专题01二次函数（基础类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的认识 【解惑】下列关于的函数一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 3．二次函数的二次项系数是 ． 类型二、列二次函数关系式 【解惑】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 3．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 类型三、y=ax²的图象与性质 【解惑】抛物线经过点，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．关于二次函数的图象的性质下列说法中错误的是（   ） A．图象有最高点，最大值为0 B．函数图像关于轴对称 C．时，随的增大而减小 D．时，随的增大而增大 2．已知抛物线上有两点，，则与的大小关系为 ．（填“”或“”或“”） 3．一抛物线和另一抛物线的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是，则该抛物线的解析式为 ． 类型四、y=ax²+k的图象与性质 【解惑】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知点，点在抛物线上，则的大小关系（   ） A． B． C． D．无法比较 2．关于二次函数，下列说法正确的为 ． ①抛物线开口向上；②抛物线的顶点坐标为；③抛物线的对称轴为y轴；④当时，y随x的增大而增大 3．当时，二次函数中y的取值范围是 ． 类型五、y=a(x-h)²的图象与性质 【解惑】若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 3．已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ． 类型六、y=a(x-h)²+k的图象与性质 【解惑】关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为 C．最大值为 D．当，y随x的增大而减小 【融会贯通】 1．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 3．二次函数的最小值是 ． 类型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 【解惑】已知抛物线（a为常数，且）的图象上三点．，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列关于抛物线的判断中，正确的是（   ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．该抛物线与轴没有交点 2．二次函数，当时，的范围是 ． 3．二次函数图象上部分点的横纵坐标，的对应值如表： n (1)表中的_______，_________； (2)若是这个函数图象上的两点，且，则_____________（填“”或“”或“”）． 类型八、二次函数的平移 【解惑】抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把抛物线向左平移2个单位、向下平移1个单位后得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 3．把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得新抛物线的解析式为 ． 类型九、抛物线与x轴、y轴的交点坐标 【解惑】若抛物线与y轴的交点为，则下列说法中，不正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是 C．当时，y有最大值为 D．抛物线与x轴的交点坐标为， 【融会贯通】 1．已知二次函数，图象的顶点为A，图象与y轴交于点B，O为坐标原点，则的长等于（    ） A．1 B． C． D． 2．抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ． 3．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 类型十、待定系数法求二次函数解析式 【解惑】如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【融会贯通】 1．抛物线经过，，三点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 2．如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式． 3．已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【一览众山小】 1．二次函数的图像经过点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．若点，在抛物线上，则它的对称轴是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线与y轴的交点坐标为 ． 5．当函数是二次函数时，的取值为 ． 6．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的解析式为 ． 7．二次函数的最大值为 ． 8．二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标； 9．已知二次函数． (1)将其化为的形式为_______________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)抛物线与x轴交点坐标为_______________； (4)时，y的取值范围是_______________． 10．已知一个二次函数的图象经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； (3)的面积为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的认识 【解惑】下列关于的函数一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数． 【详解】A、，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B、 ，是二次函数，故该选项正确，符合题意；      C、，当时，是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；     D、，未知数的最高次数不为2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：不是二次函数，故选项A不符合题意； ，不是二次函数，故选项B不符合题意； 是二次函数，故选项C符合题意； 是一次函数，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 3．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】根据二次函数一般式的定义求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键是掌握中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 类型二、列二次函数关系式 【解惑】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 2．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 3．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 类型三、y=ax²的图象与性质 【解惑】抛物线经过点，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，将点代入可得关于a的方程，解之可得． 【详解】解：将点代入，得， 解得， 故选：A． 【融会贯通】 1．关于二次函数的图象的性质下列说法中错误的是（   ） A．图象有最高点，最大值为0 B．函数图像关于轴对称 C．时，随的增大而减小 D．时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据解析式可得二次函数开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，则函数图像有最低点，最小值为0，函数图像关于轴对称，在对称轴右侧，随的增大而增大，在对称轴左侧随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴函数图像有最低点，最小值为0，函数图像关于轴对称，在对称轴右侧，随的增大而增大，在对称轴左侧随的增大而减小， ∴时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ∴四个选项中，只有A选项说法错误，符合题意， 故选：A． 2．已知抛物线上有两点，，则与的大小关系为 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．直接根据二次函数的图象和性质作答即可． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴在直线右侧，随的增大而增大， ∴， 故答案为：． 3．一抛物线和另一抛物线的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，先把解析式设为顶点式，再根据二次项系数a决定开口方向和形状得到，据此可得答案． 【详解】解：设该抛物线解析式为， ∵抛物线的与抛物线的形状和开口方向完全相同， ∴， ∴该抛物线解析式为， 故答案为：． 类型四、y=ax²+k的图象与性质 【解惑】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知点，点在抛物线上，则的大小关系（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象上点的特点，判断点，点在抛物线对称轴的距离位置，即可比较大小． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴 ∴在y轴右侧，y随x增大而增大 ∵ ∴ 故选：B． 2．关于二次函数，下列说法正确的为 ． ①抛物线开口向上；②抛物线的顶点坐标为；③抛物线的对称轴为y轴；④当时，y随x的增大而增大 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数的图象和性质，分别得对称轴为轴，顶点为，当，开口向上，当，开口向下，据此逐个分析即可求解．本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点为， 当时，随的增大而增大， ∴①③④说法正确，符合题意，②说法错误，不符合题意． 故答案为：①③④． 3．当时，二次函数中y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值为， 当时，， 当时，， 故当时，y的取值范围是， 故答案为：． 类型五、y=a(x-h)²的图象与性质 【解惑】若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求得函数图象的开口方向和对称轴，根据各点离对称轴的距离求解即可． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 2．有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 3．已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题时注意抛物线的增减性和分类讨论数学思想的运用． 由解析式可知函数在时取得最小值，时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为3可分如下两种情况：①当时，时，y取得最小值3，②当时，当时，y取得最小值3，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质，h的值不可能在1到3之间， ①当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， ②当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， 综上可得，或5． 故答案为：或5． 类型六、y=a(x-h)²+k的图象与性质 【解惑】关于二次函数的图像与性质，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为 C．最大值为 D．当，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可进行判断． 【详解】解：， 抛物线开口向下， 故选项A错误，不符合题意； ， 抛物线的对称轴为直线， 故选项B错误，不符合题意；； ， ，函数有最大值， 故选项C错误，不符合题意； 抛物线开口向下，且对称轴为， 当时，函数值随自变量的增大而减小， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为，根据离对称轴越远，值越大即可求解． 【详解】解：已知二次函数解析式为， ∴图象开口向上，对称轴为， ∴离对称轴越远，值越大， ∵， ∴， 故选：A ． 2．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 3．二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，熟练掌握顶点式形式解析式与最值问题的关系是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数，，开口向上， ∴当时，有最小值，最小值为：， 故答案为：． 类型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 【解惑】已知抛物线（a为常数，且）的图象上三点．，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性与增减性是解题关键． 根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断点的对称点也在函数图象上，再利用对称轴右侧随的增大而增大，可判断． 【详解】解：∵对称轴为，抛物线开口向上， 根据二次函数图象的对称性可知的对称点为， 由各点坐标可知在对称轴的右侧，随的增大而增大， 因为，于是． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列关于抛物线的判断中，正确的是（   ） A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．该抛物线与轴没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、抛物线与抛物线二次项系数绝对值不相等，所以形状不同，故该选项错误； B、该抛物线对称轴为，故该选项正确； C、该抛物线的对称轴为，开口向下，所以当时，随的增大而增大，故该选项错误； D、因为，顶点坐标为，开口向下，所以与轴有交点，故该选项错误； 故选：B． 2．二次函数，当时，的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数解析式求出对称轴和开口方向，可知抛物线在对称轴处有最小值，再求出端点处的函数值即可得出最后结果． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口方向向上， 当时，函数有最小值， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 3．二次函数图象上部分点的横纵坐标，的对应值如表： n (1)表中的_______，_________； (2)若是这个函数图象上的两点，且，则_____________（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】从表中可以看出当和时都对应，可以得到抛物线的对称轴是，根据抛物线的对称性求出、的值； 从表中可以看出抛物线的顶点坐标是并且是抛物线的最高点，可知抛物线开口向下，所以在对称轴左侧随的增大而增大，可得与的大小关系． 【详解】（1）解：当时，当时， 抛物线的对称轴是， 点的对称点是，的对称点是， ，， 故答案为：，； （2）解：当时，当时， 抛物线的对称轴是， 从表中可以看出点是抛物线的最高点， 当时，随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质．二次函数的图象是抛物线，当时抛物线开口向上，图象有最低点，对称轴是，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大；当时抛物线开口向下，图象有最高点，对称轴是，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小． 类型八、二次函数的平移 【解惑】抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题．先整理成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线解析式为， 故选：C． 【融会贯通】 1．把抛物线向左平移2个单位、向下平移1个单位后得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为，可得新抛物线的解析式为． 故选：B． 2．将抛物线向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为． 故答案为：． 3．把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得新抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 类型九、抛物线与x轴、y轴的交点坐标 【解惑】若抛物线与y轴的交点为，则下列说法中，不正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是 C．当时，y有最大值为 D．抛物线与x轴的交点坐标为， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，把代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标． 【详解】解：把代入得， ∴抛物线的解析式为：， A. 抛物线开口向上，说法正确，不符合题意； B. 抛物线的对称轴是，说法正确，不符合题意； C. 当时，y有最小值为，说法错误，符合题意； D. 令，解得，故抛物线与x轴的交点坐标为和，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．已知二次函数，图象的顶点为A，图象与y轴交于点B，O为坐标原点，则的长等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的顶点坐标，与轴的交点坐标，勾股定理的应用，先求解，顶点，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴， 故选：B． 2．抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及抛物线的对称性，根据抛物线解析式得到其对称轴，再结合抛物线的对称性，即可得到它与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为， 其对称轴为直线， 它与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为：． 3．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 类型十、待定系数法求二次函数解析式 【解惑】如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 【融会贯通】 1．抛物线经过，，三点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． （1）把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵ ， ∴顶点坐标为． 2．如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与坐标轴交点问题； （1）根据题意得出，待定系数法求抛物线的解析式，即可求解； （2）根据解析式得出点的坐标为，进而待定系数法求的解析式即可求解． 【详解】（1）解：因为，所以． 把代入， 得，解得． 所以抛物线的解析式为，即． （2）当时， 可得， 则点的坐标为． 设直线的解析式为． 把代入，得，解得． 所以直线的解析式为． 3．已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【一览众山小】 1．二次函数的图像经过点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点，掌握代入法求解是解题关键． 直接将坐标代入二次函数表达式即可求出结果． 【详解】解：将代入得， 故选：B． 2．若点，在抛物线上，则它的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是明确在抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称．根据两点的纵坐标相同，横坐标的和的一半就是对称轴即可求解． 【详解】解：点，在抛物线上，则它的对称轴是， 故选：D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，的顶点坐标为．根据抛物线的解析式即可写出函数的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线顶点式：， ∴顶点坐标为：． 故选：D． 4．抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握轴上的点横坐标为0是解题关键．令，则，即可得到与y轴的交点坐标． 【详解】解：抛物线， 令，则， 即与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 5．当函数是二次函数时，的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如、、是常数的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义解答即可； 【详解】解：由题意得：，即， 故答案为：． 6．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，熟知二次函数的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知，平移后的抛物线的解析式为：． 故答案为：． 7．二次函数的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查求二次函数的最值，将一般式转化为顶点式，根据顶点式的性质，即可得出结果． 【详解】解：， ∴当时，二次函数的最大值为6； 故答案为：6 8．二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标； 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】（1）利用二次函数的对称轴为即可求解． （2）①将点带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 二次函数的对称轴为：． （2）①将点带入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：； ②变形得：， 顶点坐标为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 9．已知二次函数． (1)将其化为的形式为_______________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)抛物线与x轴交点坐标为_______________； (4)时，y的取值范围是_______________． 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) (4) 【分析】对于（1），根据完全平方公式配成顶点式即可； 对于（2），根据二次函数图象的画法：列表，描点，连线即可； 对于（3），令，求出x的值，即可得到答案； 对于（4），根据二次函数图象先求出当时，有最小值，再根据距离对称轴越远，y值越大，求出即可． 【详解】（1）解：. 故答案为：； （2）如图所示； （3）令时，， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标为， 故答案为：； （4）由（1）可知， ∴当时，y有最小值为. ∵，距离对称轴越远越大， 当是，y有最大值为5． 所以y的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的画法，求二次函数最值，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图象的性质． 10．已知一个二次函数的图象经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴和顶点P的坐标； (3)的面积为 ． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)该抛物线的对称轴为直线，顶点为； (3)27 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点代入可求得，将的值代入可求得抛物线的解析式； （2）把解析式化成顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标； （3）根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点代入得：． 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， 该抛物线的对称轴为直线，顶点为； （3）解：． 故答案为：27． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$