江苏省九年级上学期期中真题必刷易错60题（26个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

期中真题必刷易错60题（26个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共3小题） 1．（2023秋•东海县期中）下列方程为一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•新沂市期中）关于的方程是是一元二次方程，则　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•洪泽区期中）已知是一元二次方程，则　　． 二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 4．（2022秋•连云港期中）方程的二次项系数为 　　． 5．（2023秋•赣榆区期中）将方程改写成的形式，则，，的值分别为　　 A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 三．一元二次方程的解（共3小题） 6．（2023秋•沭阳县期中）若关于的方程有一个根是1，则的值为　　 A．3 B．2 C．1 D． 7．（2023秋•建湖县期中）若关于的一元二次方程的一个根为0，则值是 　　． 8．（2023秋•常州期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为 　　． 四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题） 9．（2023秋•太仓市期中）对于实数，，新定义一种运算“※”，※．若※，则的值为 　　． 五．解一元二次方程-配方法（共5小题） 10．（2023秋•泗阳县期中）用配方法解方程，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•太仓市期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是　　 A． B． C． D． 12．（2022秋•邗江区期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 13．（2023秋•梁溪区校级期中）用配方法解方程时，可将方程变化成，则的值是 　　． 14．（2023秋•梁溪区校级期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知： （1）可以运算，例如：，则　　； （2）方程的两根为 　　．（根用表示）． 六．解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 15．（2022秋•江阴市期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　　． 16．（2023秋•工业园区期中）在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 　　． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 七．根与系数的关系（共1小题） 17．（2023秋•淮安期中）已知方程的两个根是互为相反数，则的值是　　 A． B． C． D． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 18．（2022秋•滨湖区校级期中）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是　　 A． B． C． D． 九．一元二次方程的应用（共5小题） 19．（2023秋•丹阳市期中）学校合唱队需购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元件；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元件． （1）当购买12件时，单价为 　　元件； （2）按此优惠条件，若一次性购买这种服装付了1200元．请问学校购买了多少件这种服装？ 20．（2023秋•惠山区校级期中）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日销售量为200个，经市场调查表明，每个售价每增加0.5元，日均销售量减少5个． （1）当每个售价为52元时，日均销售量是 　　个； （2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元． 21．（2022秋•苏州期中）如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点，，分别在，，上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当时，小正方形种植花卉所需的费用； （2）试用含有的代数式表示五边形的面积； （3）当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 22．（2022秋•梁溪区校级期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个． （1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率． （2）求三月份时该玩具每个的销售价格． 23．（2023秋•天宁区校级期中）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　　个台灯，若售价下降元，每月能售出 　　个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 一十．配方法的应用（共2小题） 24．（2022秋•工业园区校级期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 　　． 25．（2023秋•仪征市期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　　； （2）代数式的最小值为 　　； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 一十一．垂径定理（共2小题） 26．（2023秋•海州区期中）如图，的半径为13，弦，于点．则的长为　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•海安市期中）如图，是的直径，弦，垂足为．若，，则的半径为 　　． 一十二．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 28．（2023秋•梁溪区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 一十三．圆周角定理（共8小题） 29．（2023秋•惠山区期中）如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于　　 A． B． C． D．都不对 30．（2023秋•徐州期中）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在中，动弦与直径相交于点且总有，则的值　　 A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 32．（2023秋•天宁区校级期中）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器　　 A．5台 B．4台 C．3台 D．2台 33．（2023秋•淮安区期中）半圆与平面直角坐标系交于点，，点在上运动（不与，重合），连接、，与的平分线交于点，则的最小值为 　　． 34．（2022秋•大丰区期中）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若， （1）求的度数； （2）若，求的度数． 35．（2022秋•东台市期中）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 36．（2022秋•工业园区校级期中）如图，是的直径，点在上，．垂足为点．，分别交、于点、． （1）判断的形状．并说明理由； （2）延长交于点，连接，求证：． 一十四．点与圆的位置关系（共2小题） 37．（2023秋•苏州期中）在同一平面内，已知的半径是5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 38．（2023秋•惠山区期中）已知的半径为4，，则点与的位置关系是　　 A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 一十五．三角形的外接圆与外心（共2小题） 39．（2023秋•惠山区期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 40．（2022秋•溧阳市期中）如图，是的内接三角形，直径，平分交于点，交于点，连接、． （1）若，求的度数； （2）求的长． 一十六．直线与圆的位置关系（共1小题） 41．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 一十七．切线的性质（共3小题） 42．（2023秋•海安市期中）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 43．（2023秋•金坛区期中） 如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是 　　． 44．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过作的切线，与交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，，则图中阴影部分的面积为 　　． 一十八．切线的判定与性质（共3小题） 45．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，． （1）求证：是的切线； （2）连接，求的长． 46．（2023秋•仪征市期中）如图，中，经过、两点，且交于点，连接，． （1）证明与相切； （2）若的半径为6，，求图中阴影部分的面积． 47．（2022秋•新吴区期中）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）直线与相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 一十九．正多边形和圆（共1小题） 48．（2023秋•南京期中）如图，在正六边形中，点是上任意一点，连接，，则与正六边形的面积之比为 　　． 二十．扇形面积的计算（共1小题） 49．（2023秋•海州区校级期中）如图，为半圆的直径，为的中点，交半圆于点，以为圆心，为半径画弧交于点，若，则图中阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 二十一．算术平均数（共1小题） 50．（2023秋•宿豫区期中）样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 二十二．加权平均数（共1小题） 51．（2023秋•宿豫区期中）某单位要招聘1名英语翻译，甲、乙两人报名参加了听、说、读、写等4项素质测试，甲的成绩分别为：90分、80分、85分、78分；乙的成绩分别为：78分、82分、85分、88分．如果把听、说、读、写的成绩按计算素质测试平均成绩，那么谁会被录用？ 二十三．中位数（共2小题） 52．（2023秋•南京期中）据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是 　　码． 尺码码 35 36 37 38 39 40 41 42 人数 3 4 6 8 7 5 4 3 53．（2023秋•宿豫区期中）某校九年级1班50名学生的年龄情况如下（单位：岁） 年龄 14 15 16 17 人数 3 22 24 1 这个班学生年龄的中位数是 　　岁． 二十四．众数（共1小题） 54．（2023秋•海州区期中）若一组数据3，4，，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 　　． 二十五．方差（共5小题） 55．（2023秋•沭阳县期中）某排球队6名场上队员的身高（单位：是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高 A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 56．（2023秋•宿豫区期中）若样本、、、的方差为2，则样本，，的方差是　　 A．2 B．4 C．7 D．8 57．（2023秋•姑苏区校级期中）一组数据2、3、5、6、的平均数是4，若再添加一个数，则方差 　　．（填“变大”、“变小”或“不变” 58．（2023秋•宿豫区期中）某射击队在一次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表： 射击次序（次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲的成绩（环 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，则表中的　　； （2）甲射击成绩的中位数是多少？ （3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ 59．（2023秋•海州区期中）为了培养学生综合能力，某中学组织学生积极参加丰富多彩的社团活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表： 射击次序（次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）经计算甲的平均成绩是8环，则　　； （2）甲成绩的中位数是 　　环，乙成绩的众数是 　　环； （3）已知甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，并判断甲、乙两名队员谁的成绩更为稳定． 二十六．概率公式（共1小题） 60．（2023秋•姑苏区校级期中）一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后，摸到红桃的机会　　摸到，，的机会（填“，或” 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错60题（26个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共3小题） 1．（2023秋•东海县期中）下列方程为一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：．方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； ．是代数式，不是方程，故本选项不符合题意； ．是关于的一元二次方程，故本选项符合题意； ．方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2．（2023秋•新沂市期中）关于的方程是是一元二次方程，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【解答】解：关于的方程是一元二次方程． ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 3．（2022秋•洪泽区期中）已知是一元二次方程，则　　． 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：由题意，得 且， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键． 二．一元二次方程的一般形式（共2小题） 4．（2022秋•连云港期中）方程的二次项系数为 　2　． 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，，是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【解答】解：方程的二次项系数为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 5．（2023秋•赣榆区期中）将方程改写成的形式，则，，的值分别为　　 A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可． 【解答】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 三．一元二次方程的解（共3小题） 6．（2023秋•沭阳县期中）若关于的方程有一个根是1，则的值为　　 A．3 B．2 C．1 D． 【分析】把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把代入方程中得： ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 7．（2023秋•建湖县期中）若关于的一元二次方程的一个根为0，则值是 　　． 【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意，得 满足关于的一元二次方程， ， 解得，； 又二次项系数，即， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件． 8．（2023秋•常州期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为 　2027　． 【分析】把代入方程中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：把代入方程中得：， ， ， 故答案为：2027． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题） 9．（2023秋•太仓市期中）对于实数，，新定义一种运算“※”，※．若※，则的值为 　　． 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当时， ※， ， ， （舍去），； 当时， ※， ， 解得：（舍去）； 综上所述：的值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，分两种情况讨论是解题的关键． 五．解一元二次方程-配方法（共5小题） 10．（2023秋•泗阳县期中）用配方法解方程，下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 11．（2022秋•太仓市期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 12．（2022秋•邗江区期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是　　 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； 【解答】解：， ， ， ， ， ， 或， ，， 所以，这位同学是乙， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键． 13．（2023秋•梁溪区校级期中）用配方法解方程时，可将方程变化成，则的值是 　13　． 【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， 故答案为：13． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 14．（2023秋•梁溪区校级期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知： （1）可以运算，例如：，则　1　； （2）方程的两根为 　　．（根用表示）． 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 六．解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 15．（2022秋•江阴市期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15　． 【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可． 【解答】解：， ， ，， ，， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，，不符合三角形的三边关系定理， 此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是， 故答案为：15． 【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想． 16．（2023秋•工业园区期中）在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 　4　． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 【分析】（1）利用方程的中点值求解，即可解答； （2）先根据方程的中点值的定义可得，从而可得：，进而可得，然后把代入方程中得：，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 方程的中点值是4， 故答案为：4； （2）由题意得：， 解得：， 方程可化为：， 把代入方程中得：， 即， ， 解得：或． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，一元二次方程的解，理解定义的新运算是解题的关键． 七．根与系数的关系（共1小题） 17．（2023秋•淮安期中）已知方程的两个根是互为相反数，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】由于方程的两个根是互为相反数，设这两根是、，根据根与系数的关系、相反数的定义可知： ，由此得到关于的方程，进而可以求出的值． 【解答】解：方程的两个根是互为相反数， 设这两根是、， 根据根与系数的关系、相反数的定义可知 ， 进而求得， 但当时，原方程为：，方程没有实数根， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及其应用，最后所求的值一定要代入判别式检验． 八．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 18．（2022秋•滨湖区校级期中）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程． 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为， 则二月份生产机器为：， 三月份生产机器为：； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据增长率的一般规律，列出方程；平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 九．一元二次方程的应用（共5小题） 19．（2023秋•丹阳市期中）学校合唱队需购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元件；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元件． （1）当购买12件时，单价为 　76　元件； （2）按此优惠条件，若一次性购买这种服装付了1200元．请问学校购买了多少件这种服装？ 【分析】（1）根据每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，计算购买12件时的单价； （2）设学校购买了件这种服装，根据“单价件数”得一元二次方程，求解即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：76． （2）， 学校购买服装超过10件． 设学校购买了件这种服装， 由题意，得， 整理，得． 解这个方程，得或30． 当时，这种服装的单价为60元，合题意； 当时，这种服装的单价为40元，不合题意，舍去． 答：学校购买了20件这种服装． 【点评】本题考查了一元二次方程，根据题意列出方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 20．（2023秋•惠山区校级期中）某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日销售量为200个，经市场调查表明，每个售价每增加0.5元，日均销售量减少5个． （1）当每个售价为52元时，日均销售量是 　180　个； （2）当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元． 【分析】（1）根据日均销售量为计算可得； （2）根据“总利润每个玩具利润日均销售量”列方程求解可得． 【解答】解：（1）当每个售价为52元时，日均销售量为（个， 故答案为：180； （2）设每个玩具的售价为元， 根据题意可得：， 整理，得：， 解得：，， 答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 21．（2022秋•苏州期中）如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点，，分别在，，上，且，，在，，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当时，小正方形种植花卉所需的费用； （2）试用含有的代数式表示五边形的面积； （3）当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【分析】（1）当时，可分别求出和的面积，再得到五边形的面积，再根据种植成本可得出花卉所需的费用； （2）设米，则米．先求出和的面积，再得到五边形的面积， （3）根据正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）若，则， ，， ． 所需费用为：（元； （2）设米，则米． ，， ， （3）根据题意得， 整理得， 解得． 答：当米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22．（2022秋•梁溪区校级期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个． （1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率． （2）求三月份时该玩具每个的销售价格． 【分析】（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，求解，并保留符合题意的答案即可； （2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降元，根据实际售价乘以降价后的销量等于3月份的销售额，列方程求解，并验证是否符合题意，从而问题可解． 【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为，由题意得： ，（舍去） 月份到3月份销售额的月平均增长率为． （2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降元，由题意得： ， 当时，3月份该玩具的销售价格为：，不合题意，舍去 ，3月份该玩具的销售价格为：元 月份该玩具的销售价格为32元． 【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，明确单价乘以销量等于销售额及平均增长率类型习题的计算方法，是解题的关键． 23．（2023秋•天宁区校级期中）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　800　个台灯，若售价下降元，每月能售出 　　个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个即可求解； （2）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元一次方程即可求解； （3）根据单个利润乘以销售量等于总利润列一元二次方程即可说明． 【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：（个， 若售价下降元，每月能售出个． 故答案为800， （2） 整理，得 解得，， 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当时，（舍去） 当时，，可取， 所以售价为37元 答：每个台灯的售价为37元． （3）月获利不能达到9600元，理由如下： 整理，得 △ 方程无实数根． 答：月获利不能达到9600元． 【点评】本题考查了用一元一次方程和一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系． 一十．配方法的应用（共2小题） 24．（2022秋•工业园区校级期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 　2022　． 【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 当时，的值最大， ， ， 实数的最大值为2022， 故答案为：2022． 【点评】本题考查了偶次方是非负性，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 25．（2023秋•仪征市期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　4　； （2）代数式的最小值为 　　； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 【分析】（1）依据题意，由配方法的意义得，是完全平方式，进而判断可以得解； （2）依据题意，由，再由平方数是非负数进而可以判断得解； （3）依据题意，将与相减，然后判断差的大小，进而可以得解； （4）依据题意，设，从而表示出，然后再表示出四边形的面积，结合的取值范围进而可得围成的生物园的最大面积． 【解答】解：（1）由题意得，是完全平方式． 故答案为：4． （2）由题意，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：． （3）．理由如下： ， ． （4）设， ． ，生物园的面积． 又 ， ， 当时，取得最大值，最大值为32． 答：当时，面积最大为． 【点评】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键． 一十一．垂径定理（共2小题） 26．（2023秋•海州区期中）如图，的半径为13，弦，于点．则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】先利用垂径定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 【解答】解：，， ， 的半径为13， 在中，， ． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 27．（2023秋•海安市期中）如图，是的直径，弦，垂足为．若，，则的半径为 　　． 【分析】连接，设的半径为，运用勾股定理列出，求出即可解决问题． 【解答】解：如图，连接． 设的半径为，则． ， ， 由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 一十二．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 28．（2023秋•梁溪区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【分析】根据等弧、优弧、劣弧的定义以及圆心角、弦、弧之间的关系定理判断即可． 【解答】解：、能够重合的弧是等弧，说法错误，故选项不符合题意； 、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，说法错误，故选项不符合题意； 、优弧一定比劣弧长，说法错误，条件是同圆或等圆中，故选项不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确，故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系以及圆的认识，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系． 一十三．圆周角定理（共8小题） 29．（2023秋•惠山区期中）如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于　　 A． B． C． D．都不对 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【解答】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 30．（2023秋•徐州期中）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 31．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在中，动弦与直径相交于点且总有，则的值　　 A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【分析】作于点，连接，，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简即可． 【解答】解：作于点，连接，． 设半径为， ， ， 的值保持不变． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，正确整理化简是关键． 32．（2023秋•天宁区校级期中）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器　　 A．5台 B．4台 C．3台 D．2台 【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器． 【解答】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：， ， 至少需要3台． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键． 33．（2023秋•淮安区期中）半圆与平面直角坐标系交于点，，点在上运动（不与，重合），连接、，与的平分线交于点，则的最小值为 　　． 【分析】依据题意，首先由题意作图，可得当时，的最小值，根据题意可得，点是的内心，为等腰直角三角形，由此即可求解． 【解答】解：，， ． 根据题意作图如下， ，是，的角平分线，且交于点，过点轴于点，连接， 点是的内接圆，为半径． 在中，为斜边，，为直角边， ． 当点与点重合，即轴时，最小． 如图所示， 当时，在，中， ， ． ，． ． ． 点在的垂直平分线上，即点，，三点共线． 当时，的最小值． 设的半径为， 是的直径，， ，，． ． 平分，平分，且平分线交于点， 点是的内心． 与切于点，即． 设的半径为， ，． ，，则为等腰直角三角形， ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆的基础知识，掌握三角形全等的判定和性质，三角形内心的性质，角平分线的性质，切线的性质是解题的关键． 34．（2022秋•大丰区期中）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若， （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答； （2）利用三角形的外角性质，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）连接， 是的直径， ， ， ， ， 的度数为； （2）是的一个外角， ， 的度数为． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 35．（2022秋•东台市期中）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 【分析】（1）由角平分线的定义可知，，，所以，所以，因为为直径，所以，所以是等腰直角三角形． （2）连接、、，交于点．因为．所以．因为．所以垂直平分．由是等腰直角三角形，，可得．因为．设，则．在和中，，解出的值即可． 【解答】（1）解：为等腰直角三角形． 证明： 平分， 平分， ，． ，， ． ． 为直径， ， 是等腰直角三角形． 另解：计算也可以得证． （2）解：连接、、，交于点 ． ． ． 垂直平分． 是等腰直角三角形，， ． ， ． 设，则． 在和中，， 解得， ． ． 另解：分别延长，相交于点．则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得． 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题关键． 36．（2022秋•工业园区校级期中）如图，是的直径，点在上，．垂足为点．，分别交、于点、． （1）判断的形状．并说明理由； （2）延长交于点，连接，求证：． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据已知易得，从而利用等角的余角相等可得，进而利用等角对等边即可解答； （2）设与交于点，利用垂径定理可得，从而可得，再根据已知和对顶角相等可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答． 【解答】（1）解：是等腰三角形， 理由：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：设与交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 一十四．点与圆的位置关系（共2小题） 37．（2023秋•苏州期中）在同一平面内，已知的半径是5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是　　 A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点与的位置关系进行判断． 【解答】解：的半径为5，， 点到圆心的距离小于圆的半径， 点在内． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内． 38．（2023秋•惠山区期中）已知的半径为4，，则点与的位置关系是　　 A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【解答】解：，故点与的位置关系是点在圆内． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键． 一十五．三角形的外接圆与外心（共2小题） 39．（2023秋•惠山区期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，，，则点是外接圆的圆心， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积的面积的面积 ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 40．（2022秋•溧阳市期中）如图，是的内接三角形，直径，平分交于点，交于点，连接、． （1）若，求的度数； （2）求的长． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用角平分线的定义可得，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：（1）是的直径， ， 平分， ， ， ， 的度数为； （2）是的直径， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 一十六．直线与圆的位置关系（共1小题） 41．