第三章第05讲 章节复习专题：位置与坐标（10类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第05讲 章节复习专题：位置与坐标 (10类热点题型讲练) 目录 【考点一 用有序数对表示位置/路线】 1 【考点二 判断点所在的象限】 3 【考点三 求点到坐标轴的距离】 4 【考点四 已知点所在的象限求参数】 6 【考点五 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标】 9 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 13 【考点七 作图——轴对称变换】 14 【考点八 与图形面积相关的点的存在性问题】 19 【考点九 平面直角坐标系中规律性问题】 27 【考点十 平面直角坐标系中新定义型问题】 31 【考点一 用有序数对表示位置/路线】 例题：（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．礼堂6排22号 C．重庆市宏帆路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如下表，若田径场的位置可以表示为区，则办公楼的位置可以表示为（   ） 序号 田径场 喷泉 教学楼 实验楼 篮球场 办公楼 食堂 宿舍楼 A．区 B．区 C．区 D．区 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【考点二 判断点所在的象限】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）下列各点中，位于第三象限的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）若点在第一象限，则点在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【考点三 求点到坐标轴的距离】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原点的距离是 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南湘西·阶段练习）点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是 ． 2．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）已知点P的坐标是，且点P到两坐标轴的距离相等，则 ． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标为 ． 【考点四 已知点所在的象限求参数】 例题：（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，有一点 (1)当点P在y轴上时，求出m的值； (2)已知点A的坐标为， 当轴时， 求出m的值． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，有一点． (1)当点在轴上时，求出的值并求出此时点的坐标； (2)已知点的坐标为，当直线轴时，求出的值并求出此时点的坐标． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点，解答下列各题． (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 【考点五 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标】 例题：（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图所示为某市部分建筑简图，每个小方格的边长为1个单位，请建立合适的平面直角坐标系．使高铁南站的坐标为，并写出人民体育馆、市民广场的位置坐标． 2．（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图为某县区几个公共设施的平面示意图，小正方形的边长为1． (1)请以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系； (2)在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各设施的坐标． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 例题：（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如果点和点关于轴对称，则的值是 ，的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果，关于轴对称，则 ． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ． 3．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）已知点A坐标为，则A关于x轴对称的点的坐标为 ．关于y轴对称的点的坐标为 ． 【考点七 作图——轴对称变换】 例题：（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)请写出点，，的坐标； (3)在轴上找出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 2．（24-25八年级上·全国·期中）平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为、、． (1)若与关于y轴对称，请在平面直角坐标系中画出； (2)的面积是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 【考点八 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（22-23七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是． (1)点B的坐标为______，点C的坐标为______； (2)请作出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标为______； (3)四边形的面积是______； (4)点在边上，过点P作轴于点Q，请用含m的代数式表示的面积______． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【考点九 平面直角坐标系中规律性问题】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图在一个单位为1的方格纸上，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 3.（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【考点十 平面直角坐标系中新定义型问题】 例题：（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点（，）是“龙沙点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点是“龙沙点”． 2．（23-24七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点是“完美点”，求点的长距． 3．（23-24七年级下·广西河池·期末）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 章节复习专题：位置与坐标 (10类热点题型讲练) 目录 【考点一 用有序数对表示位置/路线】 1 【考点二 判断点所在的象限】 3 【考点三 求点到坐标轴的距离】 4 【考点四 已知点所在的象限求参数】 6 【考点五 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标】 9 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 13 【考点七 作图——轴对称变换】 14 【考点八 与图形面积相关的点的存在性问题】 19 【考点九 平面直角坐标系中规律性问题】 27 【考点十 平面直角坐标系中新定义型问题】 31 【考点一 用有序数对表示位置/路线】 例题：（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．礼堂6排22号 C．重庆市宏帆路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、东经，北纬的位置明确，故A不符合题意； B、礼堂6排22号的位置明确，故B项不符合题意； C、重庆市宏帆路无法确定物体的具体位置，故C项符合题意； D、港口南偏东方向上距港口10海里的位置明确，故D项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题主要考查了数对和位置的表示，掌握有序数对的意义是解答本题的关键．根据题意可知用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可解答． 【详解】解：小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如下表，若田径场的位置可以表示为区，则办公楼的位置可以表示为（   ） 序号 田径场 喷泉 教学楼 实验楼 篮球场 办公楼 食堂 宿舍楼 A．区 B．区 C．区 D．区 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】此题考查了有序数对表示位置，根据田径场的位置在第一行第一列，可以表示为区，即可得出办公楼的位置． 【详解】解：田径场的位置可以表示为区， 由表可知，办公楼的位置可以表示为区， 故选：A． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置表示为，按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，可得答案． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 解：A．，原A位置表示错误，故该选项符合题意； B．，B点位置表示正确，故该选项不符合题意； C．，D点位置表示正确，故该选项不符合题意； D．，E点位置表示正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 【考点二 判断点所在的象限】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）下列各点中，位于第三象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标；每个象限点的坐标特征，第一象限的坐标；第二象限的坐标，第三象限的坐标，第四象限的坐标．据此即可作答． 【详解】解：A、在第一象限，故本选项不符合题意； B、在第二象限，故本选项不符合题意； C、在第三象限，故本选项符合题意； D、在第一象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）若点在第一象限，则点在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数求出、，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点在第一象限， ，， ，， 点在第三象限． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点横坐标和纵坐标特点判定即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵， ∴横坐标为负和纵坐标为正， 根据平面直角坐标系特点，点在第二象限， 故选：． 3．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 根据第四象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为， 故选：D． 【考点三 求点到坐标轴的距离】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原点的距离是 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义， 横坐标的绝对值就是到y轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到x轴的距离.求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离， 求得P的横坐标绝对值即可求得P点到y轴的距离， 求点的长度可得出到原点的距离． 【详解】解： 点P坐标为， 点P到 x轴的距离是； 到y轴的距离， 到原点的距离为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南湘西·阶段练习）点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征， 根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】∵点P在第四象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ∴点P的横坐标是4，纵坐标是， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）已知点P的坐标是，且点P到两坐标轴的距离相等，则 ． 【答案】1或 【知识点】求点到坐标轴的距离、绝对值方程 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离，根据到两坐标轴的距离相等得到，解绝对值方程即可得到答案． 【详解】解：∵点P的坐标是，且点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：1或 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． （1）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为 ； （2）若点P在第二、四象限的角平分线上，则点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是掌握点的坐标与点到坐标轴的距离的关系，以及象限的角平分线上的点的坐标特征． （1）根据点所处象限及到轴的距离，可得，求出a的值，进而可得点的坐标； （2）根据第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，由此可解． 【详解】（1）解：点位于第三象限，且到轴的距离为2， ， 解得， ， 点的坐标为 故答案为：； （2）∵点在第二、四象限的角平分线上 ∴， 解得， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点四 已知点所在的象限求参数】 例题：（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解一元一次方程等知识，解决本题的关键是熟记坐标轴上点的坐标特征． （1）根据点在y轴上，横坐标为0，求出a的值，即可解答； （2）根据点在第二象限，点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，得到，，，即可解答． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ∴， 点的坐标为． （2）点在第二象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等， ，，， ∴， 解得． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，有一点 (1)当点P在y轴上时，求出m的值； (2)已知点A的坐标为， 当轴时， 求出m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形 【分析】本题主要考查直角坐标系中点的坐标，熟知点的坐标在y轴上的特征，和平行于x轴的点的坐标特征是解题的关键． （1）当点P在y轴上时，横坐标为零，可得到，得到； （2）当平行于x轴，则点和点的纵坐标相等，得到，即可求出． 【详解】（1）解：当点P在y轴上时，得 解得：； （2）解：平行于x轴，且 解得：． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，有一点． (1)当点在轴上时，求出的值并求出此时点的坐标； (2)已知点的坐标为，当直线轴时，求出的值并求出此时点的坐标． 【答案】(1)或，点P的坐标或； (2)，点P的坐标． 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，写出平面直角坐标系的点的坐标： （1）根据在x轴上的点的纵坐标为，进行列式计算，即可作答． （2）根据直线轴，则点与点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴ ∴或， ∴或； 即点P的坐标或； （2）解：∵点Q的坐标为，，直线轴， ∴， 即， ∴ 即点P的坐标． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）已知点，解答下列各题． (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P到x轴、y轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离： （1）根据在y轴上的点横坐标为0求出a的值即可得到答案； （2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同求出a的值即可得到答案； （3）点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵到x轴、y轴的距离相等，， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，则 当时，，则 综上所述，点P的坐标为或． 【考点五 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标】 例题：（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题： (1)请在示意图中建立平面直角坐标系； (2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【答案】(1)见解析 (2)客运中心离坐标原点更远，理由见解析 【知识点】坐标与图形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，找到原点是解题的关键． （1）根据县政府和四川省武胜中学校的坐标确定出原点的位置，建立平面直角坐标系即可； （2）根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点和最远的点． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：沿口古镇的坐标为，客运中心的坐标为， ∴沿口古镇到坐标原点的距离为， 客运中心到坐标原点的距离为． ∴， ∴客运中心离坐标原点更远． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图所示为某市部分建筑简图，每个小方格的边长为1个单位，请建立合适的平面直角坐标系．使高铁南站的坐标为，并写出人民体育馆、市民广场的位置坐标． 【答案】见解析，人民体育馆的位置坐标为，市民广场的位置坐标为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点坐标．熟练掌握平面直角坐标系，点坐标是解题的关键． 由高铁南站的坐标为作平面直角坐标系，然后作答即可． 【详解】解：∵高铁南站的坐标为， ∴作平面直角坐标系如下： ∴人民体育馆的位置坐标为，市民广场的位置坐标为． 2．（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图为某县区几个公共设施的平面示意图，小正方形的边长为1． (1)请以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系； (2)在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各设施的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图书馆：，商场：，医院：，车站： 【知识点】用有序数对表示位置、实际问题中用坐标表示位置 【分析】（1）以学校为原点建立直角坐标系即可； （2）以学校为原点建立直角坐标系，根据图形可得其余各设施的坐标． 【详解】（1）解：如图：以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系如下： （2）解：其余各设施的坐标分别为： 图书馆：，商场：，医院：，车站：． 【点睛】本题主要考查的是用坐标确定位置，准确写出其余各设施的坐标是解决本题的关键． 3．（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系和点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先建立合适的坐标系，再表示出所求点的坐标即可； （2）直接在坐标系中标出各点即可． 【详解】（1）解：画坐标轴如图所示，火车站，体育场，医院； （2）解：如图所示． 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 例题：（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如果点和点关于轴对称，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 2 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 故答案为：2；． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果，关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：∵，关于轴对称， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ． 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标为互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵和点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）已知点A坐标为，则A关于x轴对称的点的坐标为 ．关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案；根据关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数进而求出答案． 【详解】解：根据题意可知：点关于轴对称的点的坐标为； 点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：，． 【考点七 作图——轴对称变换】 例题：（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请写出关于轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于轴对称的； (3)在轴上求作一点，使点到、两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标______． 【答案】(1)点，， (2)见解析 (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可； （2）根据轴对称的性质，画出； （3）画出，连接，与轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：与关于轴对称， 点，，． （2）如图，即为所求． （3）如图，点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)请写出点，，的坐标； (3)在轴上找出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用轴对称变换的性质分别分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据图形可得三点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，，，； （3）解：如图，点即为所求． 2．（24-25八年级上·全国·期中）平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为、、． (1)若与关于y轴对称，请在平面直角坐标系中画出； (2)的面积是 ； (3)已知P为x轴上一点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)4 (3)或 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作轴对称图形、三角形的面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质得出点的对应点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）根据三角形的面积求出，进而即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）解：， 故答案为：4； （3）解：为轴上一点，的面积为4， ， ， ， 点的横坐标为：或， 或． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或． (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、连接两点作辅助线全等（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、坐标与图形等知识点，熟练掌握轴对称图形的性质及数形结合解决问题是解题的关键． （1）先点关于y轴对称的点的坐标为，同理可得：，，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标； （3）如图：连接，与y轴的交点即为点P，然后直接写出坐标即可． 