专题01二次函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）
|
2份
|
142页
|
681人阅读
|
15人下载
内容正文：
专题01二次函数拓展之几何篇思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数中的全等三角形
【解惑】如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式及点D坐标；
(2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标；
(3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标．
类型二、二次函数中的等腰三角形
【解惑】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知．
(1)求点坐标．
(2)若为抛物线对称轴上一点，求使值最小时的点的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b的值；
(2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标；
(3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由；
2．已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求抛物线的解析式．
(2)M是抛物线对称轴上的一点，连接，求的最小值．
(3)若为x轴正半轴上一动点，过点E作直线轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接，
①当E在线段上运动，当线段的长度最大时，请求出点P的坐标；
②当E在线段上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形
【解惑】如图，已知抛物线与直线相交于．
(1)抛物线及直线的函数关系式；
(2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值；
(3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______．
【融会贯通】
1．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______．
3．将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线，的表达式．
(2)如图①，点A在抛物线（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标．
(3)如图②，直线 (，k为常数)与抛物线交于E，F 两点，M为线段的中点；直线与抛物线交于G，H两点，N为线段的中点．求证：直线经过一个定点．
类型四、二次函数中的直角三角形
【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标．
【融会贯通】
1．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为．
(1)点B坐标为（______，______）
(2)求二次函数的解析式；
(3)求四边形BDEC的面积S；
(4)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；
(3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
类型五、二次函数中的平行四边形
【解惑】如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求，，三点的坐标；
(2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
(3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
【融会贯通】
·1．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)直接写抛物线的解析式和对称轴；
(2)将直线向上平移，得到过原点O的直线是直线上任意一点．在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值；
(3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型六、二次函数中的菱形
【解惑】如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标．
【融会贯通】
1．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，抛物线的顶点A坐标为），连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
类型七、二次函数中的矩形
【解惑】如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）．
(1)求线段的长；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小；
(3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围；
(4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标．
3．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标．
类型八、二次函数中的正方形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)当四边形为正方形时，求线段的长．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于两点，点C是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，过点P 作y 轴的平行线与直线交于点 Q，过点Q 作轴，点 M 在点 Q 的右侧，且，以， 为邻边作矩形．设矩形的周长为d，点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)当 时，求d与m之间的函数表达式．
(3)当矩形 是正方形时，求m的值．
(4)直接写出矩形 的边与抛物线有两个交点时 m 的取值范围．
2．综合与探究
如图，抛物线经过点与点，点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交于另一点E，与直线交于点C．再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条平行线交于点D．点F的横坐标为m，且．
(1)求出抛物线与直线的函数关系表达式；
(2)当四边形是正方形时，求出点F的坐标；
(3)在满足（2）的条件下，在直线上取一点，连接．将线段以点P为中心，顺时针方向旋转，点F的对应点为Q．当点Q正好落在抛物线上时，直接写出这时点P的坐标．
3．如图， 抛物线交x轴于点A、B两点，与y轴交于点，其顶点为点D．
(1)求a的值和顶点 D 的坐标；
(2)在x轴上有一动点，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是、，请判断以C、D、、为顶点的四边形可能是正方形吗？ 若存在，求出对应的点M的坐标； 若不存在，请说明理由；
(3)若N是直线 上的一动点，把绕点N旋转 ，原点O的对应点为，若点 恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标．
类型九、二次函数中的圆
【解惑】如图，已知抛物线的顶点是，且与轴交于、两点，交轴于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)①当的取值范围满足条件 时，；
②若，是抛物线上两点，且，求实数的取值范围；
(3)直线平行于轴，分别交线段于点、交抛物线于点，求线段的长度的最大值；
(4)若以抛物线上的点为圆心作圆与轴相切时，正好也与轴相切，求点的坐标．
【融会贯通】
1．如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
2．如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积．
类型十、二次函数中的等角与倍角
【解惑】已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点．
(1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标；
(2)平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【融会贯通】
1．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．
(1)求二次函数的表达式及点的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标．
3．如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C，点M，N均在抛物线上，设点M的横坐标为m，点N的横坐标为，连接，连接，分别与y轴交于点S，T，且，求的值．
6
学科网（北京）股份有限公司
$$
专题01二次函数拓展之几何篇思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数中的全等三角形
【解惑】如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或，点的坐标为或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等：
（1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解；
（2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的表达式为：；
（2）解：在中，当 时，，
∴，
当时，即，解得：，
俗，
，
设，则，
∵和全等，且，
∴，
，
或．
①当 时，点位于直线的右侧，
此时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴对应点的坐标为或．
②当 时，点位于直线的左侧，
此时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴对应点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
令，即，解得，，
∴，，
∵，
∴；
（2）存在，
∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴，
∴，
∵，
∴，，
设点，
∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
∴，
∴，
∵以点D，E，F为顶点的三角形与△APH全等，
∴当时，，
∴，解得，（舍），
∴；
当时，，
∴，解得，（舍），
∴，
综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等
【分析】（1）令代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案；
（2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出，，设点，根据得到，从而得到，最后根据三角形全等分类讨论列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
令，即，解得，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴，
∴，
∵，
∴，，
设点，
∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
∴，
∴，
∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等，
∴当时，，
∴，解得，（舍），
∴；
当时，，
∴，解得，（舍），
∴，
综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等.
3．如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式及点D坐标；
(2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标；
(3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可；
（2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可．
（3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：如图1，设对称轴与轴交于点，
平分，
，
又，
，
，
．
由（1）可知对称轴为直线，则
在中，，．
，
；．
①当时，直线解析式为：，
联立得．
解得：，，
点在对称轴右侧的抛物线上运动，
，
②当时，直线解析式为：，
同理可求：，
综上所述：点的坐标为：或；
（3）解：由题意可知：，，，
，
，
，
直线经过，，
直线解析式为，
抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，
坐标为；
，
设点坐标为，则，，
，
∴与全等，有两种情况，
当，，即时，
，
解得：，，
即点坐标为或．
当，，即时，
，
解得：，，
即点坐标为或．
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
类型二、二次函数中的等腰三角形
【解惑】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知．
(1)求点坐标．
(2)若为抛物线对称轴上一点，求使值最小时的点的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或，理由见详解．
【分析】（1）把点代入解析式可求出的值，得到解析式，对称轴，再点与对称轴的关系即可求解；
（2）已知二次函数解析式为，对称轴为，点关于对称轴的对称点为点，则，点三点共线时，的值最小，运用待定系数法可求出直线的解析式，把点的横坐标代入计算即可求解；
（3）在中，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的定义分类讨论：当时；当时；当时，过点作于点，可得；由此即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：已知二次函数解析式为，对称轴为，点关于对称轴的对称点为点，如图所示，
∴，则，
当点三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点为抛物线对称轴上一点，则点的横坐标为，
∴当时，在直线中，，
∴；
（3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下，
如图所示，点在对称轴的直线上，则，
∴，且，
∴，
当时，是等腰三角形，则；
当时，是等腰三角形，则；
当时，是等腰三角形，过点作于点，
∴，则，
∴；
综上所述，是等腰三角形时，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，最短路径，二次函数与特殊三角形，等腰三角形的定义及性质等知识的综合，掌握二次函数图象与特殊三角形的性质是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b的值；
(2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标；
(3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由；
【答案】(1)，；
(2)，，，，；
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）将函数解析式化为顶点式，得到对称轴，分三种情况：当时， 当时，当时，分别求出点M的坐标；
（3）当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，证明，有，设，可得，即知，求出直线解析式为，令，求出点P的横坐标；当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，同理可得点P的横坐标为．
【详解】（1）解：将，代入，得
，
解得；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
设，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴当时，，即，解得，
∴点M坐标为或；
当时，，即，
解得，
∴点M坐标为；
当时，，即，
解得，
∴点M坐标为，，
综上，点M的坐标为，，，，；
（3）解：存在点P使，理由如下：
当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∵，
∴，
解得
∴，
设直线解析式为，
把代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
当时，
解得；
∴点P的横坐标为；
当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，如图：
同理可得，
∴，
设，
∴，
解得，
∴
设直线的解析式为，
将代入，得
．
解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得，
∴点P的横坐标为
综上，点P的横坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，二次函数的图象和性质，二次函数的交点问题，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或或
(3)存在，或或或
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识，综合性强，有难度．
（1）由，，求出点C坐标，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）设，则，根据，可得，解方程即可；
（3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵，，
∴，
∴由图可得，
把，代入可得
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令可得，
解得
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴或，
解得或或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，与重合不合题意，
∴或或；
（3）解：∵点E是x轴上一个动点，
∴设，
∵，，
∴，，，
∵以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形，
∴当时，，则，解得，此时或；
当时，，则，解得，此时（时与重合，舍去）；
当时，，则，解得，此时；
综上所述，存在使以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形，或或或．
3．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求抛物线的解析式．
(2)M是抛物线对称轴上的一点，连接，求的最小值．
(3)若为x轴正半轴上一动点，过点E作直线轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接，
①当E在线段上运动，当线段的长度最大时，请求出点P的坐标；
②当E在线段上运动，若是等腰三角形时，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)①②点E的坐标为或或
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）由对称性可得，可得当A，M，B三点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解；
（3）①设点，则点，进而可得，由二次函数的性质解答即可；②分两种情况讨论，由两点距离公式和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴，
∴
∴直线解析式为：
当时，
∴点
∵抛物线经过点
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点M是抛物线对称轴上的一点，
∴，
∴，
∴当A，M，B三点共线时，有最小值为，
∴，
的最小值为；
（3）解：①∵轴，
∴
∴
设点，点，则点，
∴，
当时，最大，
∴ ；
②由①得，，，
当时，则，
解得：或0（舍去）；
当时，则，
解得：解得： (舍去)或；
当时，则，
解得：或3（舍去3），
故或或2，
综上所述：点E的坐标为或或
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形
【解惑】如图，已知抛物线与直线相交于．
(1)抛物线及直线的函数关系式；
(2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值；
(3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______．
【答案】(1)抛物线为，直线为
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分当时，当时，两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线过点及得，
解得，
故抛物线为；
又设直线为过点及，
则，
解得，
故直线为；
（2）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，
设，则，
，
又，
∴面积的最大值为；
（3）解：设，则，
当时，
如图，则，
解得：或（舍去），
故点的坐标为；
当时，
如图，则，
，
则，
解得：（舍去）或，
故点的坐标为；
故若是等腰直角三角形，则点的坐标为或．
【点睛】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【融会贯通】
1．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)或
(4)的值是或
【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答；
（2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积；
（3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可；
（4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答．
【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵点是抛物线上的动点，，
∴，
∴，
设的解析式为：，与轴交于点，
把和代入得：，
∴，
∴的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
∴的面积；
（3）解：如图1，当点位于直线下方时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可求得的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴；
当点位于直线上方时，作轴于，于，
则，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时，即．
综上，或．
（4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
由题意得：，
∵，
∴抛物线对称轴是直线，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（如图3），；
如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
同理可得：，
∴，
∴，
解得：，，
综上，的值是或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
2．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或或
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）分为当以为平行四边形的边时和当以为平行四边形的边时以及当以为对角线时，三种情况分别求解即可；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将点，点，点代入，
，
解得，
；
（2）解：存在，
由（1）可得出，抛物线解析式为，对称轴为直线，
设，，
当以为平行四边形的边时，如图，
∵点，
则，
解得，
故；
当以为平行四边形的边长时，如图，
∵点，，
则，
解得，
故；
当以为对角线时，如图4，
，，
∴线段的中点的坐标为，即，
则，
解得，
故．
综上所述，点的坐标为或或．
（3）解：存在，
（1）当时，，
∴点与点重合，
；
（2）当时，，
如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，解得或．
或，
∵点在对称轴的左侧，
∴点坐标为．
如图2，当点在点下方时，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，解得（舍）或，
，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解．
3．将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线．
(1)直接写出抛物线，的表达式．
(2)如图①，点A在抛物线（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标．
(3)如图②，直线 (，k为常数)与抛物线交于E，F 两点，M为线段的中点；直线与抛物线交于G，H两点，N为线段的中点．求证：直线经过一个定点．
【答案】(1)；
(2)或
(3)直线经过一个定点
【分析】（1）根据图象平移时遵循“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
（2）分别过点作轴于点，过点作于点，通过得出，分点A在x轴上方与下方两种情况，通过构造方程求解即可．
（3）分别求出两直线与抛物线的交点，再利用一元二次方程根与系数的关系表示出两中点M，N坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，最后求出时的值，从而得到直线经过一个定点．
【详解】（1）解：抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，
，
抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，
，
即，
（2）解：当点在轴上方时，过点作轴于点，过点作于点，如图所示：
设点坐标为，
点坐标为，
的对称轴，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，，或，
点在第一象限，
∴，
．
当点在轴下方时，同理可求点，
综上所述：点坐标为或．
（3）解：把代入中得，，
，
，
将代入，中得，
，
，
设的解析式为，则
，
解得，，
直线的解析式为：，
当时，，
直线经过定点，
即直线经过一个定点．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数图象的平移，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，求函数图象的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识；在第一问中解题关键在于掌握图象平移规律，第二问中解题的关键在于利用三角形全等构造等量关系，建立方程求解．第三问中解题关键在于利用一元二次方程根与系数的关系表示出中点坐标．
类型四、二次函数中的直角三角形
【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到距离的最大，求出此时P到距离的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)P到的最大距离为，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由图可知，不可能是直角，分当和是斜边，根据勾股定理列出等式即可求解；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
设抛物线的表达式为：，
又，
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：存在，理由：
由抛物线的表达式可知，点，
设点，
则，，
当是斜边时，
则，
解得：或4，
即点或（舍去），
当是斜边时，
同理可得：，
解得：，
即点，
综上，点或；
（3）解：如图，过点P作轴交于点H
设直线的表达式为：，
，，
，解得：
则直线的表达式为：，
，
故当时，的最大值为8，此时，点，此时P到距离,最大，设P到距离为h，
，，
∴，
∴，
∴，即P到的最大距离为．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，求解二次函数解析式，勾股定理，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为．
(1)点B坐标为（______，______）
(2)求二次函数的解析式；
(3)求四边形BDEC的面积S；
(4)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)0；1
(2)
(3)4.5
(4)的坐标为或或或
【分析】（1）把代入，求出y值即可求解；
（2）根据，，用待定系数法可得二次函数的解析式；
（3）求出，，，，可得，，从而由四边形的面积求解；
（4）设，有，，，分三种情况由勾股定理列方程可得答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令，则，
∴，
故答案为，0；1．
（2）解：把，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
（3）解：如图：
在中，令得，
解得或，
，，
在中，令得，
，
∴，，
由解得或，
，
，，
四边形的面积，
四边形的面积为4.5．
（4）解：设，
，，
，，，
当为直角顶点时，，
，
解得或，
或；
当为直角顶点时，，
，
解得，
，
当为直角顶点时，，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题属二次函数与一次函数综合，考查待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数与坐标轴交点问题，三角形和四边形面积，勾股定理等知识，解题的关键是有含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度，分类讨论．
2．如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或；
【分析】（1）先求出、两点坐标，再设交点式，将点坐标代入求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得出，根据得到关于的二次函数，再配方求最值即可；
（3）分两种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点坐标，进而得到一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：点的坐标是，
，
，
，，
，，
抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
与轴交于点，
，
解得：，
，
即抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
点是抛物线上之间的动点，
设，
轴，交直线于点，
，
，
，
，
当时，有最大值为8，
，
即当的面积最大时，求出点的坐标为；
（3）解：存在，理由如下：
①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，，
，
，
解得：，（舍），
当时，，
；
②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
是等腰直角三角形，
，
设，
，，
，
，
解得：，（舍），
当时，，
，
综上可知，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
3．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；
(3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，和
【分析】（1）先由直线的解析式求出它与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，再根据，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设点P坐标为，先求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于n的方程，求出n值，得出P点坐标；②若，同①可求出对应的P点坐标，进而得出结果．
【详解】（1）解：与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，得，即点A的坐标为，
令，得，即点B的坐标为，
将，代入，
得，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，设第三象限内的点F的坐标为，
则，，
，
对称轴为直线，顶点D的坐标为，
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，则，，
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为，
，
以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，，
解得：，（舍去），
当时，
，
点F的坐标为；
（3）解：设点P坐标为，
，，
，
分两种情况:
①如图2，若，则，
即，
解得，
点P的坐标为；
②如图3，若，则，
即，
，
点P的坐标为；
综上所述，P点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的面积问题，二次函数与直角三角形问题,运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键．
类型五、二次函数中的平行四边形
【解惑】如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求，，三点的坐标；
(2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
(3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)点的坐标是，，
(3)，，，，
【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合题，涉及求函数与坐标轴的交点问题，与三角形的面积有关问题，平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）分别令，求出一元二次方程的根，即可求出点坐标，再令即可求出点坐标；
（2）设，根据的面积是的面积的倍得到方程，求出y，再代入函数解析式解出x即可求出坐标；
（3）分类讨论：设，，而，①当为对角线时，则；②当为对角线时，则；③当为对角线时，则，分别求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得：或，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：设，，
∵的面积是的面积的倍
∴，
解得：，
∴，
∴或，
解得：或，
所以点P的坐标为：，，；
（3）解：设，，而，
①当为对角线时，
，
解得：（舍）或，或（舍）或
∴或
②当为对角线时，
，
解得：或或（舍）或
∴或或
③当为对角线时，
无实数根，故不成立；
综上所述，点N的坐标为，，，，．
【融会贯通】
·1．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点E的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则，，
将，代入抛物线解析式可得：
，
解得，
即；
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，∴当时，有最小值，最小值为3；
此时点E的坐标为；
（3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即，
当为边时，点到点的水平距离是4，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是5或，
代入抛物线解析式可得，，，
即点的坐标为或，
当为对角线时，点到点的水平距离是3，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去），
则，即点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
2．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)直接写抛物线的解析式和对称轴；
(2)将直线向上平移，得到过原点O的直线是直线上任意一点．在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，直线
(2)存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点时，点；当点时，点或
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，平行四边形的判定和性质．
（1）根据点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）分别以已知线段为边、为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质和平移求点的坐标和点的坐标即可．
【详解】（1）解：（1）将、代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
理由如下：
∵抛物线的解析式为，
∴，
∴设解析式为，代入得，解得，
∴解析式为，
∵将直线向上平移，得到过原点O的直线，
∴解析式为，
∴设，
（Ⅰ）若平行四边形以为边时，则，
∴在直线上，
点是直线与对称轴的交点，即，
当四边形是平行四边形时，
∴平移到与平移到的平移方式一致，
∵向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度到，
∴向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度到，
当四边形是平行四边形时，
∴平移到与平移到的平移方式一致，
∵向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度到，
