2025年九年级中考数学一轮复习课件：第二十五讲矩形

第二十五讲　矩形 必备知识·夯根基 【知识要点】 1.矩形的判定 (1)有一个角是__________的平行四边形(定义);  (2)对角线__________的平行四边形;  (3)有三个角是__________的四边形.  　直角　 　相等　 　直角　 【对点练习】 1.下列条件中,不能判定平行四边形ABCD是矩形的是( ) A.∠A=∠C B.∠A=∠B C.AC=BD D.AB⊥BC A 【知识要点】 2.矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是__________;  (2)矩形的对角线__________;  (3)既是______________图形,又是轴对称图形.  　直角　 　相等　 　中心对称　 【对点练习】 2.下列语句中,不属于矩形性质的是( ) A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.两条对角线互相垂直 D 考点1　矩形的判定 例1 (2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形ABCD是矩形. 高频考点·释疑难 【证明】∵O是边AB的中点,∴OA=OB, 在△AOD和△BOC中,, ∴△AOD≌△BOC,∴AD=BC, ∵∠A=∠B=90°,∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠A=∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形. 【跟踪训练】 1.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定平行四 边形ABCD为矩形的是( ) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD D 2.(2024·兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD, EF⊥AC. (1)求证:四边形ADCE是矩形; (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 【解析】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵CE∥AD, ∴∠ECD=180°-∠ADC=90°, 又∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°, ∴四边形ADCE是矩形. (2)由(1)可知四边形ADCE是矩形.∴AE=DC,CE=AD=3,∠AEC=90°,∵D是BC的中点,BC=4,∴DC=AE=BC=2, 在△ADC中,∠ADC=90°, ∴AC===, ∵EF⊥AC,∴EF·AC=AE·CE, 即EF·=×2×3,∴EF=. 【名师点金】 矩形判定思路 (1)条件中有一个角是直角,判定该四边形是平行四边形; (2)四边形中有两个角是直角,找第三个为直角也可判定; (3)条件中有对角线相等,判定该四边形为平行四边形. 注意:(1)除了上述几种常用的判定方法外,还有“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”“两邻角相等的平行四边形是矩形”等. (2)对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形). 考点2　矩形的性质与计算 例2 (2024·威海中考)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折,使点C落在AB上的点C'处,折痕为MN,点D落在点D'处,C'D'交AD于点E.若BM=3, BC'=4,AC'=3,则DN=_____.   　 【跟踪训练】 (2024·巴中中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,DE⊥AC于点E,延长 DE与BC交于点F.若AB=3,BC=4,则点F到BD的距离为______.   　 1.(2022·铜仁中考)如图,在矩形ABCD中,A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则D的坐标为( ) A.(-2,-1) B.(4,-1) C.(-3,-2) D.(-3,-1) 贵州3年真题 D 2.(2022·毕节中考)矩形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠得 到△AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长是( ) A.3　 B. C.　　 D. D 3.(2023·贵州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为矩形内一点,且AB=1,AD=, ∠BAE=75°,∠BCE=60°,则四边形ABCE的面积是 ________.   -　 4.(2022·黔东南州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC, CE∥BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是________.  　20　 5.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC, ∠ABC=90°,有下列条件: ①AB∥CD,②AD=BC. (1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形; (2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积. 【解析】(1)选择①, 证明:∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形; 选择②, 证明:∵AD=BC,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形; (2)∵∠ABC=90°, ∴BC===4, ∴矩形ABCD的面积为3×4=12. 6.(2023·贵州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话: (1)请你选择一位同学的说法,并进行证明; (2)连接AD,若AD=5,=,求AC的长. 【解析】(1)小星:连接BE, ∵AE∥BD,DE∥BA, ∴四边形ABDE是平行四边形,∴AE=BD, ∵BD=BC,∴AE=BC, ∵AE∥BC,∴四边形AEBC是平行四边形, ∵∠C=90°,∴四边形AEBC是矩形, ∴∠EBC=90°,∴BE⊥CD; 小红:连接BE,CE, ∵AE∥BD,DE∥BA, ∴四边形ABDE是平行四边形, ∴AE=BD,AB=DE,∵BD=BC, ∴AE=BC,∵AE∥BC, ∴四边形AEBC是平行四边形, ∵∠C=90°,∴四边形AEBC是矩形, ∴AB=CE,∴DE=CE; (2)连接AD, ∵=, ∴设CB=2k,AC=3k, ∴CD=4k, ∵AC2+DC2=AD2, ∴(3k)2+(4k)2=(5)2, ∴k=, ∴AC=3. $$