【详解】（1）解： 如图：即为所求． （2）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． （3）解：如图：连接，与y轴的交点P即为所求． 由平面直角坐标系可得：． 【考点八 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（22-23七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先证明轴， 再由点A和点B的坐标得到，，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，，则，，设， 再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：轴，， 轴， 点A的坐标为，点B的坐标为 ，， ； （2）解：点坐标为， ，， ， ∴， 设，如图所示： 当点在轴上方时，则点P一定在点E上方， ∴ ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴下方时， 过点作轴于N， ∴ ， ， 或（舍去）， 点的坐标为：； 点的坐标为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形 【分析】本题考查了非负数的性质、坐标与图形性质、一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求解即可； （2）首先求出，然后利用三角形的面积公式列式即可； （3）设点，则，然后根据的面积是的面积的2倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ， 又点在第三象限， ∴， ∴； （3）解：设点，则， 当时，， 由题意得：， 解得：， ∴点P的坐标为或． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点A的坐标是． (1)点B的坐标为______，点C的坐标为______； (2)请作出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标为______； (3)四边形的面积是______； (4)点在边上，过点P作轴于点Q，请用含m的代数式表示的面积______． 【答案】(1)； (2) (3)65 (4) 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称变化，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据点A的坐标即可得到点B和点C的坐标，即可得到答案； （2）根据轴对称图形的性质画图并且写出坐标即可； （3）根据梯形的面积公式计算即可； （4）根据题意得出点的坐标，再求出的长，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：由于点A的坐标是， 故可得点B的坐标为；点C的坐标为； 故答案为：；； （2）解：根据轴对称图形的性质，找到对称的，作出图形； 点的坐标为； （3）解：根据点的坐标可得， ； 故答案为：； （4）解：点在边AB上，过点P作轴于点Q， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 【考点九 平面直角坐标系中规律性问题】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据点的坐标的变化探究出其变化规律是每个一循环，再根据相应位置上的点找到规律解答即可．能根据机器人的运动方式发现点（为正整数）的坐标可表示为是解题的关键． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， ∴（为正整数）的坐标可表示为， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是点坐标规律探究，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环． 分析点的运动规律，找到循环次数即可求解． 【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位． ， 当第2024秒点位置在， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图在一个单位为1的方格纸上，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是探究规律题型，考查了点的坐标，由特殊点出发找到规律是解题的关键． 根据图形先确定出在第四象限，再写出前几个三角形的相应的点的坐标，从而得到点坐标的变化规律，然后写出即可． 【详解】解：由图形可知，在第四象限， ∵，，…， ∴ ∴ 故答案为． 3.（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 【考点十 平面直角坐标系中新定义型问题】 例题：（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)是，理由见详解 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）由“长距”的定义求出的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （2）解：点的长距为5，且点Q在第三象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 点是“完美点”． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点（，）是“龙沙点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，试说明点是“龙沙点”． 【答案】(1)5 (2)或 (3)见解析 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义． （1）根据“长距“的定义解答即可； （2）根据“龙沙点”的定义解答即可； （3）由“长距“的定义求出 的值，然后根据“龙沙点”的定义求解即可． 【详解】（1）根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为1， 点的“长距“为5． 故答案为：5； （2）点是“龙沙点”， ， 或， 解得或； （3）点的长距为4，且点C在第二象限内， ， 解得， ， 点 的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 是“龙沙点”． 2．（23-24七年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点是“完美点”，求点的长距． 【答案】(1)5 (2)或 (3)5或19 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点到坐标轴的距离： （1）根据长距的定义，进行判断即可； （2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据完美点的定义，求出的值，进而求出点坐标，进而求出点的长距即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的“长距”为5； 故答案为：5； （2）由题意，得：， ∴或； ∴或； （3）由题意，得：， ∴或， ∴或， 当时，， ∵， ∴长距为5； 当时，， ∵， ∴长距为19； 综上：点长距为5或19． 3．（23-24七年级下·广西河池·期末）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． (1)点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． (2)点是“恒等点”，求的值． (3)如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 【答案】(1)不是 (2) (3)点坐标为 【知识点】坐标与图形、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查坐标与图形，掌握“恒等点”的定义是解题的关键． （1）根据“恒等点”的定义进行判断即可； （2）根据“恒等点”的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据“恒等点”的定义，求出的值，设，则，根据列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点不是“恒等点”； （2）过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点是“恒等点” ，解得 ； （3）点是“恒等点”，是正数 解得 点的坐标为 设，则 ， 解得 点坐标为 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$