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据切线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形，得到，根据勾股定理求出、，根据梯形的面积公式、扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）与相切， 理由：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， 与相切； （2）， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ． 【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算，掌握切线的判定定理、扇形面积公式是解题的关键． 一十七．切线的性质（共3小题） 42．（2023秋•海安市期中）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，先根据切线的性质求出，进而求出，再根据求出，再求出即可． 【解答】解：连接，， ，是的切线，，是切点， ，， ， ， ， 是直径， ， ， 即， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，解题的关键是正确添加辅助线． 43．（2023秋•金坛区期中） 如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是 　　． 【分析】连接，设的半径为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用切线的性质可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：连接， 设的半径为， ，， ， 是的切线，为切点， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 44．（2023秋•玄武区期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过作的切线，与交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】（1）先证明，再由切线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，证明是等边三角形，求出和，，进而用梯形的面积扇形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： ，， ，， ， ， 又是的切线， ， ； （2）解：连接， ，是的中点， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ，， 点是的中点，， ，， 阴影的面积为：． 【点评】本题考查了切线的性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及三角形和扇形面积的计算；熟练掌握切线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 一十八．切线的判定与性质（共3小题） 45．（2023秋•梁溪区校级期中）如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，． （1）求证：是的切线； （2）连接，求的长． 【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，进而求出，延长、相交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长，则可得出答案． 【解答】（1）证明：， ， ，，， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：延长、相交于点， 在中，，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 46．（2023秋•仪征市期中）如图，中，经过、两点，且交于点，连接，． （1）证明与相切； （2）若的半径为6，，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接并延长交于点，连接．由圆周角定理得出，再求出，根据切线的判定定理即可得出是的切线； （2）分别求出等边三角形的面积和扇形的面积，即可求出答案． 【解答】证明：（1）连接并延长交于点，连接． 是的直径， ， ， ，， ， 即， 又点在上，且为的半径， 是的切线； （2）连接， ，， 是边长为6的等边三角形， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出和分别求出扇形和三角形的面积． 47．（2022秋•新吴区期中）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）直线与相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，利用切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平分，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）解法一：设的半径为，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用（1）的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 解法二：设的半径为，先在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后利用平行线分线段成比例可得，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）直线与相切， 理由：连接， 与相切于点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解法一：设的半径为， 在中，， ， ， ， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， ， ； 解法二：设的半径为， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 的长为6． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键． 一十九．正多边形和圆（共1小题） 48．（2023秋•南京期中）如图，在正六边形中，点是上任意一点，连接，，则与正六边形的面积之比为 　　． 【分析】设正多边形的中心为，如图，连接，，，根据，得到，根据得到，而，求出比值即可． 【解答】解：设正多边形的中心为，如图，连接，，， ， ， ， ， ， 与正六边形的面积之比为． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二十．扇形面积的计算（共1小题） 49．（2023秋•海州区校级期中）如图，为半圆的直径，为的中点，交半圆于点，以为圆心，为半径画弧交于点，若，则图中阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形可得，阴影部分的面积，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【解答】解：连接，，， 为半圆的直径， ，又， ， ，即， ，又， ， ， ， ，， 阴影部分的面积． 故选：． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，圆的面积公式是解题的关键． 二十一．算术平均数（共1小题） 50．（2023秋•宿豫区期中）样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平均数的公式计算出的值即可． 【解答】解：数据2、、3、4的平均数是3， ． 故选：． 【点评】本题考查了算术平均数，对于个数，，，，则就叫做这个数的算术平均数． 二十二．加权平均数（共1小题） 51．（2023秋•宿豫区期中）某单位要招聘1名英语翻译，甲、乙两人报名参加了听、说、读、写等4项素质测试，甲的成绩分别为：90分、80分、85分、78分；乙的成绩分别为：78分、82分、85分、88分．如果把听、说、读、写的成绩按计算素质测试平均成绩，那么谁会被录用？ 【分析】根据加权平均数的定义计算可得． 【解答】解：把听、说、读、写的成绩按计算： 甲的平均成绩：（分， 乙的平均成绩：（分， ， 故乙的平均成绩最高，乙会被录用． 【点评】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 二十三．中位数（共2小题） 52．（2023秋•南京期中）据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是 　38　码． 尺码码 35 36 37 38 39 40 41 42 人数 3 4 6 8 7 5 4 3 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【解答】解：一共有40个数据，位置处于中间的数是：38，38，所以中位数是． 故鞋子尺码的中位数是38码． 故答案为：38． 【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 53．（2023秋•宿豫区期中）某校九年级1班50名学生的年龄情况如下（单位：岁） 年龄 14 15 16 17 人数 3 22 24 1 这个班学生年龄的中位数是 　15.5　岁． 【分析】根据中位数的定义解答即可，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：个数据的中位数是第25个和第26个数据的平均数， （岁， 即这个班学生年龄的中位数是15.5岁． 故答案为：15.5． 【点评】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 二十四．众数（共1小题） 54．（2023秋•海州区期中）若一组数据3，4，，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 　4　． 【分析】根据众数的意义求出的值，再根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第3位的数即可． 【解答】解：数据3，4，，6，7的众数是3，因此， 将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查众数、中位数的意义和求法，众数指在一组数据中出现次数最多的数，而中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解众数、中位数的意义是正确解答的前提． 二十五．方差（共5小题） 55．（2023秋•沭阳县期中）某排球队6名场上队员的身高（单位：是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高 A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案． 【解答】解：原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 原方差：， 新方差：， 平均数减小、方差减小， 故选：． 【点评】本题主要考查方差和平均数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 56．（2023秋•宿豫区期中）若样本、、、的方差为2，则样本，，的方差是　　 A．2 B．4 C．7 D．8 【分析】根据方差的定义和求法，求出样本，，的方差是多少即可． 【解答】解：样本，，，的方差是2， 样本，，的方差是：． 故选：． 【点评】本题考查方差，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变． 57．（2023秋•姑苏区校级期中）一组数据2、3、5、6、的平均数是4，若再添加一个数，则方差 　变小　．（填“变大”、“变小”或“不变” 【分析】用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用来表示， 【解答】解：， ， 再填入一个数据后，新数据的平均数还是4， 在新数据的方差计算时，分子不变，分母增加， 方差变小， 故答案为：变小． 【点评】本题考查了方差，熟练运用方差公式计算是解题的关键． 58．（2023秋•宿豫区期中）某射击队在一次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表： 射击次序（次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲的成绩（环 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，则表中的　8　； （2）甲射击成绩的中位数是多少？ （3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？ 【分析】（1）根据平均数的定义列出关于的方程，解之即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）先计算出乙成绩的方差，再根据方差的意义判断即可． 【解答】解：（1）甲和乙的平均成绩都是8环， ， 解得． 故答案为：8； （2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8， 所以甲成绩的中位数是； 即甲射击成绩的中位数是8环； （3）乙成绩的方差为， 甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差， 甲的成绩更为稳定． 【点评】本题考查了方差、中位数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 59．（2023秋•海州区期中）为了培养学生综合能力，某中学组织学生积极参加丰富多彩的社团活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表： 射击次序（次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩（环 8 9 7 9 8 6 7 10 8 乙的成绩（环 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10 （1）经计算甲的平均成绩是8环，则　8　； （2）甲成绩的中位数是 　　环，乙成绩的众数是 　　环； （3）已知甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，并判断甲、乙两名队员谁的成绩更为稳定． 【分析】（1）依据甲的平均成绩是8（环，即可得到的值； （2）依据中位数以及众数的定义进行判断即可； （3）依据方差的计算公式，即可得到乙成绩的方差，根据方差的大小，进而得出甲、乙两人谁的成绩更为稳定． 【解答】解：（1）甲的平均成绩是8（环， ， 解得， 故答案为：8； （2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8， 甲成绩的中位数是； 乙成绩中出现次数最多的为7，故乙成绩的众数是7， 故答案为：8，7； （3）乙成绩的平均成绩：， 乙成绩的方差：， ， 甲成绩的方差小于乙成绩的方差， 甲的成绩更为稳定． 【点评】本题考查了方差、中位数以及众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 二十六．概率公式（共1小题） 60．（2023秋•姑苏区校级期中）一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后，摸到红桃的机会　　摸到，，的机会（填“，或” 【分析】用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答，比较即可． 【解答】解：一副去掉大小王的扑克牌（共52张），洗匀后，摸到红桃的机会为； 因为一副去掉大小王的扑克牌（共52张）共有，，，12张，摸到，，的机会； 摸到红桃的机会大于摸到，，的机会． 【点评】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$