2024-2025学年人教版数学九年级上册期中检测卷-

期中检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•天津月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2+xy＝1 B．5x2﹣3x＝4 C．2x﹣1＝x+2 D． 2．（2024秋•陵川县月考）2024年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动的同学人数为（　　） A．10人 B．11人 C．12人 D．14人 3．（2024•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 4．（2023秋•禹州市期末）某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，一季度共销售23.75万件，已知2、3两个月份销售量的月增长率相同．设2月份销售量的月增长率为x，则可列方程为（　　） A．5（1+x）2＝23.75 B．5+5（1+x）2＝23.75 C．5（1+2x）2＝23.75 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝23.75 5．（2024秋•芜湖月考）下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）x D．y＝2x﹣3 6．（2024秋•吉安月考）抛物线y＝﹣5（x+2）2+6的顶点坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6） 7．（2024•尤溪县二模）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），D（4，a2+c）都在二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象上，若y1＜y2＜y3，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣8或a＞4 B．a＜﹣8或a＞8 C．a＜﹣4或a＞8 D．a＜﹣4或a＞4 8．（2024秋•香坊区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＜0；④a+b＝0．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•芜湖月考）将一元二次方程x2＝2x﹣3化为ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式后的常数项为 　 　． 10．（2024秋•新宁县月考）如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式m2﹣2m+2024的值为 　 　． 11．（2024•乌鲁木齐模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 12．（2024春•上虞区期末）如图，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为144m2，若设通道的宽为x m．请补全关于x的方程：（40﹣2x）（ 　 　）＝144×6． 13．（2024秋•扎兰屯市期中）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），与y轴交点为（0，5），则抛物线的解析式为 　 　． 14．（2023秋•凤山县期末）如图是某种型号的飞机，飞机着陆后滑行的距离s（单位：m），关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是s＝100t﹣2.5t2，则此型号飞机着陆后滑行 　 　m停下来． 15．（2024秋•芜湖月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣3，点A（﹣2，1），B（2，3）． （1）函数y的最小值为 　 　． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，则k的取值范围为 　 　． 16．（2024秋•工业园区校级月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2024，﹣2024）都是“黎点”．若抛物线y＝ax2﹣9x+c（a，c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，c的取值范围是 　 　． 三．解答题（共8小题） 17．（2024秋•陵川县月考）选择适当的方法解下列方程： （1）2（1﹣x）2＝4； （2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0． 18．（2024•顺义区二模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 19．（2024•黄山一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为 　 　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 20．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒． （1）在运动过程中，PQ的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； （2）在运动过程中，△PDQ能否为8cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 21．（2024秋•丰都县校级月考）求下列各抛物线的解析式： （1）已知一条抛物线的顶点在y轴上，且经过（1，﹣2），（2，3）两点； （2）已知抛物线y＝ax2+c与x轴交于两点（2，0），（﹣2，0），与y轴交于点（0，2）． 22．（2024秋•芜湖月考）已知某二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，4），且图象经过点（0，﹣5）． （1）求该二次函数的解析式． （2）该二次函数与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． ①若点P是二次函数图象对称轴上一点，且PB+PC的值最小，求点P的坐标． ②若在直线AC上方的抛物线上有一点M，使得△MAC的面积最大，求点M的坐标． 23．