2025年九年级中考数学一轮复习课件：第二十三讲锐角三角函数及其应用

第二十三讲　锐角三角函数及其应用 必备知识·夯根基 【知识要点】 1.特殊角的三角函数值 【对点练习】 1.(1)计算:4cos 60°=( ) A.4 B.2 C.2 D.2 (2)在△ABC中,+|1-tan B|=0则△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 D D 【知识要点】 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系:_________. (2)两锐角之间的关系:_____________. (3)边角之间的关系:sin A=cos B=___, sin B=cos A=___,tan A=___,tan B=___. (4)解直角三角形:由直角三角形中的__________, 求出其余______________的过程.  a2+b2=c2 ∠A+∠B=90° 已知元素 　未知元素　 【对点练习】 2.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=4,AB=5,则tan B=( ) A. B. C. D. A 【知识要点】 3.解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线 __________的叫做仰角,在水平线__________的叫做俯角.  　上方　 　下方　 图1 (2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和______________之比叫 做坡度(或叫做坡比),用字母______表示,即i=_____;坡面与____________的夹角 叫做坡角,记作α.所以i=_____=tan α.  图2 (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角. 　水平宽度l　 　i　  　 　水平面　  　 【对点练习】 3.(1)(教材再开发·北师九下P10T4改编)如图,小明在M处用高1.5 m(即CM= 1.5 m)的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°,将测角仪沿旗杆方向前进20 m到 N处,测得旗杆顶端B的仰角为60°,则旗杆AB的高度为( ) A.11.5 m B.20 m C.10 m D.(10+1.5)m D (2)如图,拦水坝的横断面是梯形,高BC=6米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为 ( ) A.4米　 B.6米　 C.12米　 D.12米 B 考点1　锐角三角函数的定义 例1 (2024·云南中考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则tan A的值为( ) A. B. C. D. 高频考点·释疑难 B 【跟踪训练】 1.(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2, ∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan ∠BCD的值为( ) A.2 B.2 C. D.3 B 2.(2024·眉山中考)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折 叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos ∠CEF的值为( )   A. B. C. D. A 【名师点金】 根据定义求三角函数值的方法 (1)已知两边,可借助勾股定理求第三边; (2)已知三边之比,可设参数进行作答; (3)不易求出的角,可转化等角替换解答. 考点2　特殊角的三角函数值 例2 (2024·云南中考)计算:70+()-1+|-|--sin 30°. 【解析】原式=1+6+-5- =2. 【跟踪训练】 1.(2024·深圳中考)计算:-2·cos 45°+(π-3.14)0+|1-|+()-1. 【解析】原式=-2×+1+-1+4 =-+1+-1+4 =4. 2.(2024·呼伦贝尔中考)计算:- (-)-3+tan 60°+|-2|+(π-2 024)0. 【解析】原式=8++2-+1 =11. 【名师点金】 熟记特殊角的三角函数值的方法 形象记忆:如图是一副三角板,含30°角的三边比为1∶∶2;含45°角的三边比为1∶1∶,再根据三角函数定义来解. 考点3　解直角三角形 例3 (2024·江西中考)将图1所示的七巧板,拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则 tan ∠CAB=_____.   　 【跟踪训练】 (2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan ∠ACB=1. (1)求BC的长; (2)求sin ∠DAE的值. 【解析】(1)在Rt△ABD中,AB=10,AD=6, ∴BD===8, 在Rt△ADC中,tan ∠ACB==1, ∴DC=6, ∴BC=BD+DC=8+6=14; (2)∵AE是BC边上的中线, ∴BE=BC=7, ∴DE=BD-BE=8-7=1, ∴AE===, ∴sin ∠DAE===. 【名师点金】 解直角三角形的规律 　　解直角三角形的方法可概括为:“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中”,即当已知斜边时,就用正弦(或余弦),无斜边时,就用正切;当求值可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;当可用已知数据又可用中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据. 考点4　解直角三角形的实际应用 例4 (2024·呼伦贝尔中考)综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图,无人机在离地面40米的D处,测得操控者A的俯角为30°,测得楼BC楼顶C处的俯角为45°,又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米,则楼BC的高度是多少米?(点A,B,C,D都在同一平面内,参考数据:≈1.7) 【解析】如图,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥DE于F,则四边形BCFE是矩形, ∴CF=BE,BC=EF, 由题意知AE==40(米),DF=CF, ∴DF=CF=BE=AB-AE=(80-40)米, ∴BC=EF=DE-DF=40-(80-40)=(40-40)米, ∴楼BC的高度为(40-40)米. 【跟踪训练】 1.(2023·郴州中考)某次军事演习中,一艘船以40 km/h的速度向正东航行,在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向,2小时后到达B处,测得小岛C在它的北偏西45°方向,求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据:≈1.41,≈1.73.结果精确到0.1 km). 【解析】由题意得,AB=40×2=80(km),∠CAB=30°,∠ABC=45°, 如图,过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴AD=CD,BD=CD, ∵AB=80 km,∴CD+CD=80, 解得CD=40-40≈29.2, 答:该船在航行过程中与小岛C的 最近距离为29.2 km. 2.(2024·重庆中考)如图,A,B,C,D分别是某公园四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) (1)求BC的长度(结果精确到0.1千米); (2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择 的路线为:D-C-B,乙选择的路线为:D-A-B.请 计算说明谁选择的路线较近? 【解析】(1)如图所示,过点B作BE⊥AC于E, 由题意得,∠CAB=90°-30°=60°,∠ABC=90°-15°=75°, ∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=45°, 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=2千米, ∴BE=AB·sin ∠BAE=2·sin 60°=千米, 在Rt△BCE中,BC===≈2.5千米, ∴BC的长度约为2.5千米; (2)如图所示,过点C作CF⊥AD于D, 在Rt△ABE中,AE=AB·cos ∠BAE=2·cos 60°=1千米, ∴AC=AE+CE=(1+)千米, 在Rt△AFC中,CF=AC·sin ∠CAF=(1+)·sin 30° =千米, AF=AC·cos ∠CAF=(1+)·cos 30°=千米, 在Rt△DCF中,∠DCF=30°,∠DFC=90°, ∴DF=CF·tan ∠DCF=·tan 30°=千米, CD===千米, ∴CD+BC=+≈4.03(千米),AD+AB=DF+AF+AB=++2≈5.15(千米), ∵4.03<5.15,∴甲选择的路线较近. 【名师点金】 三角函数实际应用常见辅助线的作法和基本图形 (1)构造一个直角三角形: (2)构造两个直角三角形: ①不同地点测量:　　　　②同一地点测量: 1.(2022·毕节中考)如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡 度为1∶,则AB的长度为( ) A.10 m B.10 m C.5 m D.5 m 贵州3年真题 A 2.(2024·贵州中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.若 sin ∠EAF=,AE=5,则AB的长为_________.   　 3.(2022·黔西南州中考)如图,我海军舰艇在某海域C岛附近巡航,计划从A岛向北偏 东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向,在B岛的北偏西40°方 向.A,B之间的距离为80 n mile,则C岛到航线AB的最短距离是________n mile.(参 考数据:≈1.4,≈1.7)  　34　 4.(2023·贵州中考)贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图①景区内修建观光索道.设计示意图如图②所示,以山脚A为起点,沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线夹角为45°,A,B两处的水平距离AE为576 m,DF⊥AF,垂足为点F.(图中所有点都在同一平面内,点A,E,F在同一水平线上) (1)求索道AB的长(结果精确到1 m); (2)求水平距离AF的长(结果精确到1 m). (参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,≈1.41) 【解析】(1)在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠A=15°,AE=576 m, ∴AB==≈600(m), 即AB的长约为600 m; (2)如图,延长BC交DF于G, ∵BC∥AE,∴∠CBE=90°, ∵DF⊥AF,∴∠AFD=90°, ∴四边形BEFG为矩形, ∴EF=BG,∠CGD=∠BGF=90°, ∵CD=AB=600 m,∠DCG=45°, ∴CG=CD·cos∠DCG=600×cos 45° =600×=300, ∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC+CG=576+50+300≈1 049(m), 即AF的长约为1 049 m. $$