∴向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度到；
（Ⅱ）若平行四边形以为对角线时，与互相平分，即与中点是同一个点，
设，，
∵，，
∴中点坐标为，中点坐标为，
∴，
，
，，
综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
当点的坐标为时，点的坐标为或；
当点的坐标为时，点的坐标为．
3．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值；
(3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，时，有最大值，最大值是；
(3)存在，点坐标为或或．
【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标；
（）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解；
（）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
把代入得，，
∴，
∵点的横坐标为，
∴轴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
把代入得，，
解得，，
∴，
∴，
如图，当时，四边形为平行四边形，
∴，
把代入得，，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
解得，（不符合，舍去），
∴点的横坐标为，
∴；
如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形，
过点作轴于，则，
同理可得；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
类型六、二次函数中的菱形
【解惑】如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标．
【答案】(1)
(2)当时，周长的最大值为，
(3)N点坐标为或或或
【分析】（1）根据三角形的面积求出，则可知，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由题意可得，则，设，则，可得周长，当时，周长的最大值为，此时；
（3）先求出平移后的函数解析式为，设，，根据菱形的对角线分两种情况讨论，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等建立方程组，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：将，，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∴周长，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
设，则，
∴，
∴周长，
∴当时，周长的最大值为，
此时；
（3）解：∵，
∴平移后的函数解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，，
令，则，
解得或，
∴，
当为菱形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
当为菱形的对角线时，，
，
解得或，
∴或；
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平移的性质，菱形的存在性问题，第（2）问借助转化思想将要求的长转化为求的长进而转化成与P点横坐标有关的二次函数，借助二次函数求最值的方法求线段的最大值．第（3）问，菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形的存在性问题，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，且最大值为
(3)存在，或或或
【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点，，的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）首先求出，且，然后设，表示出，，，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为；
（3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且
∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点，
∴设
∴，，
∴当时
∴
∴
∴，
∴当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴如图所示，当四边形是菱形时
∴
∴
∴
∴；
∴时
∴
∴
∴
∴
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
当时，
∴
∴
∴或（舍去）
∴当时，
∴
∴如图所示，四边形是菱形
∴
∴
∴
∴；
综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中，，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为、、或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，当时，最大，此时最大，即可求解；
（3）根据题意可设，得到，，，分三种情况讨论：①，②，③，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点，
设抛物线解析式为，
抛物线过，
，
，
此抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，如下图所示，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，
则，
，，
当时，最大，此时最大，
；
（3）根据题意可设，
，，
，，，
①，即，
，，
，，
②，即，
，
，，
③，即，
（不合题意，舍去），
综上所述，满足条件的点坐标有、、或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，菱形的性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，抛物线的顶点A坐标为），连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)
【分析】（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为设，可表示出，利用等腰直角三角形性质可将表示的长，进而用点坐标将表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得的最大值．
（3）菱形的存在性问题先转化为求以为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：在中，当时，解得或，
∴
设直线的解析式为，
则
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）解：依题意，抛物线沿射线平移个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．
∴平移后抛物线解析式为：，
∴平移后的抛物线对称轴为直线．
故设点，
又∵，
∴，
，
，
由题意知，以为腰的等腰三角形有两种情况：
如图1，当时，
则，
解得：
由平行四边形对角线互相平分可知：
∴
②如图2，当时，
则
解得：
∴
∴
综上：使以BM为边的菱形的N点有：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
类型七、二次函数中的矩形
【解惑】如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或或
【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值；
（3）分、为边；、为边；、为边讨论，通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
即，
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，
当时，，
，
，
是等腰直角三角形，，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
，
P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D，
设，则，
，其中，
如图，延长交于点G，则，
由题意可得是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，取最大值，此时；
（3）解：∵，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即原函数向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∴平移后的函数解析式为，