（2024秋•洛龙区校级月考）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为（4，3.6），落在x轴上的点C处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 24．（2024秋•义乌市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连接OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动． （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式； （3）当线段PB最短时，二次函数的图象能否过点Q（a，a﹣1）？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 期中检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•天津月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2+xy＝1 B．5x2﹣3x＝4 C．2x﹣1＝x+2 D． 【解答】解：A．∵方程x2+2y＝1含有两个未知数， ∴方程x2+2y＝1不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．方程5x2﹣3x＝4是一元二次方程，选项B符合题意； C．∵方程2x﹣1＝x+2未知数的最高次数是1， ∴方程2x﹣1＝x+2不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．∵方程+x2＝3不是整式方程， ∴方程+x2＝3不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：B． 2．（2024秋•陵川县月考）2024年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动的同学人数为（　　） A．10人 B．11人 C．12人 D．14人 【解答】解：设参加此次活动的同学人数为x人，则没人需送出（x﹣1）份礼物， 依题意得，x（x﹣1）＝132， 解得，x＝12或x＝﹣11（舍去）， 故选：C． 3．（2024•绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 【解答】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题知， ，， 所以b＝﹣7a，c＝10a， 所以原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0， 则x2﹣7x+10＝0． 故选：B． 4．（2023秋•禹州市期末）某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，一季度共销售23.75万件，已知2、3两个月份销售量的月增长率相同．设2月份销售量的月增长率为x，则可列方程为（　　） A．5（1+x）2＝23.75 B．5+5（1+x）2＝23.75 C．5（1+2x）2＝23.75 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝23.75 【解答】解：∵1月份销售量为5万件，2、3两个月份销售量的月增长率为x， ∴2月份销售量为5（1+x）万件，3月份销售量为5（1+x）2万件． 根据题意得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝23.75． 故选：D． 5．（2024秋•芜湖月考）下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）x D．y＝2x﹣3 【解答】解：y＝3x2+中是分式，则A不符合题意； 当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，则B不符合题意； y＝（x+1）x＝x2+x，它是二次函数，则C符合题意； y＝2x﹣3是一次函数，则D不符合题意； 故选：C． 6．（2024秋•吉安月考）抛物线y＝﹣5（x+2）2+6的顶点坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（﹣2，﹣6） 【解答】解：抛物线y＝﹣5（x+2）2+6的顶点坐标是（﹣2，6）， 故选：B． 7．（2024•尤溪县二模）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），D（4，a2+c）都在二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象上，若y1＜y2＜y3，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣8或a＞4 B．a＜﹣8或a＞8 C．a＜﹣4或a＞8 D．a＜﹣4或a＞4 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c过点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），D（4，a2+c）， ∴y1＝a+b+c，y2＝4a+2b+c，y3＝9a+3b+c，a2+c＝16a+4b+c， ∴a2＝16a+4b，即有， ∵y1＜y2＜y3， ∴a+b+c＜4a+2b+c＜9a+3b+c， ∴， 当a＞0时，b＞﹣3a， ∴，解得：a＞4， 当a＜0时，b＞﹣5a， ∴，解得：a＜﹣4， 综上可知：a的取值范围是a＜﹣4或a＞4， 故选：D． 8．（2024秋•香坊区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＜0；④a+b＝0．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：根据函数图象可知，a＜0，c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴b＝﹣a＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴x＝0和x＝1对应的函数值相等， ∴x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以③错误； ∵b＝﹣a， ∴a+b＝0，所以④正确； 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•芜湖月考）将一元二次方程x2＝2x﹣3化为ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式后的常数项为 　3　． 