2025年中考数学一轮复习 课件：第二十六讲 菱形

第二十六讲　菱形 必备知识·夯根基 【知识要点】 1.菱形的判定 (1)有一组邻边__________的平行四边形(定义);  (2)对角线互相__________的平行四边形;  (3)四条边都__________的四边形.  　相等　 　垂直　 　相等　 【对点练习】 1.如图,要使平行四边形ABCD为菱形,还需添加的一个条件是_______________ __________.(写出一个即可)  　AB=AD(答案 不唯一)　 【知识要点】 2.菱形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都__________;  (2)菱形的两条对角线互相__________,并且每一条对角线平分______________;  (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的__________;  (4)既是______________图形,又是轴对称图形.  　相等　 　垂直　 　一组对角　 　一半　 　中心对称　 【对点练习】 2.(1)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,则∠BDA的度数为( ) A.40°　　　　　 B.50° C.80° D.100° (2)已知菱形两条对角线的长分别为5 cm和8 cm,则这个菱形的面积是 ________cm2.  A 　20　 考点1　菱形的判定 例1 (2024·云南中考)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长 贵州3年真题 【解析】(1)连接BD,AC,交于点O, ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点, ∴GF∥BD,HG∥AC, ∵四边形EFGH是矩形, ∴HG⊥GF,∴BD⊥AC, ∴平行四边形ABCD是菱形; (2)∵四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点, ∴GF=EH=BD,HG=EF=AC, ∵矩形EFGH的周长为22, ∴BD+AC=22, ∵四边形ABCD是菱形, 即BD+AC=OA+OB=11, ∵四边形ABCD的面积为10, ∴BD·AC=10,即2OA·OB=10, ∵(OA+OB)2=OA2+2OA·OB+OB2=121, ∴OA2+OB2=121-10=111, ∴AB==. 【跟踪训练】 1.(2024·上海中考)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角 线AC的垂线,如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为( ) A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 A 2.(2024·广元中考)如图,已知矩形ABCD. (1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线,交CD于点E,交AB于点F(不写作法,保留作图痕迹); (2)连接AE,CF.求证:四边形AFCE是菱形. 【解析】(1)如图1所示,直线EF为所求; (2)如图2,设EF与AC的交点为O, 由(1)可知,直线EF是线段AC的垂直平分线, ∴EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90°,OA=OC, 又∵四边形ABCD是矩形, ∴CD∥AB, ∴∠ECO=∠FAO, ∴△COE≌△AOF(ASA), ∴EC=FA, ∴EA=EC=FA=FC, ∴四边形AFCE是菱形. 【名师点金】 菱形判定思路 (1)用边来判定: ①先说明四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等; ②说明四边形的四条边都相等. (2)用对角线进行判定: ①先说明四边形是平行四边形,再说明四边形的对角线互相垂直; ②说明四边形的对角线互相垂直平分. 考点2　菱形的性质与计算 例2 (2024·福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在BC,CD边上,∠AEB=∠AFD,求证:BE=DF. 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D, ∵∠AEB=∠AFD, ∴△ABE≌△ADF(AAS), ∴BE=DF. 【跟踪训练】 1.(2024·绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长 是( ) A. B.6 C. D.12 A 2.(2024·临夏州中考)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点 C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为( ) A.(-4,2) B.(-,4) C.(-2,4) D.(-4,) 3.(2024·甘孜州中考)在菱形ABCD中,AB=2,则菱形的周长是_______.  4.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=________.  C 　8　 　57°　 【名师点金】 菱形计算中的常见解答技巧 (1)菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在的直线就是它的对称轴. (2)利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等,它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形,由此可与勾股定理联系,得到对角线和边之间的关系. (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. 1.(2022·贵阳中考)如图,将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形,则∠1的度数 是( ) A.40° B.60° C.80° D.100° 高频考点·释疑难 C 2.(2022·铜仁中考)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内 作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=,则BD的长为 _________(结果保留根号).  　2　 3.(2022·遵义中考)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放,顶点D与顶点H重合,菱形EFGH的对角线HF经过点B,点E,G分别在AB,BC上. (1)求证:△ADE≌△CDG; (2)若AE=BE=2,求BF的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,四边形HEFG是菱形, ∴AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB, ∴∠ADB-∠EHB=∠CDB-∠GHB, 即∠ADE=∠CDG, 在△ADE和△CDG中,, ∴△ADE≌△CDG(SAS); (2)过E作EQ⊥DF于Q,则∠EQB=90°,∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=90°,AD=AB=AE+BE=2+2=4,∠EBQ=∠CBD=45°, ∴∠QEB=45°=∠EBQ,∴EQ=BQ, ∵BE=2,∴2EQ2=22, ∴EQ=BQ=(负数舍去), 在Rt△DAE中,由勾股定理得: DE===2, ∵四边形EFGH是菱形, ∴EF=DE=2,∴QF===3,∴BF=QF-QB=3-=2. 4.(2022·安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在y轴上,A,C两点的坐标分别为(4,0),(4,m),直线CD:y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象交于C,P(-8,-2)两点. (1)求该反比例函数的解析式及m的值; (2)判断点B是否在该反比例函数的图 象上,并说明理由. 【解析】(1)将点P(-8,-2)代入y=中,得k=-8×(-2)=16, ∴反比例函数的解析式为y=, 将点C(4,m)代入y=中,得m==4; (2)点B在反比例函数的图象上,因为四边形ABCD是菱形,A(4,0),C(4,4),m=4, ∴B(8,m),∴B(8,2), 由(1)知,反比例函数的解析式为y=; ∵2×8=16,∴点B在反比例函数的图象上. $$