将与联立，得，
解得，
∴
∴两条抛物线交点M的坐标为，
设，，连接，
，，，
①如图，以为边，作交对称轴于N，可构造矩形，
，
，
解得，
∴
由A，M，N，H四点的相对位置关系可得：
，
解得，
；
②以为边，作交对称轴于N，可构造矩形，
，
，
解得，
∴
由A，M，N，H四点的相对位置关系可得：
，
解得，
；
③如图，以为对角线，作交对称轴于N，可构造矩形，
，
，
解得，
∴或，
当N的坐标为时，
由A，M，N，H四点的相对位置关系可得：
，
解得，
；
当N的坐标为时，
由A，M，N，H四点的相对位置关系可得：
，
解得，
；
综上可知，H点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）．
(1)求线段的长；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小；
(3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围；
(4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用：
（1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出的横坐标，进而求出线段的长即可；
（2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间的关系，进而求出，比较大小即可；
（3）根据增减性，得到点距离对称轴近，列出不等式进行求解即可；
（4）根据菱形的性质，求出的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分为矩形的边和矩形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∴；
（2）设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，
∵，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
∵两条抛物线的开口向上，
∴，
∴；
（3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，在抛物线上，且满足，
∴点距离对称轴近，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，解得：或，
∵抛物线的开口向下，
∴当时，或；
∴当或时，；
（4）不存在，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由图象可知：，
∴，
∴，，
把，，分别代入和，
得：，
∴抛物线的解析式为，
抛物线的解析式为
当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况：
①当为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；
②当为对角线时，则的中点也是的中点，
∵，设的中点为，则：，
以为圆心，的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则：都在圆上，且也为圆的直径，
如图：
由图可知，不存在点分别在两条抛物线上且为圆的直径，
故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形；
综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数求不等式的解集，圆周角定理，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
2．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）当时，，即，则，由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解；①当为边时，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于，证明，则，，设，则，，，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，当时，，即，由矩形的性质可求点的坐标；②当为对角线时，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则，设，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，即，设，则，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：将，代入得，，
解得，，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，即，
∴，
由题意知，以，，，为顶点的四边形是矩形，分①当为边，②当为对角线两种情况求解；
①当为边时，如图，连接，作的平分线，连接，使轴，作交于，作轴于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∵以，，，为顶点的四边形是矩形，
∴点的坐标为；
②当为对角线时，如图，作的平分线，连接，使于，作矩形，连接，交于，则，
由①可知，直线的解析式为，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
设，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，点的坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合，一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合，一次函数解析式，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
3．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点且以为边的四边形是矩形，求满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）分两种情况，分别根据等腰三角形的判定和性质、平移和矩形的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵，，
∴，，
①如图，当为矩形一边，且点在轴的下方，过作轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在的对称轴直线上，，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点，
∴点向右平移个单位，向下平移个单位可得到；
②当为矩形一边，且点在轴的上方，的对称轴直线与轴交于点，
∴，，
∵在的对称轴直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点，
∴点向左平移个单位，向上平移个单位可得到点；
综上所述，点的坐标为或时，以，为顶点，且以为边的四边形是矩形．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质及图像的平移，平移的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间距离等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的性质是解题的关键．
类型八、二次函数中的正方形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)当四边形为正方形时，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
（1）将点代入抛物线中求出解析式为；
（2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解．
【详解】（1）将点代入抛物线中，得
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）设、分别与轴交于点M和点N，
当四边形为正方形时，设，则，，
∴E点坐标为，代入抛物线中，
得到：，
解得，（负值舍去），
∴．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于两点，点C是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，过点P 作y 轴的平行线与直线交于点 Q，过点Q 作轴，点 M 在点 Q 的右侧，且，以， 为邻边作矩形．设矩形的周长为d，点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)当 时，求d与m之间的函数表达式．
(3)当矩形 是正方形时，求m的值．
(4)直接写出矩形 的边与抛物线有两个交点时 m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)当或时，矩形 是正方形
(4)矩形 的边与抛物线有两个交点时 m 的取值范围为或或．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想、分论讨论思想成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可：
（2）先求出直线的解析式为，则、，进而得到，然后根据矩形的周长公式求解即可；
（3）当和或两种情况分别求得，并让其长度为2求解即可；
（4）先求出抛物线的对称轴，然后分矩形 在对称轴的正中、左侧、右侧三种情况，分别画出图形，列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：将代入可得：
，解得：，
所以抛物线所对应的函数表达式为．
（2）解：∵点C是抛物线上横坐标为6的点．
∴点C的纵坐标，即，
设直线的解析式为，
则有：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为m，，
∴点P在线段的下方，，
∴，
∴，
∵矩形的周长为d，，
∴，即．
（3）解：当时，如图①、②：此时，
∵四边形 是正方形，，
∴，解得：；
当或时，如图③、④：此时：，
∵四边形是正方形，，
∴，解得：；
综上，当或时，矩形 是正方形．
（4）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
如图：当对称轴为矩形的中线时，；
当矩形在对称轴左侧时，
，，
当时，，不在抛物线上，
当时，有，解得：；
当当矩形在对称轴左侧，即时，
∵，，
∴，解得：．
综上，矩形 的边与抛物线有两个交点时 m 的取值范围为或或．
2．综合与探究
如图，抛物线经过点与点，点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交于另一点E，与直线交于点C．再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条平行线交于点D．点F的横坐标为m，且．
(1)求出抛物线与直线的函数关系表达式；
(2)当四边形是正方形时，求出点F的坐标；
(3)在满足（2）的条件下，在直线上取一点，连接．将线段以点P为中心，顺时针方向旋转，点F的对应点为Q．当点Q正好落在抛物线上时，直接写出这时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为，直线的解析式为；
（2）由，得抛物线的对称轴为直线，设点，则点的坐标为，，根据抛物线的轴对性知，而四边形是正方形有，即可解得点的坐标为；
（3）过作轴交延长线于，过作于，设，证明，可得，，即知，代入，即可解得点P的坐标或．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，把点代入，得：
，解得．
直线的解析式为；
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，
设点，则点的坐标为，
，
根据抛物线的轴对性知，
四边形是正方形时，
，即，
解得，（不合题意，舍去），
当时，，
点的坐标为；
（3）解：过作轴交延长线于，过作于，如图：
设，由（2）知，
将线段以点为中心，顺时针方向旋转，点的对应点为，
，，
，
，
，
，，
，即，
点正好落在抛物线上，
，
解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、正方形性质、旋转变换，全等三角形的判定与性质，等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
3．如图， 抛物线交x轴于点A、B两点，与y轴交于点，其顶点为点D．
(1)求a的值和顶点 D 的坐标；
(2)在x轴上有一动点，若点C、D以M为中心对称的对称点分别是、，请判断以C、D、、为顶点的四边形可能是正方形吗？ 若存在，求出对应的点M的坐标； 若不存在，请说明理由；
(3)若N是直线 上的一动点，把绕点N旋转 ，原点O的对应点为，若点 恰好落在抛物线上，请求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)点N的坐标，，，
【分析】将点代入解析式解得，进一步将解析式化为顶点式即可求得点D；
根据点、点C和点D的位置关系可得四边形只能为，且对角线和相等，且关于点M对称，有 ，则 ，即，解得即可；
先求得点，，结合旋转的性质得和，则为等腰直角三角形，①当把绕点N逆时针旋转 ，连接，过点作，可证明，则，设，则点；②当把绕点N顺时针旋转 ，过点作，同理可证，则，则点，分别代入函数解析式化简求值即可．
【详解】（1）解：将点代入解析式得，，解得，
∴ ，
则点；
（2）解：存在，理由如下，
∵点在x轴上，
∴点只能在x轴上方，点只能在x轴下方，
则四边形只能为，即对角线和相等，且关于点M对称，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴ ，
∴ ，
即，解得，
故存在点M使得以C、D、 为顶点的四边形是正方形，点；
（3）解：令，则，解得或，则点，，
①当把绕点N逆时针旋转 ，原点O的对应点为，
∴，，
连接，过点作，如图，
则为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
则，
设，则点，
∵点 恰好落在抛物线上，
∴，化简得，解得，
那么， ，；
②当把绕点N顺时针旋转 ，原点O的对应点为，
∴，，
过点作，如图，
同理可证，
则，
设，则点，
∵点 恰好落在抛物线上，
∴，化简得，解得，
那么， ，；
故所有符合条件的点N的坐标，，，．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，旋转的性质，正方形的性质，两点之间的距离，等腰直角三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和正方形的性质，利用旋转求得对应的边角关系．
类型九、二次函数中的圆
【解惑】如图，已知抛物线的顶点是，且与轴交于、两点，交轴于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)①当的取值范围满足条件 时，；
②若，是抛物线上两点，且，求实数的取值范围；
(3)直线平行于轴，分别交线段于点、交抛物线于点，求线段的长度的最大值；
(4)若以抛物线上的点为圆心作圆与轴相切时，正好也与轴相切，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或
(3)
(4)或或或
【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式、二次函数的最值、二次函数与圆综合、一元二次方程，熟练掌握二次函数的这些性质及与其他知识结合是解题的关．
（1）根据已知函数的顶点，设出函数的顶点式，再将点代入解析式求出的值即可；
（2）①过点作直线平行于轴，与抛物线相交于另一点，令可得方程，据此求出点坐标，从而得到的取值范围；
②过点作直线平行于轴，与抛物线相交于另一点，令，求出点和点的横坐标，据此即可直接求出的取值范围．
（3）容易求出点坐标，再根据点坐标求出的解析式，的长度可用两解析式的差来表示，该差为二次函数，根据二次函数最值的求法即可解答；
（4）根据题意可知，该圆同时与轴、轴相切时，圆心横纵坐标相同或互为相反数，据此列出方程解答．
【详解】（1）解：设函数解析式为，
将点代入解析式，
得：，
解得：，
故函数解析式为，
化为一般式得；
（2）解：①函数与轴的交点为，
如图，过点作直线平行于轴，与抛物线相交于另一点，
令可得方程，
解得：，．
则点坐标为．
由图可知时，；
故答案为：．
②如图，过点作直线平行于轴，与抛物线相交于另一点，
当时，；
故点坐标为，
令，得，
解得：，，
则点坐标为．
由图可知，时，或．
（3）解：如图，
令可得方程，
解得：，．
则点坐标为．
设一次函数解析式为，
将，代入解析式，
得：，
解得：，
故函数解析式为．
设，，
则，
当时，取得最大值；
（4）解：设，
∵以抛物线上的点为圆心作圆与轴相切时，正好也与轴相切，
∴圆的半径，
则①当时，
解得：，，
∴，，
点坐标为，；
②当时，
解得：，，
∴，．
故点坐标为，，
综上，点点坐标为或或或．
【融会贯通】
1．如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)或
(4)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作于T，根据列式求解即可；
（3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或；
（4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形．
【详解】（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解:如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（4）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴，
∴；
设与抛物线交于，
联立得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
2．如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点P的坐标为或
