专题01二次函数（中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的定义求参 【解惑】关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 2．若是二次函数，则m的值是 ． 3．若函数是二次函数，则m的值为 ． 类型二、把一般式化为顶点式 【解惑】将二次函数化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用配方法将化成的形式为（   ）． A． B． C． D． 2．已知二次函数，用配方法可化为的形式是 ． 3．把二次函数配方成的形式，得，它的顶点坐标是 ． 类型三、一次函数与二次函数的图象 【解惑】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象一定不经过第 象限．    3．如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是 ． 类型四、反比例函数与二次函数的图象 【解惑】一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点 ． 3．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 ． 类型五、二次函数的对称性 【解惑】若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．二次函数的与的部分对应值如表，则当时，的值为（   ） … 0 1 2 3 … … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 2．若点是抛物线上的两个点，则 3．已知二次函数的自变量与函数值之间满足的数量关系如表，则的值为 ． x 3 5 y 12 12 100 类型六、二次函数的函数值求自变量的值 【解惑】二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【融会贯通】 1．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 2．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 3．若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 类型七、利用不等式求自变量或函数值的范围 【解惑】若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【融会贯通】 1．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 2．已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 3．已知二次函数． (1)画出二次函数图象 (2)根据图象回答下列问题： ①当______时，随的增大而减小； ②当______时，函数有最______值，是______； ③当时，的取值范围是______； ④当时，的取值范围是______． 类型八、二次函数的应用——增长率问题 【解惑】某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【融会贯通】 1．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 2．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 3．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 类型九、二次函数的应用——喷水问题 【解惑】如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； (2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ 【融会贯通】 1．小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究；测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若身高的小聪站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，判断小聪的头顶是否接触到水柱，若未接触到水柱，求他的头顶上方到水柱的距离． 2．如图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，B为水的落地点，记长度为喷泉跨度． (1)在图2中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式. (2)在图3中，若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 3．护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 类型十、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 2．如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米，请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究，下面是探究过程，请补充完整： 下面是探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表： d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.8 在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数； (2)在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题； ①桥墩露出水面的高度为______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为______米．（精确到0.1米） 3．某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，，如图（1），在比例图上，以直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）． (1)求出图（2）中以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围． (2)如果与的距离，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 【一览众山小】 1．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 4．在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是 米． 5．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是 ． 6．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 7．某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在函数关系．设该商店销售这种水产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)每千克水产品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大？ 8．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求出该抛物线的顶点坐标，并直接写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 9．如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是_________； (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 10．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求线段的长； (2)请用含m的代数式表示的面积； (3)若，求点P的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的定义求参 【解惑】关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 2．若是二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．根据二次函数的定义，得到，，求解即可． 【详解】解：是二次函数， ，， ，， 故答案为：． 3．若函数是二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义列出关于m的方程和不等式，解答即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为： 类型二、把一般式化为顶点式 【解惑】将二次函数化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将一般式化成顶点式，熟练掌握配方法，是解题的关键．利用配方法，将其配成完全平方式，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．用配方法将化成的形式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了把二次函数化为，先配方使得，即可作答． 【详解】解：， 即用配方法将化成的形式为， 故选：C． 2．已知二次函数，用配方法可化为的形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．把二次函数配方成的形式，得，它的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 类型三、一次函数与二次函数的图象 【解惑】在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项排除即可，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向下，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 、∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴左侧， ∴，， ∴此选项符合题意； 、∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵二次函数开口向上，对称轴直线在轴右侧， ∴，， ∴此选项不符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断． 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点，故可排除A、B； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为(0,2)，故可排除D； 故选C． 2．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象一定不经过第 象限．    【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三，第四象限， ∴，， ∴， 且当时，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于正半轴， 故图像一定不经过第三象限， 故答案为：三． 3．如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，由直线应经过一、三、四象限，故直线不经过第二象限． 故答案为：第二象限． 类型四、反比例函数与二次函数的图象 【解惑】一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 【融会贯通】 1．二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 2．写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先判断出该函数为二次函数，再结合函数的图像和性质写出即可． 【详解】解：若要与反比例函数的图像有3个不同的交点， 这样的函数可以为二次函数，设， 如图，二次函数与反比例函数有3个交点， 可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 这样的函数可以是， 其中，，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数图像，解题的关键是抓住3个交点的条件，利用数形结合思想解决． 3．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 ． 【答案】3个 【分析】根据数形结合的思想进行判断即可； 【详解】，画出图像如图所示： 即可得到有三个交点． 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象问题，准确分析是解题的关键． 类型五、二次函数的对称性 【解惑】若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称性以及与x轴的交点坐标求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标为，， ∴点，关于对称轴对称， ∴这条抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 【融会贯通】 1．二次函数的与的部分对应值如表，则当时，的值为（   ） … 0 1 2 3 … … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得时的函数值．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格可知，当和时对应的函数值相等， ∴二次函数的对称轴是直线， 和时对应的函数值相等， 时，， 时，， 故选：A． 2．若点是抛物线上的两个点，则 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，求出抛物线的对称轴是解题的关键．根据二次函数的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求出b的值． 【详解】解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线， ， ， 故答案为：． 3．已知二次函数的自变量与函数值之间满足的数量关系如表，则的值为 ． x 3 5 y 12 12 100 【答案】1200 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得出当和时的函数值相等，然后将，代入求出y，即可得出答案． 【详解】根据表格可知抛物线的对称轴是， 当与时的函数值相等， 即. 当时，， ∴． 故答案为：1200． 类型六、二次函数的函数值求自变量的值 【解惑】二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 2．已知一元二次方程的两实数根满足，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解．令，画出大致图象可得：当时，；当时，；当时，；即可求解； 【详解】解：令， 则抛物线与轴的两个交点坐标为， ∵， 画出大致图象如下： 可得：当时，； 当时，； 当时，； 由①②③解得： 故答案为： 3．若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 类型七、利用不等式求自变量或函数值的范围 【解惑】若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，或，故D选项错误； 故选D． 2．已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 3．已知二次函数． (1)画出二次函数图象 (2)根据图象回答下列问题： ①当______时，随的增大而减小； ②当______时，函数有最______值，是______； ③当时，的取值范围是______； ④当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；大；9；③；④ 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与不等式，注意数形结合； （1）按照列表、描点、连线的方法进行即可； （2）①观察对称轴两侧图象的升降即可解答； ②观察图象知当时，函数有最大值9； ③观察图象与x轴的交点，图象位于x轴上方部分满足，此时位于图象与坐标轴两交点间的自变量取值满足条件； ④观察图象即可． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 …… y …… 5 8 9 8 5 …… 描点、连线得到的图形如下： （2）解：①由图知，当时，随的增大而减小； 故答案为：； ②观察图象知，当时，函数有最大值，且最大值为9； 故答案为：；大；9； ③由图象知，抛物线交x轴于点，则当时，； 故答案为：； ④观察图象知，当时，的取值范围是； 故答案为：． 类型八、二次函数的应用——增长率问题 【解惑】某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 【融会贯通】 1．某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据现在的价格等于原价乘以（涨价的百分率）的平方， 得：， 关于的函数关系式：． 2．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 3．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型九、二次函数的应用——喷水问题 【解惑】如图，某城区公园有直径为的圆形水池，水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； (2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ 【答案】(1)抛物线解析式为：，水流落地点B到点O的距离为 (2)点E应该与的距离为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握根据顶点坐标设抛物线的解析式为：，是解答本题的关键． （1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，即设抛物线的解析式为：，再根据，可得，将代入中，即可得，则抛物线解析式为：，令，即可得的坐标为，则，问题得解； （2）根据题意令，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 即设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， 将代入中，可得， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为， ∴， 即水流落地点B到点O的距离为； （2）解：根据题意令，可得， ∴解得，（根据题意，负值舍去） ∴的坐标为，即， ∴点E应该与的距离为． 【融会贯通】 1．小聪在某公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究；测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若身高的小聪站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，判断小聪的头顶是否接触到水柱，若未接触到水柱，求他的头顶上方到水柱的距离． 【答案】(1) (2)小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）由抛物线顶点可设抛物线的解析式为，将点代入求出的值即可； （2）当时，代入抛物线的解析式求出对应的的值，再和比较即可得出结论； 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 由题意知点在抛物线的图像上， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，， ∵， ∴小聪的头顶未接触到水柱，他的头顶上方到水柱的距离为． 2．如图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，B为水的落地点，记长度为喷泉跨度． (1)在图2中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式. (2)在图3中，若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，代入即可求解； （2）不同高度的喷水管喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同，图3中抛物线的顶点坐标可设为，，设此时的抛物线的函数表达式为，当时，，， 解得，再由，得，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图， 点坐标为，点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的最高点为3， 顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为过点， 则 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：在图3中，以O为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵不同高度的喷水管喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点坐标可设为，， 设此时的抛物线的函数表达式为， 当喷水管最高可伸长到时， 即当时，，， 解得：， 由，得，解得：或（舍）， ∴此时． 