2024--2025学年沪科版九年级上学期期中诊断测试数学试卷（二）

2024--2025学年九年级沪科版上学期期中诊断测试数学试卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．= B．y＝ C．y=k D．y=k2x 3．抛物线与x轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．若线段成比例，则（    ） A． B．20 C．5 D．8 6．如图，与相交于点O，，若，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．如图，在矩形中，E 是边的中点，连接交对角线 于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（ ） A．y=（x＞0） B．y=（x＞0） C．y=（x＜0） D．y=（x＜0） 10．如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．将抛物线的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线解析式是 ． 12．已知：如图，四边形是菱形，，且．则的长 ． 13．如图是二次函数的图象，若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．    14．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 三、解答题 15．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    16．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）． （1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴． （2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由． 17．如图，矩形的边，，在上取一点，在边上取一点，使成直角，设 ， ，试以为自变量，写出与的函数关系式．并求为何值时，有最大值或最小值？ 18．已知抛物线的部分图象如图所示． (1)求，的值； (2)写出当时，的取值范围． 19．如图，已知中，，，，，点P在上，（与点不重合），Q点在上． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长． （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 20．如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点A的坐标为． (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在轴上，当时，求点的坐标． 21．学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由． 22．综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣+bx+8与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE=　 　； （3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由． 23．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，对角线AC、BD交于点O，且点O是AC、BD的中点． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)点E、F分别在线段BD和AD上，连接AE，EF，且∠AEF＝90°，AB＝5，AD＝12． ①当AE＝EF时，求sin∠AEB的值； ②当△ABE是以BE为腰的等腰三角形时，求点E到AD边的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年九年级沪科版上学期期中诊断测试数学试卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】A选项： ， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B选项： ， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C选项： ， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D选项： ， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．= B．y＝ C．y=k D．y=k2x 【答案】A 【详解】试题分析：A、一定是二次函数； B、自变量x在分母上，不是二次函数； C、当k＝0时不是二次函数； D、当k≠0时是正比例函数，当k＝0时是常函数． 故选A． 3．抛物线与x轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：令＝0， ∵Δ＝， ∴抛物线与x轴的交点个数是1． 故选：B． 4．如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线知，，∴A正确； B、由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误； C、由抛物线可知，，由直线知，，∴C错误； D、由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误； 故选：A． 5．若线段成比例，则（    ） A． B．20 C．5 D．8 【答案】C 【详解】解：， ， ． 故选：C． 6．如图，与相交于点O，，若，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】解：∵与相交于点O，， ∴， ∵，＝8， ∴， ∴＝6， ∴． 故选：C． 7．如图，在矩形中，E 是边的中点，连接交对角线 于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵E 是边的中点，， ∴， ∴， 故选：C． 8．在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小， ， 解得，则m可以是0. 故选A． 9．如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（ ） A．y=（x＞0） B．y=（x＞0） C．y=（x＜0） D．y=（x＜0） 【答案】D 【详解】试题分析：先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式． 解：设反比例函数的解析式为（k≠0） 由图象可知，函数经过点P（﹣1，1） 得k=﹣1 ∴反比例函数解析式为y=（x＜0）． 故选D． 10．如图，在正方形中，M，N分别为，上一点，且，连接，，交于点P，Q，R分别为，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在正方形中 ，， 又， ， ， ， ， 即， Q，R分别为，的中点，，， ，， 在中，，， ， ， 在中， ， ，， ， ， 即， ， 故选：B． 二、填空题 11．将抛物线的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线解析式是 ． 【答案】 【详解】抛物线向左平移2个单位， 再向上平移3个单位，得到解析式为． 故答案为：． 12．已知：如图，四边形是菱形，，且．则的长 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 13．如图是二次函数的图象，若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．    【答案】 【详解】解：根据函数图象可得的开口向下，顶点的纵坐标为， ∴当抛物线与x轴有两个公共点，即将向下平移个单位后与轴有两个交点， ∴ 即 故答案为：． 14．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 三、解答题 15．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 16．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）． （1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴． （2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由． 【答案】（1）－；（2）第一象限，理由见解析； 【详解】解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝． （2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）； ∵a＜0，∴﹣a＞0，1﹣a＞0，且二次函数的开口方向向下； ∴二次函数的大致图象如图： 所以二次函数的顶点在第一象限． 17．如图，矩形的边，，在上取一点，在边上取一点，使成直角，设 ， ，试以为自变量，写出与的函数关系式．并求为何值时，有最大值或最小值？ 【答案】，当时，有最大值． 【详解】分析：根据相似三角形的判定定理AA推知△ABP∽△PCQ，然后利用相似三角形的对应边成比例知=，即=，由此可以求得y与x的函数关系式y=﹣（x﹣4）2+，根据此函数式来求y的最值． 详解：∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°；     又∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°，     ∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，     ∴y=﹣x2+x，即y=﹣（x﹣4）2+，     ∴当x=4时，y有最大值． 18．已知抛物线的部分图象如图所示． (1)求，的值； (2)写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把和分别代入得 ， 解得． （2）根据题意，得抛物线的解析式为 ， ∴抛物线对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴． 19．如图，已知中，，，，，点P在上，（与点不重合），Q点在上． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长． （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ∵， （负根舍去） （2）∵的周长与四边形的周长相等， ， 20．如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点A的坐标为． (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在轴上，当时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴，， 解得，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：联立， 解得，， 所以，点B的坐标为， 令，则， 即直线与y轴的交点为， 设，则有， ∴或4， ∴点的坐标为或． 21．学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由． 【答案】(1)， (2)超过，理由见解析 【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，解得： ∴所求二次函数的解析式为 把点向左平移4个单位，得， 代入得：； （2）解：超过20分钟， 理由如下： 由解得：，（舍去）， 由，解得：， ， 而， 所以“拥挤状态”持续的时间超过20分钟． 22．综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣+bx+8与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE=　 　； （3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）C（0，8）（2）1：2（3）存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形，符合条件的G点的坐标为G（，）或G（，﹣）， 【详解】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令求出轴交点坐标； （2）先确定出直线 解析式为设出点E的坐标，表示出点而点D在直线AC上，列出方程 求出，从而得出结论； （3）先求出点的坐标，再分两种情况计算Ⅰ、当时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可，Ⅱ、当时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算． 试题解析：(1)∵点A(−6,0)在抛物线上， ∴ ∴ 令x=0，y=8， ∴C(0,8) (2)设 ∴P(m,0)， ∵点D为EP中点， ∴DP=DE,   ∵A(−6,0),C(0,8)， ∴直线AC解析式为 ∵点D在直线AC上， ∴ ∴m=−6(舍)或m=−4， ∴P(−4,0) ∴AP=2，OP=4， 故答案为1:2 (3)存在点G使得以点A，E，G为顶点的三角形为直角三角形， 连接EG，AG，作GM⊥l，GN⊥x轴， ∵EC∥x轴， ∴EP=CO=8， 把y=8代入 ∴ ∴x=0(舍)，或x=−2， ∴P(−2,0)， ∴AP=AO−PO=4， Ⅰ、如图1， 当 时， ∴ ∵ ∴∠MEG=∠EAP， ∵ ∴△EMG∽△APE， ∴ 设点 ∴ MG=PN=PO+ON=2+m， ∴ ∴m=−2(舍)或 ∴ Ⅱ、如图2， 当时， ∴ ∵ ∴∠NAG=∠AEP， ∵ ∴△GNA∽△APE， ∴ 设点 ∴AN=AO+ON=6+n， ∵ ∴n=−6(舍),或 ∴ 符合条件的G点的坐标为或 23．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，对角线AC、BD交于点O，且点O是AC、BD的中点． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)点E、F分别在线段BD和AD上，连接AE，EF，且∠AEF＝90°，AB＝5，AD＝12． ①当AE＝EF时，求sin∠AEB的值； ②当△ABE是以BE为腰的等腰三角形时，求点E到AD边的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【详解】（1）解：∵OA= OC，OB= OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ AB⊥AD， ∴∠BAD= 90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）①如下图1， 过点E作ET⊥AB于T，过点A作AH⊥BD于点H， ∵∠BAD= 90°，AB= 5，AD= 12， ∴ ∵АВ· AD= BD·АН， ∴AH=， ∵AЕ= EF， AE⊥ EF， ∴∠EAF= ∠AFE= 45 °， ∴∠TAE= 90°， ∵ET⊥AB， ∴∠ATE= 90°， ∴∠TAE= ∠TEA = 45°， ∴AT= TE， 设AT= TE= x， ∵ET//AD， 得出， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如下图2， 当BE= BA = 5时，过点E作EJ⊥AB于点J， ∵EJ// AD， 得出， ∴ ， ∴， ∴， ∴AJ=AB-BJ=5-=， ∴点E到AD的距离为； 如下图3中， 当AE= BE时，点E与O重合，过定点E作EK⊥AD于点K， ∵OA= OD， OE⊥AD， ∴AK=DK， ∵OB= OD， ∴OK=AB=， ∴点E到AD的距离为， 综上所述，满足条件的点E到AD的距离为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$