精品解析：江苏省南通市崇川区2023-2024学年高一上学期期中质量监测数学试题

2023—2024学年（上）高一期中质量监测 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 满足的集合的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知幂函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ） （参考数据，） A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 恰有4个单调区间 C. 的最小值为 D. 的图象与轴有4个公共点 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 不等式的解集为 C. 已知正数，满足，则的最小值为9 D. 12. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则______． 14. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，______． 15. 已知函数，的值域为，则的取值范围是______． 16. 写出一个同时具有下列性质①②的函数：______． ①；② 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合． （1）求 （2）设集合，若“”是“”的充分且不必要条件，求的取值范围． 18. （1）计算； （2）计算； （3）已知，求式子的值． 19. 如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道、将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点、分别在、上．（道路宽度忽略不计） （1）试确定道路修建方案，使得； （2）记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值． 20. 已知函数 （1）解关于的不等式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 21. 设为实数，已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围． 22. 已知函数，，其中． （1）当时，求函数的定义域与值域： （2）设集合，证明：； （3）已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年（上）高一期中质量监测 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 满足的集合的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，集合中还可能有，两个元素，列举即可. 【详解】用列举法可得：集合可以为，，，，共4个 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可得. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：B 3. 已知幂函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，获知函数的定义域和奇偶性，单调性等信息，可判断A,B两项，对于C,D两项，则需要函数的增长速度与比较，结合图象即可判定. 【详解】由图可知：幂函数的图象关于轴对称，故该函数为偶函数. 对于A，函数的定义域为，不是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，而图中有，故B错误； 对于C，函数为偶函数，且在第一象限中，其图象的增长速度比平缓，故 C正确； 对于D，函数为偶函数，且在第一象限中，其图象的增长速度比要快，不合题意,故D错误. 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，特殊值法判断C. 【详解】A，当时，有，而不等式的两边同乘，化简为，矛盾，错误； B，右侧不等式的两边同乘，可化简为，与题设矛盾，错误； C，取，，，错误； D，左边可化简为，即成立，右边可化简为，即成立，正确． 故选：D 5. 设函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，代入的表达式得解. 【详解】将代入解析式可得， 则. 故选：B． 6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性可得答案. 【详解】函数分为外函数：，内函数：； 根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增， 且外函数单调递减，则内函数在也单调递减； 为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以. 故选：A． 7. 已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，由，对分和讨论，利用函数单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】为奇函数， ，且函数在轴两侧单调性相同， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减 则对于求解集，使用分类讨论思想： （1）当，，，且在区间上单调递增， ； （2）当，，，且在区间上单调递增， . 综上所述：， 故选：C． 8. 火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ） （参考数据，） A. 22.1 B. 22.3 C. 22.5 D. 22.7 【答案】C 【解析】 【分析】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为. 故选：C 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用幂函数的单调性即可判断函数值的大小；对于B，利用指数函数的单调性判断即可；对于C，利用对数函数的单调性判断即可；对于D，利用中间数“1”判断即可. 【详解】对于A，为单调递增函数，，所以，A正确； 对于B，为单调递增函数，，所以，B正确； 对于C，为单调递减函数，，所以，C错误； 对于D，，，所以，D正确． 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 恰有4个单调区间 C. 的最小值为 D. 的图象与轴有4个公共点 【答案】AB 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断A，根据函数图象判断BCD. 【详解】由，，可知，为偶函数，A正确； 中含有绝对值，分类讨论去绝对值，得分段函数：， 画出对应图象： 由图可知：恰有4个单调区间，故B正确； 由图可知：分别在，时取得最小值，故C错误； 由图可知：的图象与轴有3个公共点，故D错误. 故选：AB 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 不等式的解集为 C. 已知正数，满足，则的最小值为9 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解对数方程判断A，换元解不等式判断B，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断C，取特殊值判断D. 【详解】选项A：， 且（真数大于0），故A错误； 选项B：设，则由可得 解得，又，，解得， 不等式解集为，故B正确； 选项C：因为正数，满足，所以 ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 选项D：取，则，故D错误． 故选：BC 12. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用换元法和函数的定义即可判断A,B两项；对于C，分别判断与以及与的一一对应关系，按函数定义可判断；对于D，通过举反例说明与函数定义矛盾排除D. 