题． 56．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形，证明见解析． 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 57．阅读材料： 已知，求m，n的值． 解：等式可变形为, 即． 因为， 所以． 所以． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： 已知a，b分别是长方形的长、宽，且满足，试求长方形的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，配方法的应用，掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 根据配方法和非负数原理求出的值，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】 ∵，， ∴，， 解得：，， ∵a，b分别是长方形的长、宽， ∴长方形的面积为：． 58．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1．用配方法因式分解：． 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值； ； ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：； (3)若，求的最小值是多少． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用； （1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数； （2）类比例题进行分解因式即可； （3）类比例题求的最小值即可． 【详解】（1）解：， 常数项为． 故答案为：． （2）（2） ； （3） ， ∵， ∴的最小值为； 59．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，二次三项式取得最小值，最小值为 【分析】（）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可； （）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可； 本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ∵， ∴ ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为． 60．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是－8． (1)分解因式：______． (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数． (3)当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，最小值为5 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法，是解题的关键： （1）利用配方法，进行因式分解即可； （2）利用配方法结合完全平方的非负性，进行说明即可； （3）利用配方法结合完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的值总为正数； （3）解： ， 当时代数式有最小值， 解得，最小值为5． 【题型7 添项拆项法】 61．对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有： .像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法. (1)请用上述方法把分解因式； (2)多项式有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时的值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值，最小值是3. 【分析】（1）仿照例题的做法解答即可； （2）利用例题的做法先将原式变形为，再根据完全平方式的非负性解答. 【详解】（1） ； （2）， ∵， ∴当时，多项式有最小值， ∴当时，多项式有最小值，最小值是3. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键. 62．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：例如：． ②拆项法：例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①② (2)为直角三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式；②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：为直角三角形，理由如下： 、、为的三条边，， ， ， ， ， ， ． 故为直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握因式分解的方法和非负数的性质． 63．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：， ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：a，b，c为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)14 【分析】此题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）①将放为一组，根据平方差公式分解因式； ②将3拆为，根据完全平方公式和平方差公式分解因式 （2）将原等式化为，求出a，b，c的值，即可得到周长． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2） ∴， ∴， ∴的周长为． 64．【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． 65．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 如：． ②拆项法： 如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法； ②用拆项法； (2)已知、、为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，得，平方差公式分解即可； ②根据题意，得，分解即可； （2）根据题意，得，根据非负性解答即可． 本题考查了分组法，拆项法分解因式，实数的非负性，熟练掌握方法，活用实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）① ； ② ． （2）根据题意，得， ∴， ∴， ∴， 故的周长为． 66．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1) (2) (3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值. 【答案】(1) (2) (3)有最小值2 【分析】（1）根据题中定义求解； （2）化成即可求解； （3）把化成二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：； （3）解：， ∴二次函数有最小值2； 【点睛】本题考查了新定义下的运算，运用平方差公式和完全平方公式求解即可． 67．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若三边、、满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式； （2）把-6x拆成-7x+x，再用分组分解法进行解答； （2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a、b、c之间的关系便可． 【详解】（1） =a2-4a+4-b2 =（a-2）2-b2 =（a+b-2）（a-b-2）； （2） =x2-7x+x-7 =x（x-7）+（x-7） =（x-7）（x+1） （3）∵a2-ab-ac+bc=0， ∴a（a-b）-c（a-b）=0， ∴（a-b）（a-c）=0， ∴a-b=0或a-c=0， ∴a=b或a=c， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键． 68．【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如： 例1分解因式：． 解：原式 例2分解因式：． 解：原式． 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3把多项式写成的形式． 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)运用拆项添项法分解因式：______； (3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值； (4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)10 (4)m的值为18 【分析】（1）加1再减1，进行分解因式即可解答； （2）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答； （3）先配方成完全平方的形式，然后写出最小值即可； （4）仿照例3的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：∵ ∴当时，有最小值． 故答案为：10． （4）解： ∵若M恰能表示成的形式， ∴， ∴， 答：m的值为18． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 69．【阅读材料】 对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab－8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab－8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把－8b2拆成+b2与－9b2的和），使整个式子的值不变． 于是有： a2+2ab－8b2 =a2+2ab－8b2+b2－b2 =（a2+2ab+b2）－8b2－b2 =（a+b）2－9b2 =[（a+b）+3b][（a+b）－3b] =（a+4b）（a－2b） 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【应用材料】 （1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用　 　法实现分解因式． （2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ①m2+6m+8； ②a4+10a2b2+9b4 【答案】（1）公式；（2）①（m+4）（m+2）；②（a2+9b2）（a2+b2） 【分析】（1）根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可的； （2）①将原式变形为m2+6m+9﹣1＝（m+3）2﹣12分解可得；②将原式变形为a4+10a2b2+25b4﹣16b4＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2再进一步分解可得． 