(3)存在，E、F的坐标分别为、或、或、
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、切线的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形性质、三角形面积等知识；
（1）根据题意分别代入点，分别解出即可求出答案．
（2）设点P的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为：，则直线与X轴的交点为，证是等腰三角形，则，则直线与圆P相切于点Q，连接，由切线的性质得出，则是等腰三角形，得，由，，则，解得即可得出答案．
（3）由题意得，，由面积求出，由待定系数法求出直线的解析式为，则，同理得的解析式为，分三种情况，由平行四边形的性质和对称的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：如图1，设直线切于点E．连接，作于点F．
∴．
由，得
对称轴为直线，．
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
设，
∴．
在中，，
∴，
∴．
整理，得，
解得，．
∴点P的坐标为或；
（3）解：存在，理由：
设点E，点F，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，解得：，
则点的坐标分别为：；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点的坐标分别为：或；
综上，的坐标分别为：或或．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）根据题意得到，，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）判断是等腰直角三角形，可求出，设交x轴于点D，则，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出公共解即可求出点M坐标；
（3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设，根据，可得出①，由点D在抛物线上，可得出②，将②代入①得求出，根据三角形面积公式求出，然后整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在第一象限内抛物线上存在点M，使，理由如下：
如图，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设交x轴于点D，则，
∴点D的坐标为；
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
联立，
解得，（舍）
∴点M的坐标为（，
（3）解：把代入，得，
解得或，
∴点A的坐标为，
∴AB=6，
设过点A、B、D得圆的圆心为点G，
∵，
∴点G在线段的垂直平分线上，
设点G的坐标为，
同理可得点G在线段的垂直平分线上，
∵轴于点F，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
整理得①，
∵点D在抛物线上，
∴，
得②，
将②代入①得，，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
类型十、二次函数中的等角与倍角
【解惑】已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点．
(1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标；
(2)平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)点P的坐标为或
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与角度问题，二次函数的平移；
（1）把代入计算即可；
（2）先求出抛物线的解析式和所在直线的函数解析式，再根据①当点P在上方时，②当点P在下方时两种情况分别画出图形后计算即可．
【详解】（1）解：把代入中，得
解得
解得，
抛物线的解析式为．
令，则
．
（2）解：∵平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，
∴设抛物线的解析式为，
将点代入，解得，
∴抛物线的解析式为．
设所在直线的函数解析式为，
将代入得，解得
∴所在直线的函数解析式为，
①当点P在上方时，将沿x轴向右平移2个单位，此时点B与点N重合，得到线段，则所在直线的函数解析式为，
设所在直线与抛物线的另一交点为，
由平移的性质可得，，
∴，
令，解得（舍），，
．
②当点P在下方时．取的中点E，连接，交于点F，连接并延长交抛物线于点，
，，
∴是等腰直角三角形，所在直线的函数解析式为，
是的垂直平分线，
∴，
∴，
令，解得，
，
设所在直线的函数解析式为，
将代入得，解得，
∴所在直线的函数解析式为．
令，解得（舍），．
．
综上，点P的坐标为或．
【融会贯通】
1．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为
(3)存在，点M的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则，，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，则，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分两种情况讨论，进行求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入函数解析式得：
，解得：，
∴；
（2）解：∵当时，解得，，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
设，则，，
，，，
∴，，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）解：∴，，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设的解析式为：，，，
，
解得：，
∴，
联立，
解得，，
∴；
取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：，
，
设的解析式为：，
则：，
解得：，
∴，
联立，
解得，，
∴；
综上，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．
(1)求二次函数的表达式及点的坐标．
(2)求直线的表达式．
(3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为，；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由得为直角三角形，则点是的中点，求出点，即可求解；
（3）当点在直线下方的抛物线上时，则，则点与关于对称轴对称，当点在直线的上方时，设交轴于，则，设，则，在中，由勾股定理得方程，可求出点的坐标，从而求出直线的解析式，与抛物线求交点即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；
（2）解：由点、、的坐标得，，，，
则，
即为直角三角形，
由将沿着翻折，使点落在点处知，点是的中点，
由中点坐标公式得，点，
由、的坐标得，直线的表达式为：；
（3）解：当点在直线下方的抛物线上时，则，
点与关于对称轴直线对称，
，
当点在直线的上方时，
设交轴于，
则，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得，
，
直线的解析式为，
，
解得，（舍），
，
综上：点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程的解法等知识，分点在直线的上方和下方两种情形是解题的关键．
3．如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C，点M，N均在抛物线上，设点M的横坐标为m，点N的横坐标为，连接，连接，分别与y轴交于点S，T，且，求的值．
【答案】的值为4．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，过点M作轴，作点A关于的对称点，延长与的交点为，由对称性求出对称点的坐标，可求出直线的解析式，再求出点的坐标，从而能分别求出直线、的解析式，可确定、点坐标，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意，得，，
如图，过点M作轴，作点A关于的对称点，
，
，
，
∴延长与的交点为，
，
，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
由，
解得：，
，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
，
设直线的解析式为：
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：
，
，，
，
的值为4．
6
学科网（北京）股份有限公司
$$
资源预览图