【解答】解：将原方程化为一般形式为x2﹣2x+3＝0， ∴常数项为3． 故答案为：3． 10．（2024秋•新宁县月考）如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式m2﹣2m+2024的值为 　2030　． 【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣2x﹣6＝0中得： ∴m2﹣2m﹣6＝0， ∴m2﹣2m＝6， ∴m2﹣2m+2024＝6+2024＝2030， ∴代数式m2﹣2m+2024的值为230， 故答案为：2030． 11．（2024•乌鲁木齐模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k＞﹣且k≠0　． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0， 解得k＞﹣且k≠0． 即实数k的取值范围是k＞﹣且k≠0． 故答案为：k＞﹣且k≠0． 12．（2024春•上虞区期末）如图，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为144m2，若设通道的宽为x m．请补全关于x的方程：（40﹣2x）（ 　26﹣x　）＝144×6． 【解答】解：设通道的宽度为x m， 那么草坪的总长度和总宽度应该为（40﹣2x）m，（26﹣x）m； 根据题意即可得出方程为：（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6， 故答案为：26﹣x． 13．（2024秋•扎兰屯市期中）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），与y轴交点为（0，5），则抛物线的解析式为 　y＝8（x+1）2﹣3　． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣3（a≠0）， 将（0，5）代入y＝a（x+1）2﹣3得：5＝a（0+1）2﹣3， 解得：a＝8， ∴抛物线的解析式为y＝8（x+1）2﹣3． 故答案为：y＝8（x+1）2﹣3． 14．（2023秋•凤山县期末）如图是某种型号的飞机，飞机着陆后滑行的距离s（单位：m），关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是s＝100t﹣2.5t2，则此型号飞机着陆后滑行 　1000　m停下来． 【解答】解：∵s＝100t﹣2.5t2 ＝﹣2.5（t﹣20）2+1000， ∴当t＝20时，s取得最大值，即当t＝20时，滑行的距离达到最大值1000m停下来， 故答案为：1000． 15．（2024秋•芜湖月考）已知二次函数y＝2x2+4x﹣3，点A（﹣2，1），B（2，3）． （1）函数y的最小值为 　﹣5　． （2）若将二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点，则k的取值范围为 　4≤k＜　． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝2x2+4x﹣3＝2（x+1）2﹣5， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为﹣5． 故答案为：﹣5． （2）由（1）可得，二次函数为y＝2（x+1）2﹣5， 又∵二次函数沿y轴方向平移|k|个单位长度， ∴平移后二次函数为y＝2（x+1）2﹣5+k． 又∵A（﹣2，1），B（2，3）， ∴直线AB为y＝x+2． 又∵平移后与线段AB有两个交点， ∴结合图象可得，当过A时有两个交点，当与AB相切时仅有一个． 联列方程组， ∴x+2＝2（x+1）2﹣5+k． ∴Δ＝49﹣16（﹣10+2k）＝0． ∴k＝． 又过A（﹣2，1）时，则1＝2（﹣2+1）2﹣5+k， ∴k＝4． 又∵二次函数沿y轴方向平移k个单位长度后与线段AB有两个交点， ∴4≤k＜． 16．（2024秋•工业园区校级月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2024，﹣2024）都是“黎点”．若抛物线y＝ax2﹣9x+c（a，c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，c的取值范围是 　0＜c＜16　． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣9x+c上有且只有一个“黎点”， ∴方程ax2﹣9x+c＝﹣x（a≠0）有且只有一个解， 方程整理可得ax2﹣8x+c＝0， 即有Δ＝64﹣4ac＝0， 解得ac＝16， ∴， ∵a＞1， ∴0＜c＜16． 故答案为：0＜c＜16． 三．解答题（共8小题） 17．（2024秋•陵川县月考）选择适当的方法解下列方程： （1）2（1﹣x）2＝4； （2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0． 【解答】解：（1）（1﹣x）2＝2， ， 解得，； （2）（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣1+2x＝0， 解得x1＝1，． 18．（2024•顺义区二模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝k，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4×4＝k2+16， ∵k2≥0， ∴Δ＝k2+16＞0， ∴方程总有两个不相等实数根； （2）解：将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0， 解得k＝3， 原方程为x2+3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4 所以方程的另一个根是﹣4． 19．（2024•黄山一模）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为 　（100+10x）　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【解答】解：（1）由题意可知，每天的销售量为（100+10x）本． 故答案为：（100+10x）． （2）由题意可得， （60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240， 整理得x2﹣10x+24＝0， 解得x1＝4，x2＝6， ∵要求每本售价不低于55元， ∴x＝4符合题意． 故每本画册应降价4元． 20．