【详解】对于A，设，则，， 则取，， 一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，故A错误； 对于B，设，则， 故得，，符合函数定义，故B正确； 对于C，设，不妨记，则， 是增函数，一个对应一个， 又（）也是增函数，一个对应一个， 与为一一对应，同时符合函数定义，故C正确； 对于D，不妨取，解得，即， 一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，故D错误． 故选：BC. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合分段函数定义与指数、对数运算即可得. 【详解】，. 故答案为：. 14. 已知函数是偶函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】应用偶函数的性质求解即可. 【详解】解：当时，可得， 又因为当时，， 所以， 又因为函数是偶函数，即， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 15. 已知函数，的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】函数的表达式中含有绝对值，讨论去绝对值化成分段函数，结合函数图象求解. 【详解】由， 可得分段函数， 画出对应函数图象： 的值域为，且，, 所以的值能使得取得最小值； 由图可知：. 故答案为：. 16. 写出一个同时具有下列性质①②的函数：______． ①；② 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据已知性质结合指数函数的性质写出一个满足条件的函数解析式即可. 【详解】由①，得单调递增函数； 由②，由指数幂的运算性质， 可设，代入性质②得， ， 或， 单调递增函数， ， ，的形式均可． 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合． （1）求 （2）设集合，若“”是“”的充分且不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用对数函数和指数函数的性质求出集合，再利用补集和交集的运算即可求解； （2）若“”是“”的充分且不必要条件，转化为，再进行求解即可. 【小问1详解】 由，得 ， 又，，， ， 【小问2详解】 由于（1）可得 若 “”是“”的充分且不必要条件 则， ，或 所以的取值范围为． 18. （1）计算； （2）计算； （3）已知，求式子的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算的性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可； （3）运用完全平方公式，结合指数运算的性质进行求解即可. 【详解】（1） ； （2），， ； （3），，， 且， ，. 19. 如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道、将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点、分别在、上．（道路宽度忽略不计） （1）试确定道路修建方案，使得； （2）记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值． 【答案】（1） 延长、相交于点， 因为，，，所以，， 所以，，则为的中点，所以，， 由区域Ⅲ是以为底的梯形，可得， 于是，则， 设，，所以，，故， 由图可知，，所以，， 所以，，， 因为，则，即，所以，， 所以，当道路米时，. （2） 【解析】 【分析】（1）延长、相交于点，利用可推出为的中点，可得出，设，，由可得出，可推出，求出的取值范围，并求出、的表达式，由可求得结果； （2）求出，可得出“效能比”的表达式，结合二次函数的基本性质可求得“效能比”的最大值. 【小问1详解】 当道路米时，，理由略； 【小问2详解】 因为， 广场效能比为， 设，则二次函数的图象开口向上， 当时，函数取得最小值，即， 所以，， 所以，此规划下该广场效能比的最大值为． 20. 已知函数 （1）解关于的不等式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，解集为； 当时,的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）由，分，，结合二次函数的图象进行分类讨论； （2）分和，当时，结合二次函数图象列出使得时，恒成立应满足的条件即可求解. 【小问1详解】 . 要求，对于进行分类讨论， ①当时，，由可得：； ②当时，为二次函数，开口向下，由可得：； ③当时，为二次函数，开口向上， 此时的两根为，， 针对两根大小关系再次分类讨论， ⅰ），即时，此时； ⅱ），即时，此时或； ⅲ），即时，此时或； 综上所述：当时，解集为； 当时,的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【小问2详解】 当时，恒成立， 由， ①当时，，当时，不恒成立，不符合题意，舍去； ②当时，为二次函数， 要使时，恒成立， 则二次函数开口必须向上， 则，解得：， 故当时，恒成立，的取值范围为. 21. 设为实数，已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数是上的减函数，证明如下： 在上任取，不妨设，作差得： . 经化简可得， 因为，所以，所以， 则，所以，即为， 所以函数是上的减函数． （3） 【解析】 【分析】(1) 根据奇函数定义域为，求解并检验即可得； (2) 设上任取且，比较和0的大小，从而得在上的单调性； (3) 由（1）、（2）可知为奇函数且在上单调递减，则可化为在上有解，讨论的分类，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得定义域为 因为是奇函数，所以，代入得； 代入特殊值时，需要检验： 因为当时，； 所以为奇函数，则 【小问2详解】 函数是上的减函数，证明略； 【小问3详解】 因为在上有解， 由（1）、（2）可知为奇函数且在上单调递减， 所以， 因为为奇函数，则， 所以，又是上的单调函数， 所以在上有解， 则在上有解， 根据一元二次方程根的分布： ①当时，，即为，所以 若此时方程的解为，不符合题意，舍去； 若此时方程的解为，符合题意； ②当时，，即为， 所以或者； ⅰ）当时，在上有解， 可转化为在与轴有交点， 二次函数，对称轴，因为，所以， 所以对称轴在区间左侧，此时 此时在与轴没有交点，不合题意，舍去； ⅱ）当时，， 所以对称轴在区间上，此时 此时在与轴有2个交点； 综上所述： 22. 已知函数，，其中． （1）当时，求函数的定义域与值域： （2）设集合，证明：； （3）已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 【答案】（1）定义域为，值域为 （2）证明: 又因为，所以可得 要证明：即证明在上有解 存在，使得成立 ，即为， 不等式在上有解， 设，因此在上有解， 所以，解得， 在上有解 即可证明： （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质求定义域； （2）由对数函数性质不等式化为关于的一元二次不等式在上有解，再转化在上有解，利用根的分布知识求解可得； （3）确定与的图象关于轴对称，由对称性得矩形的中心在轴上，得，设点坐标（），由对称性表示出的坐标，由此由对称性求得，得出，从而可得结论． 【小问1详解】 由题意可得：，得， 定义域为． 当时，， ，， 值域为． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 与关于轴对称 由题意可知，矩形关于轴对称，所以，． 所以设点坐标（） 因为矩形且轴，轴 点坐标 又矩形关于轴对称 点横坐标为，同理可得点坐标 ，且该矩形的中心为点 所以可得：，消去 得： 所以，展开可得： 因式分解可得： 所以． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的解法是利用对数函数性质把问题转化为不等式有解问题，然后再转化为一元二次方程在区间内有解，从而利用二次方程根的分布知识求解．第（3）小题关键是确定函数图象的对称性，得出矩形中心在轴，然后设矩形顶点坐标，利用对称性把矩形中心坐标与顶点坐标建立关系，从而求得参数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $