2025年中考数学一轮复习 课件：第二十七讲 正方形

第二十七讲　正方形 必备知识·夯根基 【知识要点】 1.正方形的判定 (1)有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形(定义);  (2)一组邻边__________的矩形;  (3)一个角是__________的菱形;  (4)对角线相等且垂直的平行四边形 　相等　 　直角　 　相等　 　直角　 【对点练习】 1.下列命题为真命题的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 B 【知识要点】 2.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是__________;  (2)正方形的四条边都__________;  (3)正方形的两条对角线__________且互相______________,每一条对角线平分 一组对角;  (4)既是__________对称图形,又是轴对称图形.  　直角　 　相等　 　相等　 　垂直平分　 　中心　 【对点练习】 2.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等 D B 考点1　正方形的性质 例1 (2024·重庆中考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD 延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度 为( ) A.2 B. C. D. 高频考点·释疑难 D 【跟踪训练】 1.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD 的中点,则四边形EFGH的面积为_______.  　2　 2.(2024·河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的 坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6), 则点E的坐标为__________.  　(3,10)　 3.(2022·随州中考)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形. (1)求证:AE=CF; (2)已知平行四边形ABCD的面积为20, AB=5,求CF的长. 【解析】(1)∵四边形BEDF为正方形, ∴DF=EB,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC=AB,∴DC-DF=AB-EB, ∴CF=AE,即AE=CF; (2)∵平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,四边形BEDF为正方形, ∴5DE=20,DE=EB,∴DE=EB=4, ∴AE=AB-EB=5-4=1, 由(1)知:AE=CF,∴CF=1. 【名师点金】 特殊四边形性质的区别 项目 矩形 菱形 正方形 边 对边相等 四边相等 四边相等 角 四角相等 对角相等 四角相等 对角线 相等且平分 垂直且平分 垂直、相等且平分 考点2　正方形的判定 例2 已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O,添加条件___________________ _______________可使菱形ABCD成为正方形.  　AC=BD或AB⊥BC (答案不唯一)　 【跟踪训练】 (2024·山东中考)一副三角板分别记作△ABC和△DEF,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠BAC=45°, ∠EDF=30°,AC=DE.作BM⊥AC于点M,EN⊥DF于点N,如图1. (1)求证:BM=EN; (2)在同一平面内,将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置,点C与点E重合记为C,点A与点D重合,将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后,延长BM交直线DF于点P. ①当α=30°时,如图3,求证:四边形CNPM为正方形; ②当30°<α<60°时,写出线段MP,DP,CD的数量关系,并证明;当60°<α<120°时,直接写出线段MP,DP,CD的数量关系. 【解析】(1)设AC=DE=a, ∵∠ABC=∠DEF=90°,∠BAC=45°, ∴∠A=∠C=45°, ∴AB=BC, ∵BM⊥AC, ∴BM=AM=CM=AC=a, ∵∠EDF=30°,EN⊥DF, ∴EN=DE=a, ∴BM=EN; (2)①∵∠D=30°,CN⊥DF, ∴∠CND=90°,∠DCN=90°-30°=60°, ∵α=∠ACD=30°, ∴∠ACN=90°, ∵BM⊥AC, ∴∠PMC=∠BMC=90°, ∴四边形PMCN为矩形, ∵BM=EN,即BM=CN, 而BM=CM, ∴CM=CN, ∴四边形PMCN是正方形; ②如图1,当30°<α<60°时,连接CP, 由(1)可得:CM=CN,∠PMC=∠PNC=90°, ∵CP=CP, ∴△PMC≌△PNC(HL), ∴PM=PN, ∴MP+DP=PN+DP=DN, ∵∠D=30°, ∴cos D===cos 30°=, ∴=; 如图2,当60°<α<120°时,连接CP, 由(1)可得:CM=CN,∠PMC=∠PNC=90°,∵CP=CP, ∴△PMC≌△PNC(HL), ∴PM=PN,∴DN=PN-DP=MP-DP, ∵∠CDF=30°,∴cos ∠CDF===cos 30°=, ∴=. 【名师点金】 正方形的判定思路 (1)根据正方形的定义先判定一个四边形为平行四边形,再证明有一组邻边相等、一个角为直角; (2)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; (3)由于正方形的判定方法一般都是在其他特殊四边形的基础上判定的,而特殊四边形的判定方法又各异,所以在判定正方形时,一定要仔细考虑题目中的条件,选择适当的判定方法. 1.(2022·铜仁中考)如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,则阴影部 分的面积是( ) A.9 B.6 C.3 D.12 贵州3年真题 A 2.(2022·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D 作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为( ) A.2+2 B.5- C.3- D.+1 D 3.(2022·毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B分别在x轴、 y轴上,对角线交于点E,反比例函数y=(x>0,k>0)的图象经过点C,E.若点A(3,0),则k 的值是_______.  　4　 4.(2022·黔东南州中考)如图,折叠边长为4 cm正方形纸片ABCD,折痕是DM,点C落 在点E处,分别延长ME,DE交AB于点F,G,若点M是BC边的中点,则FG=_____cm.   　 $$