精品解析：广东省珠海市第十六中学2024—2025学年上学期期中质量监测九年级数学试题

2024-2025学年第一学期期中质量监测试题 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵是一般形式，常数项是， ∴二次项系数和一次项系数分别是和， 故选：C． 2. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 足球在草地上滚动 B. 火箭升空的运动 C. 汽车在急刹车时向前滑行 D. 钟表的钟摆动的过程 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的定义逐项分析即可. 【详解】A.足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转； B. 火箭升空的运动是平移，不属于旋转； C. 汽车在急刹车时向前滑行是平移，不属于旋转； D. 钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；  故选D. 【点睛】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 3. 下列关于方程 的结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式与根的个数关系，根据判别式的符号进行判断即可 【详解】解：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A 4. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 5. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为； ∴方程必有一根为． 故选：B 6. 将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移.根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可. 【详解】解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为， 故选：B 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求得函数图象的开口方向和对称轴，根据各点离对称轴的距离求解即可． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 8. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，小球落地，即小球的高度，代入关系式，解方程即可得出结果． 【详解】小球落地，即，所以， 解得或0， 时，即小球还未抛出的时刻，舍去， ∴， 故选：A． 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，根据确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断． 【详解】∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上， 故选A． 10. 已知二次函数的图象如图，下列4个结论：①，②，③，④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与轴交点，可判断①②结论；根据二次函数图象的对称性，可判断③结论；根据二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程根和系数的俄关系，可判断④结论． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ，，， ， ，，①②结论正确； 抛物线对称轴为直线，且时，， 时，， ，③结论错误； 方程有四个根， 方程和各有两个根， 设这四个根分别为、、、， ，， 这四个根的和为4，④结论正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的各项系数的符号的判断，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴ 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有一个根是，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出n的值即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故答案为：2． 13. 如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则等于__________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转之后对应角相等即可得出答案，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转，得到，， ∴， 故答案为：． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设每个支干长出个小分支，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 15. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 【答案】－3＜x＜1 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】考点：二次函数的图象． 16. 如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 17. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【详解】试题分析：运用配方法求解即可． 试题解析： 故：， 考点：解一元二次方程-配方法． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则；若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 19. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为时达到最大高度为． （1）求关于的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1） （2）的长为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【小问1详解】 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 抛物线的解析式为（或）； 【小问2详解】 令，则， 解得：，（舍）， 的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 20. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出方程求解是解题的关键． （1）本题需计算月平均增长率，属于增长率问题，可用一元二次方程求解； （2）本题需建立利润方程，考虑降价后的售价、销量及利润关系，求解降价金额并选择符合题意的解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 21. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，由进一步得，即可证明； （2）先求出．由得到，代入数值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ， ， ， ． 22. 课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． （2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 【答案】（1）①；时，的值最大，最大值为； ②最大值为， （2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①已知正方形的周长，可求出其边长，即的长，即可表示出的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． ②本题已知了正方形的边长，可设为那么也为可用正方形的边长求得．过、作的垂线，通过构建的直角三角形，用表示出和的长，即可求出上底的长，然后根据梯形的面积公式即可求得的函数关系式，根据函数的性质即可求得函数的最大值； （）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 【小问1详解】 解：方案①， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图所示，过点作于，于，则， 设，梯形的面积为，则， 又∵， ∴，，， ； 当， ∵， ； 【小问2详解】 略 三、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点为的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵点为的中点，正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质证明，再结合全等三角形的性质可得答案； （2）先证明，再证明，结合相似三角形的性质可得答案； （3）求解，结合（2）可得：， ，求解，由等面积可得，，，证明，可得，，，，过作于，过作于，证明，可得，可得，，证明，再结合相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形，， ∴，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， 过作于，过作于， ∵，平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练的利用三角形的性质解题是关键． 24. 已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． （3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法解答便可； （2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，用表示的坐标，进而根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数求最值的方法求得结果； （3）分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程进行解答． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点、， 设抛物线的解析式为：， 把代入中，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 即； 【小问2详解】 解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1， 设直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的解析式为：， ， ， ∵， ， ∵， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线， ∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为， 的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 把代入中，得， 点的坐标为， 设的坐标为； ①当时，则， 即， 解得，， ． ②当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或； ③当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或． 综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，二次函数图象的平移，二次函数的最值的求法，等腰三角形的定义，两点距离公式，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中质量监测试题 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列运动属于旋转的是（ ） A. 足球在草地上滚动 B. 火箭升空的运动 C. 汽车在急刹车时向前滑行 D. 钟表的钟摆动的过程 3. 下列关于方程 的结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 4. 某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所需要的时间是（ ） A. B. C. D. 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图，下列4个结论：①，②，③，④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是________． 12. 若关于的一元二次方程有一个根是，则_________． 13. 如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则等于__________． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为__________． 15. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 16. 如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 17. 解方程：. 18. 已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 19. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为时达到最大高度为． （1）求关于的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 20. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 21. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． （1）求证：； （2）当时，求的值． 22. 课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． （2）假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 三、解答题（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 已知，在正方形中，点、分别在边和上，连接、交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若点为的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，的平分线交于点，过点作交于点，若，求的长． 24. 已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． （3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $