专题01二次函数（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、y=ax²+bx+c的最值 【解惑】如果二次函数的最小值为，那么的值等于（   ） A．2 B．4 C． D．0 【融会贯通】 1．若函数的最小值为5，则m的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．在平面直角坐标系中，二次函数的最小值为 ． 3．“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是 ． 类型二、二次函数的增减性最值 【解惑】已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【融会贯通】 1．二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值（   ） A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关 2．已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为 ． 3．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 类型三、二次函数图象与各项系数符号 【解惑】已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 2．如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 类型四、二次函数的将军饮马(最小) 【解惑】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点的坐标为， 点的坐标为． (1)求抛物线过点时，求实数的值； (2)已知点的坐标为，求的最小值； (3)若抛物线与线段有且只有一个交点，求实数的取值范围． 【融会贯通】 1．对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题：如图，已知抛物线的图象与x轴交于O，A两点，且过点． (1)求抛物线C的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象． ①抛物线D的解析式为_______． ②设M为抛物线D上任意一点，轴于点N，求的最小值； 2．如图，抛物线经过，两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接，点H为的中点．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标． (2)请直接写出点H的坐标． (3)在y轴上确定一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求的最小值． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点M的坐标． 类型五、二次函数的三点共线与铅锤高(最大) 【解惑】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标； 2．已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 类型六、二次函数的应用——图形问题 【解惑】如图．某小区在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住，如何设计才能使绿化带的面积最大？ 【融会贯通】 1．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米．    (1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式并写出的取值范围； (2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？ 2．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 3．如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 类型七、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，经过市场调查，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．设销售单价为x元/千克，每月的销售量为y，每月的销售利润为w元． (1)分别求出y与x，w与x的函数解析式； (2)当商店月销售利润为6750元时，求销售单价； (3)当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 【融会贯通】 1．某种植基地种植一种蔬菜，它的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 14 15 16 日销售量y（千克） 2000 1800 1600 (1)直接写出y与x的关系式____________； (2)求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润； (3)销售一段时间以后，由于某种原因，该蔬菜每千克成本增加了2元，在日销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该蔬菜的日销售利润能否达到6000元？ 2．近年来，成都体育事业得到了迅速发展，已有更多的市民参与到体育锻炼中来．某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为元个，若以元售出（规定每个篮球的售价不低于进价），每月能售出个．经调查发现，这种篮球的售价每上涨元，其月销售量就将减少个．设每个篮球的售价为元，每月的销售量为个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设销售这种篮球每月的总利润为（元），如果该商店这种篮球每月的销量不低于个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 3．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 类型八、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，．点P从A点开始沿A边向点B以秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以秒的速度移动（一个点到达终点另一个点即停止运动）． (1)几秒钟后，P、Q相距6厘米？ (2)经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？ (3)经过几秒钟，的面积最大，最大面积是多少？ 【融会贯通】 1．如图，在中，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），如果分别从同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 2．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为． (1)________，________．（用含有的式子表示） (2)设的面积为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 3．如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为（单位：秒）． (1)①当运动停止时，的值为______. ②设，之间的距离为，则与满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”） (2)设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； ②是否可以为？若可以，请求出此时的值，若不能，请通过计算说明理由． 类型九、二次函数的应用——周长与面积问题 【解惑】如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点P的坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点， ①当点在轴上方，且时，求点的坐标； ②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标． 3．如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)直接写出A、B点的坐标_____，_____； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 类型十、二次函数的新定义 【解惑】定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标； (2)若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式； (3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值． 【融会贯通】 1．我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． (2)当“特征数”是的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值（为常数）． 2．定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是___ (2)若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于两点，由点四点构成的四边形面积记为，求的取值范围． 3．定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“伴随抛物线”． (1)判断下列抛物线是否为抛物线的“伴随抛物线”，是的打“ √”，不是的打“ ”： ① ___；② ___；③ ___ (2)若抛物线（为实数且）与互为“伴随抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； (3)已知抛物线（为实数且）与轴交于点，抛物线：与轴交于点，若抛物线与互为“伴随抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值； 若不是，请说明理由． 【一览众山小】 1．如图所示，二次函数的图象分别与x轴、y轴交于A点、B点和C点，已知．则由抛物线的特征写出如下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 5．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 6．在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 7．某商场销售某种商品，成本为每个元．当售价为元时，平均每月售出个；为提高利润，商家决定涨价出售，经过一段时间的销售，发现若售价每上涨元，其月销售量就减少个． (1)求出月销售量（个）与售价（元）之间的关系式． (2)当售价定为何值时，利润最大，求最大利润． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值． 9．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B的坐标； (2)若，点D是该二次函数在第一象限图象上的动点，作轴，交二次函数的图象于另一点E，作点D关于y轴的对称点F．那么线段的长是否为定值，请说明理由； (3)若点P是该二次函数图象上的动点（不与A，B，C重合），作直线，分别与y轴交于点M，N，在P点运动的过程中，是否为定值，说明理由． 10．我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“能效函数”，其图象上这一点成为“能效点”，如：“能效函数”，其“能效点”为． (1)在下列关于x的函数中， （请填写对应序号）是“能效函数”； ①；②；③ (2)若点A、B是“能效函数”（其中）上的“能效点”，且，求m的取值范围； (3)若“能效函数”的图象上存在唯一的一个“能效点”，且当时，求k的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、y=ax²+bx+c的最值 【解惑】如果二次函数的最小值为，那么的值等于（   ） A．2 B．4 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得图象开口向上，对称轴为，根据当时有最小值，代入计算即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， ∴图象开口向上，对称轴为， ∴当，二次函数的最小值为， ∴， 解得，， 故选：B ． 【融会贯通】 1．若函数的最小值为5，则m的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的最值，将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】解： ∵， ∴函数有最小值为， 又函数的最小值为5， ∴， 解得，， 故选：B 2．在平面直角坐标系中，二次函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及将配成抛物线顶点式的方法，能正确配方是解决本题的关键，整理成顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，取到最小值为：， 故答案为：． 3．“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，先设，再配方得出顶点式，可得二次函数图象的开口方向和对称轴，进而得出增减性，然后结合t的最小值得出答案即可． 【详解】解：设，则， ∵抛物线开口向下， 对称轴为直线， 时，y随t的增大而减小. ， 当时，． 类型二、二次函数的增减性最值 【解惑】已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值．先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，顶点，当时，， ∵，开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵当时，y取得最大值为15， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故a的值为4． 故选：B． 【融会贯通】 1．二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值（   ） A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当时，即， 当时，二次函数有最大值为：，即， ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当， 当时，二次函数有最大值为：． ． 当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关． 当时，即， 当时，二次函数取最小值为． 此时①若，即， 当时，二次函数的最大值为， ． ，与有关但与无关． ②若，即， 当时，二次函数的最大值为，即． ． ，与有关但与无关． 故选：D． 2．已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当时，函数有最小值， ∴当时，时取最小值，即， 解得，(不合，舍去)； 当时，号时取最小值，即， 解得（不合，舍去），（不合，舍去）； 当时，时取最小值，即， 解得 ； 综上，的值为， 故答案为：． 3．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 类型三、二次函数图象与各项系数符号 【解惑】已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴交点个数判断即可． 【详解】解：①由图可知，图象开口向上，得；当时，；进而推断出，那么①错误，不符合题意． ②由图可知，二次函数与轴有两个交点，故，那么②正确，符合题意． ③由图可知，当时，，那么③错误，不符合题意． ④由图可知，对称轴，结合得，那么④正确，符合题意． 综上：正确的有②④，共2个． 故选：C． 【融会贯通】 1．二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 2．如图，已知顶点为的抛物线过，下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③：④若，则；⑤，其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴结论正确的为①③⑤， 故答案为：①③⑤． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论①；②；③；④若，则．其中正确的是： ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ， 故①不正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ， 故②正确； ③， ，对称轴为直线， 当时， ， ， ， 故③正确； ④由②得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 故答案：②③④． 类型四、二次函数的将军饮马(最小) 【解惑】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点的坐标为， 点的坐标为． (1)求抛物线过点时，求实数的值； (2)已知点的坐标为，求的最小值； (3)若抛物线与线段有且只有一个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)的值为或 (2)的最小值为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，轴对称——最短路径问题，一次函数的图像与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）将代入抛物线中求解即可； （2）将抛物线化为顶点式可得，推出抛物线的顶点在直线上运动，作点关于直线的对称点，过点作轴于点，得到，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理求出即可； （3）先求出直线的解析式为，联立，结合判别式可得：，由（1）知，当时抛物线过点，点在线段上， 当抛物线过点时，，可得：，，结合当时，抛物线过，两点，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得：或， 的值为或； （2）， ， 抛物线的顶点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点，过点作轴于点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， ， ，， ， 的最小值为； （3）设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（2）知，抛物线的顶点在直线上运动，在抛物线上从左到右的运动过程中，会经历抛物线与线段从相离到相切、相交、再相离的过程， 联立， 得到：， ， 解得：， 由（1）知，当时抛物线过点，点在线段上， 当抛物线过点时，， 解得：，， 当时，抛物线过，两点， 或． 【融会贯通】 1．对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题：如图，已知抛物线的图象与x轴交于O，A两点，且过点． (1)求抛物线C的解析式和点A坐标； (2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象． ①抛物线D的解析式为_______． ②设M为抛物线D上任意一点，轴于点N，求的最小值； 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）把点代入，待定系数法求解析式，令，解方程，即可求得点的坐标； （2）①根据二次函数的平移规律，得出解析式即可求解； ②设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，由抛物线焦点和准线的性质可得，可知，又，故当点与点重合时，的值最小，由勾股定理可得的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 在中，令得或， ； （2）①解：根据题意，抛物线解析式为 故答案为：． ②， 抛物线的焦点为，，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连结、，交抛物线于点，如图： 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， ， ； ， 当点与点重合时，的值最小， 此时的值最小． ，，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，新定义等知识，解题的关键是读懂新定义，能熟练应用抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等解决问题． 2．如图，抛物线经过，两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接，点H为的中点．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标． (2)请直接写出点H的坐标． (3)在y轴上确定一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键； （1）把已知两点的坐标代入，求出、的值，可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标； （2）根据、两点的坐标确定中点的坐标； （3）作出点关于轴的对称点点，连接与轴交点即为，求出即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ， 解得：， 所求函数的解析式为：， ， 顶点， （2）解：坐标为， ，， 中点的坐标为， （3）解：的坐标为， 其关于轴的对称点坐标为， 连接与轴交于点， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为：， 当时，， ， 此时，． 点的坐标为，最小值为． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点M的坐标． 【答案】(1)； (2)；的最小值为 (3)面积的最大值为；此时点M的坐标为 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）连接，根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）过点作轴，垂足为，交于点，设，则，根据得出，求出最大值，然后再求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：把代入得， ∴， 连接，交直线于点P，连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，且最小值为的长， 设直线的解析式为：， 则：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点P的坐标为，的最小值为； （3）解：过点作轴，垂足为，交于点，如图所示， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值为， 此时点M的坐标为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 类型五、二次函数的三点共线与铅锤高(最大) 【解惑】如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求对应的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，可设抛物线的解析式为，再把代入，即可求解； （2）根据抛物线的性质可得，从而得到当A，C，P共线时，的值最大，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：或4， ∴， 由题意设抛物线的解析式为， 把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∵抛物线与是“共根抛物线”，， ∴抛物线、的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点为P， ∴点P在直线上， ∴， ∴， 如图，当A，C，P共线时，的值最大， 此时点P为直线与直线的交点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ∵直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．已知二次函数、为常数的图象与轴交于点，两点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)如图，点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． (3)如图，点是二次函数图象上轴右侧上一动点，过点作于点， 轴交直线于点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键． （1）将，代入，即可求解； （2）设，则，，且，分情况：①当点P位于直线的右侧时，则；②当点P位于直线的左侧及其上时，则，分别化简求得对应的二次函数最值，综合求得最大值即可； （3）由题意可得，设，则，再由点在直线上，即可求的值，进而确定点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ； （2）解：的面积存在最大值；理由如下： 设，则， ， 令，则，解得， ， ①当点P位于直线的右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， 当时，有最大值，此时； ②当点P位于直线的左侧及其上时，如图，过点作轴交直线于点， 则 ， ∵点是二次函数图象在第一象限内的一个动点，且位于直线的左侧及其上， ∴， 当时，有最大值，此时； 综上所述，当点P位于直线的右侧时，有最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： 如图2， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， ， 设， ∵在右侧， 则， 点在直线上， ， 解得：或， 或； 综上，的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，求一次函数解析式： （1）将、的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过作y轴的平行线，交直线于，交轴于，求得直线的解析式，可设出点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的点坐标． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入二次函数解析式得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，    设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则点的坐标为； 在中，当时， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为． 类型六、二次函数的应用——图形问题 【解惑】如图．某小区在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住，如何设计才能使绿化带的面积最大？ 【答案】当米,米时,绿化带的面积最大,最大面积为平方米 【分析】此题考查二次函数的应用，设边长为，绿化带的面积为，则可得到，然后根据自变量的取值范围解题即可． 【详解】解：设边长为，则边长为，绿化带的面积为， ， ， 解得， ∵，开口向下， ∴当时，绿化带的面积最大， ∴即当米,米时,绿化带的面积最大,最大面积为平方米． 【融会贯通】 1．如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米．    (1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式并写出的取值范围； (2)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)两个鸡场面积和有最大值，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用，解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式，再由的取值范围可得出的取值范围； （2）将关于的关系化为顶点式，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，，即， ∴， 即关于的关系式是， 又由题意可得：，即， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：， 当时，取得最大值，此时， 即两个鸡场面积和有最大值，最大值是． 2．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系，易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式． （1）利用矩形面积公式列式即可求出； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 3．如图，小明利用围墙的一段（围墙最长可利用8米），再砌三面墙，围成一个矩形菜园，并在段留有1米宽的门（该处不消耗墙的材料），现在已经备足可以砌15米长的墙的材料． (1)要使菜园的面积为30平方米，不计墙的厚度，求段的长． (2)请问为多长时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，并求出最大值． 【答案】(1)的长为5米； (2)当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设的长为米，则的长为米，根据菜园的面积为30平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合围墙最长可利用8米，即可得出结论； （2）设矩形面积为S平方米，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为5米； （2）解：设矩形面积为S平方米， 根据题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值32， 当时，，符合题意． ∴当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米． 类型七、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，经过市场调查，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．设销售单价为x元/千克，每月的销售量为y，每月的销售利润为w元． (1)分别求出y与x，w与x的函数解析式； (2)当商店月销售利润为6750元时，求销售单价； (3)当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】(1)， (2)销售单价为55元或者85元 (3)当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识. （1）根据按50元千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克写出月销售量为与售价为的函数关系式，根据月利润每千克的利润销售量可得出w与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （2）根据月利润每千克的利润销售量列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据月利润每千克的利润销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 且， ， 与之间的函数解析式为； 根据题意可得，w与x的函数解析式为：， 整理后得：； （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，， 答：当月销售利润为6750元时，售价为55元或85元； （3）解：， ， 当时，取得最大值，此时， 答：当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润是9000元． 【融会贯通】 1．某种植基地种植一种蔬菜，它的成本为每千克12元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 14 15 16 日销售量y（千克） 2000 1800 1600 (1)直接写出y与x的关系式____________； (2)求种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润； (3)销售一段时间以后，由于某种原因，该蔬菜每千克成本增加了2元，在日销售量y（千克）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该蔬菜的日销售利润能否达到6000元？ 【答案】(1)； (2)种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为元； (3)该蔬菜的日销售利润不能达到元，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）根据总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值； （3）根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式得出原方程无解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解：， ∴y与x的函数关系式为：， 故答案为：； （2）解：设种植基地销售该蔬菜获得的日利润为w元，由题意得： ， ， ∴当时，w最大值， ∴种植基地销售该蔬菜获得的最大日利润为元； （3）解：该蔬菜的日销售利润不能达到元，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ， ∴原方程没有实数根， ∴该蔬菜的日销售利润不能达到元． 2．近年来，成都体育事业得到了迅速发展，已有更多的市民参与到体育锻炼中来．某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为元个，若以元售出（规定每个篮球的售价不低于进价），每月能售出个．经调查发现，这种篮球的售价每上涨元，其月销售量就将减少个．设每个篮球的售价为元，每月的销售量为个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设销售这种篮球每月的总利润为（元），如果该商店这种篮球每月的销量不低于个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为元可获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用． （1）根据销量与进价的关系就可以求出结论； （2）根据销售问题的数量关系表示出与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可得：， ， 当时，随的增大而增大， 这种篮球每月的销量不低于个， ， ， 当时，（元）， 答：销售单价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 3．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)； (2)该食品的售价为30元/千克 (3)售价为35元时，每天获利最大为1350元 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； （3）解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 类型八、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，．点P从A点开始沿A边向点B以秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以秒的速度移动（一个点到达终点另一个点即停止运动）． (1)几秒钟后，P、Q相距6厘米？ (2)经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？ (3)经过几秒钟，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)秒 (2)2秒或4秒 (3)经过3秒钟，的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （3）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式求出的面积，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， ∵， ， ∴， 解得，（舍去）， ∴经过秒钟后，P、Q相距6厘米； （2）解：设运动时间为x秒， 根据题意，得， 解得，， ∴经过2秒或4秒钟，的面积等于是的三分之一 （3）解：设运动时间为x秒， 根据题意，得， ∴当时，有最大值为9， 即经过3秒钟，的面积最大，最大面积是． 【融会贯通】 1．如图，在中，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），如果分别从同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为， ，． ． （2）解：， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在自变量x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 2．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．如果、两点分别从、两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为． (1)________，________．（用含有的式子表示） (2)设的面积为，当为何值时，的面积最大？求该最大值． 【答案】(1)， (2)所以当为3时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点． （1）由题意得，由可得含有的式子，由题意可直接得； （2）先列出的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 所以， 故答案为：，； （2）解：的面积 ， 所以当为3时的面积最大，最大面积是． 3．如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为（单位：秒）． (1)①当运动停止时，的值为______. ②设，之间的距离为，则与满足______（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系”） (2)设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； ②是否可以为？若可以，请求出此时的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①①；②一次函数关系 (2)①；②不可以为，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及动点问题，三角形的面积，解题的关键是用含有的式子表示、的长度． （1）①根据时间路程速度即可求解；②由，，可得，即可求解； （2）①由（1）得：，，最后根据，即可求解；②由，可得时，有最大值为，即可判断． 【详解】（1）解：①，点沿边向以每秒个单位长度的速度运动， 当运动停止时，的值为， 故答案为：； ②，， ， 即， 与满足一次函数关系， 故答案为：一次函数关系； （2）①由题意得：， 由（1）得：， ， ； ②不可以为，理由如下： ，且， 时，有最大值，最大值为， ， 不可以为． 类型九、二次函数的应用——周长与面积问题 【解惑】如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直线交点的确定，用待定系数法求直线的解析式是解本题的关键，确定点的位置是解本题的难点． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点的位置，再确定出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 在抛物线上，， 解得． 抛物线的解析式为； （2）解： 中， 令，则 解得，， ，． ∵是定值， ∴求的周长最小就转化为求的最小值， 由抛物线的对称性，知点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴，当点三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点，此时的值最小． 设直线的解析式为， ， 解得： 故直线的解析式为． 当 时，． ． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像及性质、轴对称的性质等知识，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图像及性质． （1）首先确定点的坐标，再代入抛物线解析式，即可求出答案； （2）首先求出点坐标以及抛物线对称轴为，根据轴对称的性质可得，故有周长，当点在同一直线上时，的周长最小，利用待定系数法解得直线的解析式，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； （2）如图所示， 对于抛物线，其对称轴为， 令，可得，解得， ∴， ∵点在直线上，关于直线对称， ∴，， ∴周长， 当点在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 2．已知抛物线（为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若是该抛物线上一点， ①当点在轴上方，且时，求点的坐标； ②当点在下方，且取得最大值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）①先求出点坐标，再求出，进而可求出，设点的纵坐标为，表示出，最后根据面积关系列出方程即可求解；②如图，过点作轴于点，交于点，设点，利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点坐标，可得，最后根据得到与的二次函数解析式，根据二次函数性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入函数解析式得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴点的坐标为或； ②如图，过点作轴于点，交于点， 设点，直线的函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴． 3．如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为． (1)直接写出A、B点的坐标_____，_____； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①②③ 【分析】本题主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标． （1）令，则，所以或，由此可得结论； （2）①由题意可知，，所以，由平行线分线段成比例可知，； ②过点P作交于点Q，所以直线的解析式为．设点P的横坐标为m，则，．所以，因为，所以，由二次函数的性质可得结论； ③假设存在点P使得，过点C作轴交抛物线于点F，由，可知平分，延长交x轴于点M，易证为等腰三角形，所以，所以直线的解析式为，令，可得结论． 【详解】（1）解：令，则， ∴或， ∴，． 故答案为：；． （2）解：①对于，当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴． ②如图，点P作交于点Q， 设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则，． ∴； ∵， ∴， 设点C到的距离为， ∴， ∴ ∴当时，的最大值为． ③假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F， ∵， ∴， 延长交x轴于点M， ∵轴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 类型十、二次函数的新定义 【解惑】定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“琦点”．例如，点是函数的图象的“琦点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“琦点”？如果存在，求出“琦点”的坐标； (2)若抛物线有两个“琦点”为点，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）．当的面积为10时，求抛物线解析式； (3)若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当两部分组成的图象上恰有3个“琦点”时，求m的值． 【答案】(1)函数的图象上不存在“琦点”；函数的图象上存在“琦点”为和； (2)； (3)或2或． 【分析】（1）根据 “琦点”的定义分析计算即可； （2）首先确定抛物线的对称轴，根据“琦点”的概念得到，进而可得，，结合，可解得或6，然后分情况确定点坐标，利用待定求解即可； （3）首先确定抛物线旋转后的抛物线解析式，再根据“琦点”的定义解得图像上两个“琦点”的坐标，然后分图像上只有一个“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，分别求解即可． 【详解】（1）因为当时，无解， ∴的图像不存在“琦点”， 当时， 整理得， 解得或1 ∴的图像存在“琦点”为和． （2）由题可知抛物线的对称轴为， ∵抛物线有两个“琦点”为点， ∴根据“琦点”的概念得，， ∴， ∵过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合）， ∴点A和点C关于对称轴对称， ∴点C的横坐标为3， ∴， ， ，即， 解得或6． ①当时， ，解得． ②当时， ，解得（不合题意，舍去）． 综上，抛物线解析式为； （3）抛物线绕点旋转后的图象记为 ∴开口大小不变，方向向反，对称轴不变为y轴 ∴的二次项系数为1 ∴设的表达式为，顶点坐标为 ∵抛物线的顶点和关于对称 ∴，解得 ∴的解析式为， 由，得或 ∴图像上有两个“琦点”和 ①图像上只有一个“琦点”，即与只有一个交点， ， 解得． ②图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则， 解得得． ③图像上有两个“琦点”且其中一个为的“琦点”，则， 解得． 综上，或2或． 【点睛】本题主要考查了新定义问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、解一元二次方程等知识，正确理解新定义“琦点”是解题关键． 【融会贯通】 1．我们定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． (2)当“特征数”是的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当若（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值（为常数）． 【答案】(1) (2)或 (3)或或1 【分析】（1）根据题意，易得“特征数”是得函数解析式为，将图像向上平移2个单位，根据一次函数图像平移的特征，即可获得答案； （2）“特征数”是的函数解析式为，将其化为顶点式可知该抛物线的顶点为，对称轴是直线，分四种情况讨论：①当时；②当时；③当时；④当时，分别求解可得答案； （3）分四种情况讨论：①当时；②当时； ③当时；④当时，分别求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，“特征数”是的函数为， 将其向上平移2个单位， 则得到的新函数的解析式为； （2）解：“特征数”是的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点为，对称轴是直线， 由抛物线的性质可知，当与时，值相等且， ①当，即时，抛物线的最高点在处取得， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时，抛物线的最高点在处取得， ∴， 解得或（舍去）， ③当，即时，抛物线的最高点在取得， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； ④当，即时，抛物线的最高点在处取得， ∴， 解得， 综上所述，的值为或； （3）解：根据题意，可知，， 由（2）知抛物线的顶点坐标为，且， ①当，即时， 抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当，即时， 抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③当，即时，需要分两种情况讨论： 抛物线与直线有两个交点，如图， 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴， ∴，， ∴，解得； 抛物线与矩形相邻两边有交点，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，到轴距离与到轴距离都为2， ∴到轴距离为1，即， ∴， ∴，解得（舍去）或； ④当时，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 综上所述，的取值为或或1． 【点睛】本题考查新定义、二次函数的综合应用、平移变换和对称变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”． (1)函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是___ (2)若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求的值； (3)若点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于两点，由点四点构成的四边形面积记为，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解新定义是解题关键． （1）根据“凡尔赛函数”概念解答即可； （2）根据点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为，解答即可： （3）点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，解出b，c的值，代入，令，得，解答即可 【详解】（1）解：在函数的图象上不存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上， 函数不是“凡尔赛函数”； 在函数和的图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上， 函数和是“凡尔赛函数”； 故答案为：②③； （2）解：点是一次函数的“凡尔赛点”，点的“后凡尔赛点”为， 得； 当时，，满足条件； 当时， 关于的一元二次方程有实数根， 解得， 又为整数， ， 当时，，解得； 当时，解得（舍去），． 综上:． （3）解：点是二次函数（其中a，b，c为常数,）的“凡尔赛点”， “后凡尔赛点”的坐标为， ， 解得：， ， 令，得， 设两点的横坐标分别为， 令，则， ， ， 解得， ， ， 又 ． 3．定义：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，我们称抛物线与互为“伴随抛物线”． (1)判断下列抛物线是否为抛物线的“伴随抛物线”，是的打“ √”，不是的打“ ”： ① ___；② ___；③ ___ (2)若抛物线（为实数且）与互为“伴随抛物线”，请问抛物线的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由； (3)已知抛物线（为实数且）与轴交于点，抛物线：与轴交于点，若抛物线与互为“伴随抛物线”，且，请问是否为定值，若是，求出这个值； 若不是，请说明理由． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)经过定点 (3)是定值，4 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题中所给新定义结合二次函数的图象与性质可进行求解； （2）由题意易得的顶点坐标为，则有，然后抛物线化简为：，进而问题可求解； （3）由题意易得抛物线的顶点为，则有，然后可得，进而可得，推出，同理可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为，则有： ①把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”； ②把点代入明显不成立，故与不是“伴随抛物线”； ③把点代入明显成立，而二次函数的顶点坐标为，代入明显成立；故与是“伴随抛物线”； 故答案为√，×，√； （2）解：∵， 的顶点坐标为， ∵抛物线与互为“伴随抛物线”, 点在抛物线上， ∴，化简得， 抛物线化简为：， 令， 解得或， 抛物线过定点，坐标为、； （3）解：抛物线， ∴抛物线的顶点为， 抛物线与互为“伴随抛物线”， 点在抛物线上， ∴， 化简得①， ∵， ∴， 代入①得：②， 抛物线与轴交于点， ∴是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵ ， 同理可得， ， 为定值，定值为4． 【一览众山小】 1．如图所示，二次函数的图象分别与x轴、y轴交于A点、B点和C点，已知．则由抛物线的特征写出如下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，与轴的交点个数判断②，特殊点判断③和④． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线与轴有2个交点， ∴， ∴，故②正确； 由图象可知当时，，当时，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴图象经过， ∴， ∵， ∴；故④错误； 故选C． 2．如图，点E、F、G、H分别是正方形边、、、上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．设正方形的边数为m，然后割补法求面积得到y、x与m的关系，然后根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为m，则， ∵，则，， ∴， ∴y与x的函数图象开口向上，顶点坐标为， 故y与x的函数图象可能为选项B中图象， 故选：B． 3．抛物线的对称轴是直线，且过点顶点位于第二象限，其部分图象如图所示给出以下判断：①，且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则．其中正确的个数有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴且，故①错误， ∵抛物线对称轴，经过， ∴和关于对称轴对称， ∴时，， ∴，故②正确， ∵抛物线与x轴交于， ∴时，， ∴， ∵， ∴，即，故③错误， ∵，， ∴，故④正确， ∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为， ∴方程的两个根分别为， ∴， ， ∴，故⑤错误，正确的个数为2个． 故选：D． 4．二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 5．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，过点Q作轴于点H，求出点C的坐标为，点B的坐标为，求出直线的解析式为：，设点P的坐标为，则点Q的坐标为：，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，然后求出最大值即可． 【详解】解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解一元二次方程，理解二次函数的性质是解答关键． 根据题意先表示出，利用得到，利用有最小值来求解． 【详解】解：点是直线的一个动点， ， ． 有最小值， 且， 整理得， 解得，， 经检验，，都是方程的根，符合题意． 故答案为：1或． 7．某商场销售某种商品，成本为每个元．当售价为元时，平均每月售出个；为提高利润，商家决定涨价出售，经过一段时间的销售，发现若售价每上涨元，其月销售量就减少个． (1)求出月销售量（个）与售价（元）之间的关系式． (2)当售价定为何值时，利润最大，求最大利润． 【答案】(1) (2)定价元时，最大利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）设利润为元，根据题意求出与之间的二次函数关系，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， 即； （2）解：设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①；②，S有最大值6；③满足条件的t的值为或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵，， ∴ ， ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ③∵， 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，过点C作交于M，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 9．二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B的坐标； (2)若，点D是该二次函数在第一象限图象上的动点，作轴，交二次函数的图象于另一点E，作点D关于y轴的对称点F．那么线段的长是否为定值，请说明理由； (3)若点P是该二次函数图象上的动点（不与A，B，C重合），作直线，分别与y轴交于点M，N，在P点运动的过程中，是否为定值，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）令得到，解方程即可； （2）由得对称轴为直线，设，则，由点关于轴对称，则，故； （3）设，求得直线，则，同理直线，则，故，则，故是定值，且为． 【详解】（1）解：当，则， ∴， ∴或， ∴； （2）解：长是定值，理由如下： 由得对称轴为直线， 设，则由题意得：， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下： 当时，， ∴ 设，直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 当，， ∴， 设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，且为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，二次函数的对称性，难度较大，计算较复杂，正确化简计算是解题的关键． 10．我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“能效函数”，其图象上这一点成为“能效点”，如：“能效函数”，其“能效点”为． (1)在下列关于x的函数中， （请填写对应序号）是“能效函数”； ①；②；③ (2)若点A、B是“能效函数”（其中）上的“能效点”，且，求m的取值范围； (3)若“能效函数”的图象上存在唯一的一个“能效点”，且当时，求k的值． 【答案】(1)②③ (2)； (3)或． 【分析】（1）按照题意令，解方程，然后判断作答即可； （2）设，由题意知，，整理得，，则，，，由，可得，计算求解即可； （3）由“能效函数”的图象上存在唯一的一个“能效点”可得方程有唯一实数根，则，即得，，关于的二次函数图象开口向下，对称轴为直线，分①当，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；②当，，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；③当，，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可；④当，即时，当时，n取最小值k，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：①令，则，此时方程无解， ∴函数不是“能效函数”； ②令，即，解得，， ∴是“能效函数”； ③令，即，解得，或， ∴是“能效函数”； 故答案为：②③； （2）解：设， 当时，则， ∵点A、点B是“能效函数”（其中）上的“能效点”， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为； （3）解：∵“能效函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点” ∴方程，即方程有唯一的实数根， ∴， 解得，， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ①当，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，（舍去），（舍去）； ②当，，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，，（舍去）； ③当，，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，，（舍去）； ④当，即时， 当时，n取最小值k， ∴， 解得，（舍去），（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$