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒． （1）在运动过程中，PQ的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； （2）在运动过程中，△PDQ能否为8cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒， ∴AP＝t cm，BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△BPQ中，BP2+BQ2＝PQ2， ∴， 解得：（舍去）或t＝3； （2）设运动x秒钟后△DPQ的面积为8cm2， ∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止， ∴AP＝x cm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，CQ＝（12﹣2x）cm， S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ ＝AB•BC﹣AD•AP﹣CD•CQ﹣BP•BQ ＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）•2x ＝x2﹣6x+36 ＝8， 即x2﹣6x+36＝8， ∴x2﹣6x+28＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×28＜0， ∴方程无实数根， ∴△PDQ的面积不能为8cm2． 21．（2024秋•丰都县校级月考）求下列各抛物线的解析式： （1）已知一条抛物线的顶点在y轴上，且经过（1，﹣2），（2，3）两点； （2）已知抛物线y＝ax2+c与x轴交于两点（2，0），（﹣2，0），与y轴交于点（0，2）． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点在y轴上， ∴设抛物线的解析式为y＝ax2+k，把（1，﹣2），（2，3）代入得： ， 解得， ∴； （2）已知抛物线y＝ax2+c与x轴交于两点（2，0），（﹣2，0），与y轴交于点（0，2），把（2，0）、（0，2）代入得： ， 解得：， ∴． 22．（2024秋•芜湖月考）已知某二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，4），且图象经过点（0，﹣5）． （1）求该二次函数的解析式． （2）该二次函数与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C． ①若点P是二次函数图象对称轴上一点，且PB+PC的值最小，求点P的坐标． ②若在直线AC上方的抛物线上有一点M，使得△MAC的面积最大，求点M的坐标． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+3）2+4， 将点C的坐标代入上式得：﹣5＝a（0+3）2+4， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5； （2）①点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接AC交抛物线的对称轴于点P， 则此时PB+PC的值最小， 理由：PB+PC＝PA+PC＝AC为最小， 由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为：（﹣5，0）、（﹣1，0）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣5， 当x＝﹣3时，y＝﹣2，即点P（﹣3，﹣2）； ②过点M作MH∥y轴交AC于点H， 设点M（x，﹣x2﹣6x﹣5），则点H（x，﹣x﹣5），则MH＝﹣x2﹣5x， 则△MAC的面积＝MH×OA＝5（﹣x2﹣5x）＝﹣（x+）2+≤， 当x＝﹣时，等号成立，即取得最大值， 此时点M（﹣，）． 23．（2024秋•洛龙区校级月考）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为（4，3.6），落在x轴上的点C处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6，把点A（0，2）代入得， a（0﹣4）2+3.6＝2， ∴， ∴； （2）由（1）可得：， 令y＝0，则， ∴x1＝﹣2，x2＝10， ∵点C在x轴的正半轴上， ∴小强掷的距离为10米， ∵9.6＜10＜11.2， ∴小强在这次训练中的成绩为90分； （3）小朋友有危险，理由如下， 当x＝9时，， ∵1.1＜1.2， ∴小朋友有危险． 24．（2024秋•义乌市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连接OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动． （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式； （3）当线段PB最短时，二次函数的图象能否过点Q（a，a﹣1）？若能，求出a的值；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），设线段OA所在直线的函数解析式为y＝kx，将点A的坐标代入得： 4＝2k， 解得k＝2， ∴线段OA所在直线的函数解析式为y＝2x； （2）二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动， ∴y＝2m（0≤m≤2）， ∴M（m，2m）， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m， ∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2）， ∴PB＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3（0≤m≤2）， ∴当m＝1时，PB最短， 当PB最短时，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3； （3）当线段PB最短时，二次函数的图象不能过点Q（a，a﹣1）；理由如下： 假设二次函数的图象经过点Q（a，a﹣1）， 则方程a﹣1＝a2﹣2a+3有解， 即方程a2﹣3a+4＝0有解， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0， ∴方程a2﹣3a+4＝0没有实数根， ∴假设不成立，二次函数的图象不过点Q（a，a﹣1）． 第1页（共1页） 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