精品解析：四川省成都市简阳市成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

成都石室阳安学校2024-2025学年度上期高2023级半期考试 数学 出题人：谭锦 做题人：游雪 审题人：任燕 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设点在平面上的射影为，则等于（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，从而求出，计算出模长. 【详解】点在平面上的射影为，， 故， 故选：D 2. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解. 【详解】， 又该组数据的分位数为22， 则，解得. 故选：C 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 4. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 5. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义，将得到的点数从小到大排列，讨论不同情况，即可求解. 【详解】由题意，这8个点数的中位数为4.5，只有三种情况： ①将抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为； ②抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为； ③抛掷8次，得到的点数从小到大分别为， 此时中位数为或； 综上，x的点数只能为5，或者6，故概率为， 故选：D. 6. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本平均数与方差公式直接计算可得解. 【详解】不妨设记录错误的两个数据分别为，， 改正后的数据为，， 由已知可得， 则， 所以改正后的平均数， 又， 则， 所以改正后的方差， 故选：A. 7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 8. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角为 C. 直线与平面所成角为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可得，A选项，利用线面平行的判定定理即可证明；B选项，异面直线与所成角即为直线与与所成角；C选项直线与平面所成角即直线与平面所成角；D选项，由线面垂直的性质可以得证. 【详解】如图，连接， 在正方形中，为的中点，则，即也为的中点， 在中，分别为的中点，有， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 由题可知，异面直线与所成角即为直线与与所成角， 即，为，故B错误 直线与平面所成角即直线与平面所成角， 由平面，可知直线与平面所成角为，故C正确； 正方体中，平面，平面，则有， 由，得，故D正确；， 故选：B. 二､多项选择题（每空6分，共18分） 9. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ） A. 8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高 B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数 C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差 D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案. 【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误； 由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确； 1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确； 由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确． 故选：BCD. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是 C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。 【详解】对于A, 不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确； 对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误； 对于C，由可得，即, 所以A，B，C三点共线，故正确； 对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确. 故选：ACD 11. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A对； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若A与B互斥，则，故C错； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对． 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，点的直线的一个方向向量是______. 【答案】(时，均可) 【解析】 【分析】求出向量符合题意，所有与共线的非零向量均可. 【详解】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 13. 某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆. 【答案】53 【解析】 【分析】根据中位数和平均数公式，结合题意，即可求解. 【详解】设2020年的销量为，2021年的销量为，， 由题意可知，中位数为，平均数为， 由，得， 所以这四年的总销量为万量. 故答案为：53 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值. 【详解】，由于，所以， 问题等价于当且仅当时取到最小值， . 则，解得，，. 故答案为：2；. 【点睛】方法点睛：涉及向量的模，通常用到求解. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. （3）求取出的鞋不成双的概率. 【答案】（1）见解析 （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）通过列举法写出试验的样本空间； （2）（3）结合（1）所求的样本空间，利用古典概型的概率公式逐一求解即可． 【小问1详解】 该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,； 【小问2详解】 记：“取出的鞋都是一只脚的” ,，,，,，,，,，,， ， ； 记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， , , ,，,，,，,， ， ， 【小问3详解】 记“取出的鞋不成双”， 由（1）得， ，,，,，， ， ； 16. 2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数； （2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计众数和中位数. （2）根据分层抽样的方法，确定样本中人员的构成，再列出人选2人的所有可能，利用古典概型的公式求相应的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 故中位数位于之间，中位数是 【小问2详解】 ∵与的党员人数的比值为， 采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人， 设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，， 则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为： ，，，，，，，，，，共10个样本点， 这2人中至少有1人成绩低于76分的有： ，，，，，，，共7个样本点， 故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 17. 在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用空间向量法求出，从而求出，再由点到直线的距离计算可得； （2）利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为为矩形，所以， 又因为平面平面，所以， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以， 则有， 所以， 所以点到直线的距离． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以异面直线所成角的余弦值． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） 连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【答案】（1） （2） 由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程； （2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系； （3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室阳安学校2024-2025学年度上期高2023级半期考试 数学 出题人：谭锦 做题人：游雪 审题人：任燕 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设点在平面上的射影为，则等于（ ） A. B. 5 C. D. 2. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 3. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角为 C. 直线与平面所成角为 D. 二､多项选择题（每空6分，共18分） 9. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ） A. 8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高 B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数 C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差 D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是 C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则 11. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，点的直线的一个方向向量是______. 13. 某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆. 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间； （2）求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. （3）求取出的鞋不成双的概率. 16. 2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数； （2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率. 17. 在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线所成角的余弦值． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $