第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（5分）（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数关于直线对称，当时，，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D．2e 8．（5分）（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 11．（6分）（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数，则（   ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．若满足，则 D．当时，若在上有最大值，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则实数 . 13．（5分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 14．（5分）（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当 时，栈道EG最短. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 16．（15分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)若，求在处的切线方程； (2)试讨论的单调性. 17．（15分）（23-24高二下·广东·期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形的面积最大时制冷效果最好．    (1)设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； (2)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽? 18．（17分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)若时，求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】根据导数的定义计算可得结果. 【解答过程】由导数的定义，. 故选：C. 2．（5分）（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，通过赋值逐项判断即可. 【解答过程】因为，所以， 则，所以， 则，所以. 故选：C. 3．（5分）（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得. 【解答过程】依题意，令，求导得，则在上单调递减， 由，得，不等式， 则或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4．（5分）（2024·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D. 5．（5分）（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数关于直线对称，当时，，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的对称性确定是偶函数，再结合函数单调性即可比较大小. 【解答过程】因为关于直线对称，则是偶函数， 当时，，所以函数在上单调递增. 因为， 再比较和的大小，构造函数， 则，令，得，此时单调递增， 所以，也即， 结合函数在上单调递增及偶函数可知. 故选：C. 6．（5分）（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的极值点，借助于求导求得的值，继而得到函数解析式，利用函数的单调性即可求得函数的最小值. 【解答过程】由求导得，， 依题意，，解得， 此时，，则，因， 故当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，即是的极大值点. 又因，故得函数在上递增，在上递减. 因显然， 故的最小值为. 故选：D. 7．（5分）（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D．2e 【解题思路】通过同构得对任意恒成立，令，利用导数得在上单调递增，从而得，即有在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得答案. 【解答过程】解：因为不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 不等式对任意恒成立， 所以不等式对任意恒成立， 令，则， 令，则， 当时，即单调递减； 当时，即单调递增； 所以， 所以在上单调递增， 又因为式对任意恒成立， 即， 所以在上恒成立， 即，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以a的最小值为. 故选：B. 8．（5分）（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 【解题思路】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断. 【解答过程】 令，则 ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴有极大值：，极小值：，且， ∴大致图像如下： 对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误. 对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误. 对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【解答过程】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 【解题思路】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得的范围. 【解答过程】由，可化为， 则又可化为， 令，则，令，得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故，且当，. 再令，则， 则关于的不等式在恒成立， 即在恒成立， 令，， 则，由解得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 要使在恒成立，则. 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数，则（   ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．若满足，则 D．当时，若在上有最大值，则 【解题思路】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误. 【解答过程】对于A，， 当时，或时，；当时，， 故为的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A的分析同理可得： 当或时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 而，， ，故只有一个零点； 对于C， ， 由题设可得恒成立， 故即，故C正确. 对于D，取，由B的分析可得： 在为增函数，在上为减函数，在为增函数， 而，，此时在无最大值， 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则实数 . 【解题思路】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设切线与曲线的切点，即可得，即，且，构造函数求导，根据导数判断函数单调性及方程的解，可得，即可得. 【解答过程】由，得， 所以切线斜率， 则切线方程为， 设直线与曲线的切点为， 且， 则，即，且， 设，， 所以当时；当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以有唯一解， 则， 故答案为：. 13．（5分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【解题思路】由解析式得出，令，得为奇函数，再利用导数得出的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可． 【解答过程】因为， 所以， 令，则，可得为奇函数， 又因为， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，可得在上为增函数， 因为， 所以在上恒成立， 当时，显然成立； 当，需满足，解得， 综上，， 故答案为：． 14．（5分）（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当 时，栈道EG最短. 【解题思路】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 【解答过程】由題意，， 设，则. 在中，得， 则. 由于，解得. 令，，则. 令，则， 当时，严格递增； 当时，严格递减； 所以，有最大值，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【解题思路】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可． 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4），则； （5）. 16．（15分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)若，求在处的切线方程； (2)试讨论的单调性. 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）讨论、、，判断导数正负，即可求出答案. 【解答过程】（1）由题意得， 由于，则，， 故切线方程. （2）令，则， ①当时，令，则；令，则或； 故在，上单调递减，在上单调递增； ②当时，恒成立，在上单调递减； ③当时，令，则；令，则或； 在，单调递减，在上单调递增. 综上：①当时，在，上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递减； ③当时，在，单调递减，在上单调递增. 17．（15分）（23-24高二下·广东·期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点，当凹多边形的面积最大时制冷效果最好．    (1)设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； (2)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽? 【解题思路】（1）根据可得，由勾股定理可得的关系，再根据可得x的取值范围； （2）设的面积为，计算可得，利用导函数判断单调性可得何时取最大值. 【解答过程】（1）由题意，，． 因，故． 设，则．因△ADP≌△CB'P，故． 由，得． （2）记凹多边形的面积为S，则 求导得， 当时，；当时，． 故函数S在上递增，在上递减． 所以当时，S取得最大值． 故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好． 18．（17分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)若时，求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）求导，令，可得，进而可得左右两侧的导数值的正负，可求最小值； （2）分离变换可得，令，可得，利用导数求得最大值即可. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 在上单调递减； 当时，，在上单调递增， . （2）由 ，令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减 . 19．（17分）（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【解答过程】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$