【详解】解：（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式； （2）①m2+6m+8 ＝m2+6m+9﹣1 ＝（m+3）2﹣12 ＝（m+3+1）（m+3﹣1） ＝（m+4）（m+2）； ②a4+10a2b2+9b4 ＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4 ＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2 ＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2） ＝（a2+9b2）（a2+b2）． 【点睛】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤． 70．【阅读材料】 对于二次三项式可以直接分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，(这里也可把拆成与的和)，使整个式子的值不变． 于是有： ， 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法． 【应用材料】 上式中添(拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用______法实现分解因式． 请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ； 【答案】（1）平方差公式；（2）①；②． 【分析】根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可的； ①将原式变形为分解可得； ②将原式变形为再进一步分解可得． 【详解】解：上式中添(拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用平方差公式实现分解因式． 故答案为：平方差公式； ① ； ② ． 【点睛】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤． 【题型8 双十字相乘法】 71．用双十字相乘法分解因式 例：20x2+9xy-18y2-18x+33y-14． ∵4×6+5×(-3)=9，4×(-7)+5×2=-18，-3×(-7)+2×6=33， ∴20x2+9xy-18y2-18x+33y-14=(4x-3y+2)(5x+6y-7)． 双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案． 分解因式6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2= 【答案】(2x-3y-4z)(3x+2y+5z) 【分析】结合题意画出图形，即可得出结论. 【详解】6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2 ∵2×2+3×(-3)=-5，2×5z+3×(-4z)=-2z，-3×5z+2×（-4z）=-23z， ∴6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2 =(2x-3y-4z)(3x+2y+5z). 故答案为(2x-3y-4z)(3x+2y+5z). 【点睛】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）. 72． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以 ． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以 ． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以 ． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以 ． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 73．【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1x c1a2x c2 a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x c1c2． 反过来，就得到：． 我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1x c1a2 x c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x 2)(x 3)． 请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ． 【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）= ； （2）= ． 【探究与拓展】 对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b ， pk qj e ，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （1）分解因式= ； （2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值； （3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值． 【答案】阅读与思考：图见解析， x- 3 x 2；理解与应用：（1） x 12x 7；（2）2x y3x 2y；探究与拓展：（1）x 2y 13x y 4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0． 【分析】【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； （2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案； （2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解； （3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解． 【阅读与思考】画十字交叉图： ∴= x -3 x 2． 故答案是： x- 3 x 2； 【理解与应用】（1）画十字交叉图： ∴2x2 5x 7 = x 12x 7， 故答案是： x 12x 7； （2）画十字交叉图： ∴6x2 7xy 2y2 = 2x y3x 2y， 故答案是：2x y3x 2y； 【探究与拓展】（1）画十字交叉图： ∴3x2 5xy 2y2 x 9y 4 x 2y 13x y 4， 故答案是：x 2y 13x y 4； （2）如图， ∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积， ∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3， ∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78． ∴m的值为：43或－78； （3）∵， ∴， 画十字交叉图： ∴， ∴或， ∵x，y为整数， ∴x=－1，y=0是一组符合题意的值． 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式以及应用，理解并掌握阅读材料中的“画十字交叉图”，是解题的关键． 74．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而 所以 而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式 例：分解因式 解：如图3，其中，， 而，， 所以 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：① ． ② ． （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1）；；（2）61或-82． 【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论； （2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可． 【详解】解：（1）①如下图，其中， 所以，； ②如下图，其中， 而， 所以，； （2）如下图，其中， 而 或， ∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82． 【点睛】 本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键． 75．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）． 例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2． 解：如图1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）． ∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y） 而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）； 例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2 解：如图3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2； 而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1； ∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2） 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ①6x2﹣17xy+12y2＝　 　 ②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝　 　 ③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝　 　 （2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值． 【答案】（1）①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2）；（2）43或-78． 【分析】（1）①参照图1，画出图形，根据十字相乘法则分解因式即可； ②参照图3，画出图形，根据十字相乘法则分解因式即可； ③参照图1，画出图形，根据十字相乘法则分解，再利用提取公因式法即可； （2）参照图3，先根据所给的二元二次式画出图，然后根据十字相乘法则中对应系数的确认方法即可得． 【详解】（1）①如图①，其中，而 ②如图②，其中 而 ③如图③，其中，而 故答案为：①；②；③； （2）如图④，由十字相乘法可知，有以下两种情况： 其中 而 或 故m的值为或． 【点睛】本题考查了利用十字相乘法分解因式、及拓展，读懂题意，理解十字相乘图的画法是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$