14.2 乘法公式 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学上册

乘法公式 1、 平方差公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 1、计算 （a+3）（a-3）= （3b+2）（3b-2）= （3m-2n）（-2n-3m）= （x+1）（1+x）= （a+b）（b-a）= （-a+b）（a-b） = （x2-y）（x+y2）= (3x－5)(3x＋5) = (－2a－b)(b－2a)= (－7m＋8n)(－8n－7m) = (x－2)(x＋2)(x2＋4) = 2、计算 （2x+）（2x-）= (2x+y)(2x－y)= （3a＋2b)(3a－2b) = (200＋1)(200－1) = （2a-b）（2a+b）（4a2+b2）= 20×19 = 13.2×12.8 = 9.8×10.2=________ 2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1) = 3、对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（ ） A．3 B．6 C．10 D．9 4、若（2a+3b）（　　）＝9b2﹣4a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a 5、下列多项式的乘法运算可以运用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（x+1） B．（a+2b）（a﹣2b） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（﹣m﹣n）（m+n） 6、下面计算正确的是（　　） A．x3+4x3＝5x6 B．a2•a3＝a6 C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2 7、计算结果为x2﹣y2的是（　　） A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x﹣y） 8、下列运算正确的是（　　） A．a2+2a＝3a3 B．（﹣2a3 ）2＝4a5 C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）（b﹣a）＝b2 ﹣a2 9.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 10.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 2、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 1．计算 (a−b)2=             (a+3b)2 =   (a+b)2 =    （﹣m﹣4n）2 =   ( 2m−3n)(3n− 2m) =    (−5xy+4z)(−4z−5xy) =   (−a−b)( b+a) =  (b+c−a)(a−b−c) =    2、练习： ① (x+y)2 =______________; ② (-y-x)2 =_______________; ③ (2x+3)2 =_____________; ④ (3a-2)2 =_______________; ⑤ (2x+3y)2 =____________; ⑥ (4x-5y)2 =______________; ⑦ (0.5m+n)2 =___________; ⑧ (a-0.6b)2 =_____________. 3、（1）（-3a+2b）2=________________（2）(-7-2m) 2 =_______________________ （3）(-0.5m+2n) 2=______________ （4）(a-b) 2=_____________________ （5）(mn+3) 2=___________________ （ 6）(a2b-0.2) 2=______________________ （7）(2xy2-3x2y) 2=_______________ （8）(2n3-3m3) 2=___________________ 4、利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032 （5）20042； （6）999.82； （7）（﹣99.9）2； （8）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1 5、下列计算正确的是（ ） A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x2−0.4 C．(a2+3b3)(3b3−a2) = a4−9b6 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2 6、计算(−2y−x)2的结果是（ ） A．x2−4xy+4y2    B．−x2−4xy−4y 2    C．x2+4xy+4y2    D．−x2+4xy−4y2 7、下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．(−2b−5)(2b−5)            B．(b2+2x2)(2x2−b2) C．(−1− 4a)(1− 4a)           D．(−m2n+2)(m2n−2) 8、下列各式中，能够成立的等式是（ ） A．(x+y)2 = x2+y2                        B．(a−b)2 = (b−a)2 C．(x−2y)2 = x2−2xy+y2                 D．(a−b)2 =a2+ab+b2 9、运用乘法公式计算（m﹣2）2的结果是（　　） A．m2﹣4 B．m2﹣2m+4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m﹣4 10、下列计算正确的是（　　） A．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 B．（m+2n）2＝m2+4n2 C．（﹣3x+y）2＝3x2﹣6xy+y2 D． 11、计算： (1)( x+y2)( x−y2)； (2)(a+2b−c)(a−2b+c)； (3)(m−2n)(m2+4n2)(m+2n)； (4)(a+2b)( 3a−6b)(a2+4b2)； 　　 (5)(m+3n)2(m−3n)2； (6)( 2a+3b)2−2( 2a+3b)(a−2b)+(−a+2b)2． 　　 3、完全平方式配方 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 1、若方程x2+kx+64＝0的左边是完全平方式，则k的值为（　　） A．16 B．±8 C．﹣16 D．±16 2、如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．±15 B．15 C．±30 D．30 3、已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2 4、若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是（　　） A．±6 B．±12 C．±36 D．±72 5、已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（　　） A． 4 B．8 C．16 D．﹣16 6、 (a+b）2=（a-b）2+______． 7、 若，ab=2，则=_______． 8、 已知，则代数式的值为_________． 9、（a+b）2=（a－b）2+_____，（a－b）2=（a+b）2+_______． 10、（a+b－c－d）（a－b+c－d）=[（a－d）+（______）][（a－d）－（____）]． 11、已知x+y=-5，xy=6，则x2+y2=______． 12、若(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋A，则A＝______. 13、若，则代数式的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 14、若，则的值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 15、设 ，则 （    ） A． B． C． D． 16、若，则 17、若，则代数式的值为________. 18、已知x+y=5，xy=1.（1）求x2+y2的值.（2）求(x﹣y)2的值. 19、已知x+y＝6，xy＝4，求①x2+y2，②(x−y)2，③x2+xy+y2的值. 20、阅读材料：若，求 m、n的值． 解：， ． ． ． ． 根据上述材料，解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 21、阅读下面的解题过程： 已知，试求m和n的值． 解：由已知得：， 因此得出：， 所以只有当且时，上式才能成立． 因而得且． 请你参考上面的解题方法，解答下面的问题： 已知，试求x，y的值． 22、阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料1：①一个数的平方一定是非负数，如；②两个非负数的和也是非负数，如；③一个非负数与一个正数的和是正数，如． 材料2：若，则；若，则；若，则． 材料3：利用可以将一个代数式化为的形式．任务： (1) 将化为的形式． (2) 比较与的大小． 23、（1）已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围． （2） 已知，试比较P，Q的大小． 24、（1）已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断△ABC的形状，并说明你的理由； （2）当m，n为何值时，多项式2有最小值，并求出这个最小值． 25、已知，求和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$