即喷泉跨度的最小值为． 3．护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)18米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 类型十、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】(1) (2)需要，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 【融会贯通】 1．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)m (3)这辆货车能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，根据题中信息可知点，代入即可求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可得解； （3）根据题意可以求得当时的得值，然后与比较，即可解答本题； 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； ∴抛物线的解析式为：． （2）在中，令， 得到， 解得：， ， 故在距离地面高处，隧道的宽度是； （3）这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 2．如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米，请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究，下面是探究过程，请补充完整： 下面是探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表： d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.8 在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数； (2)在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题； ①桥墩露出水面的高度为______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为______米．（精确到0.1米） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)0.88；0.7 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． （1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论； ②求出抛物线的解析式，令解方程求得的值即可得答案． 【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在和这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数； 故答案为：，； （2）解：描点，连线，画出图象如图： （3）解：①观察图象结合表知，桥墩露出水面的高度为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象，设二次函数的解析式为， 把，代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 令得：， 解得（舍去）或， 则处距桥墩的距离至少为0.7米， 故答案为：0.7． 3．某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，，如图（1），在比例图上，以直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）． (1)求出图（2）中以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围． (2)如果与的距离，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）因为在y轴上，故设抛物线的解析式为，把A点坐标代入解析式求出a即可． （2）因为点、的纵坐标相同，都是，令，解出x的值，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴设抛物线关系式为， ， ∴点坐标为，点坐标为， ∵、在抛物线上 ， 解得， ∴所求抛物线表达式为 ； （2）解：， ∴、、点的纵坐标相等， ， ∴、点的纵坐标都为， 将、点的纵坐标代入抛物线表达式得， 解得或， ∴点的坐标为 ，点的坐标为 ， 则 ， 即， 答：大桥拱内实际桥长约为． 【一览众山小】 1．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令，求出y的值即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故选D． 2．将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移规则是：左加右减，上加下减；按此规则求解即可． 【详解】解：抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线； 故选：B． 3．已知，，是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据抛物线解析式得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的点，且， ∴， 故选：C． 4．在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可知点的坐标为，顶点为，设抛物线的表达式为，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令，求出此时x的值即可． 【详解】解：建立如图所求的平面直角坐标系， 则点的坐标为，顶点为． 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线的表达式为， 令，则， 解得或（不合实际，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故选：10． 5．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 6．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线与直线的交点坐标即可解答． 【详解】解：由图象可知，当或时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 7．某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在函数关系．设该商店销售这种水产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)每千克水产品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大？ 【答案】(1) (2)每千克水产品的销售单价定为70元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的最值，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据利润=每件的利润乘以件数计算即可求出函数解析式； （2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：由题意得 ， 与x之间的函数关系式为； （2）解： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w有最大值， 答：每千克水产品的销售单价定为70元时，该商店销售这种水产品每天的销售利润最大． 8．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求出该抛物线的顶点坐标，并直接写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)；，该函数的随的增大而减小 【分析】（1）把坐标代入确定出的值，即可求得二次函数的表达式； （2）把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标，然后根据二次函数的性质得到结论． 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数的解析式． （2）解：由， 对称轴是直线，顶点坐标是， 抛物线开口向上， 当时，该函数的随的增大而减小． 9．如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是_________； (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)B，C， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （2）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （3）由坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴B，C， 当时，， ∴ （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当，时， y的最小值出现在顶点处，即， y的最大值出现在处，即． 故答案为：； （3）∵，， ∴把A点平移后落到D点的位置，抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为，即． 10．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求线段的长； (2)请用含m的代数式表示的面积； (3)若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）令，求出，，即可得解； （2）连接，求出，得到，求出，由题意得：，求出，，再由即可得解； （3）根据题意结合（2）得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接， ， 在中，令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可得：， 由题意得：， 解得：，， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—三角形面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$