第22讲 导数的综合应用（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第22讲 导数的综合应用 【人教A版2019】 模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 利用导数研究函数零点（方程根）】 【例1.1】（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可求解. 【解答过程】 令，即， 则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数， 做出函数与函数的图像，如图所示， 当直线与曲线相切时， 又当时，，则，则，则，即且点为，此时， 因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D. 【例1.2】（23-24高三上·湖北·期中）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出的大致图象，方程有3个不同的实数根等价于曲线与直线一共三个交点，由数形结合判断即可. 【解答过程】当时，，， 则当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且当，又，； 当时，，， 则当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则. 所以的大致图象如图所示. 由，解得或. 由图象可知，没有根， 所以关于的方程有3个不同的实数根， 等价于有3个不同的实数根， 由图象可知，有3个不同的实数根，只需. 故选：B. 【变式1.1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）先求导函数，再依据题意求解检验即可. （2）由（1）得和，接着研究在上的正负从而得在上的单调性，根据单调性数形结合即可得解. 【解答过程】（1）由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，， 由得或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. （2）由（1）得，， 令，解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当时，取得极小值，无极大值，所以， 所以在区间上，的最大值为或，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 作出函数与直线的图像，如图，    由图知. 【变式1.2】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【解答过程】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 模块二 导数中的不等式问题 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．导数中的不等式恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【题型2 利用导数证明不等式】 【例2.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，证明：存在唯一零点； (2)当时，证明：． 【解题思路】（1）根据，构造函数，求导，根据函数的单调性求解最值，即可求证1是的唯一零点， （2）构造，求导可判断在区间上单调递增，即可求解. 【解答过程】（1）的定义域为， 当时，，注意到，即1是函数的零点， 下证1是的唯一零点， 易知1是函数的唯一零点， 设函数，则． 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以， 所以，所以单调递增，而， 所以1是函数的唯一零点， 所以1是函数的唯一零点，证毕． （2）设函数，则， 由（1）知，结合， 可得， 故，所以在区间单调递增， 又，所以当； 当时，． 综上所述，当时，. 【例2.2】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，的图象在处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义，结合已知的切线方程，求解即可； （2）要证，即证，构造函数，通过求导判断函数的单调性，求解最值即可求解. 【解答过程】（1），则，， 则过切点的切线方程为， 即，所以，即； （2）要证：，即证：， 设，， 令，解得， 当时，单调递减，时，单调递增， 所以， 所以. 【变式2.1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数有两个极值点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【解题思路】（1）由题得有两个根，令，问题转换成是方程的两个正根，再利用一元二次方程的判别式大于零和韦达定理即可得解. （2）令后求导，再次构造函数令求导后得到导数小于零恒成立可得的单调性，然后结合零点存在定理分析的单调性，再求出的最大值，最后由对勾函数的单调性得出最大值的取值范围即可； 【解答过程】（1）由题得有两个根， 令，则有两个正根， 令，则是方程的两个正根， 则，解得. （2）证明：令， 则. 令，则， 则在上单调递减. 又， 故存在，使，即，则当时，； 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 则. 又，则， 故，即. 所以. 【变式2.2】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数， (1)证明：有两个零点； (2)记是的导数，为的两个零点，证明：． 【解题思路】（1）根据给定条件，利用零点的意义，构造函数，利用导函判断函数单调性，借助零点存在性定理即可推理得证. （2）求出的导数，化不等式为，利用（1）中函数构造函数，结合零点的意义及单调性推理得证. 【解答过程】（1）由，得，即，令， 函数有两个零点，即函数有两个零点，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 又，因此使得，使得， 所以函数有两个零点. （2）由（1）知函数的零点满足：， 求导得，要证，即证，即证明， 令，求导得 ， 函数在上单调递减，则，由，得， 即，由，得，且在上单调递增， 因此，即，命题得证． 【题型3 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例3.1】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由得，，同构函数由得：，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可. 【解答过程】已知，由得，， 构造函数则是R上的增函数，则由得：， 即，令， ， 当则单调递减， 当，则单调递增， ∴，则又则. 故选：C. 【例3.2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得对任意的恒成立，即可得到对任意的恒成立，参变分离可得，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，，. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得. （2）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2）由，得， 由，得，当时，不等式显然成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，则； 当时，设， 则方程有两根，，于是， 当时，，则，在上单调递减， 又，则当时，，不满足条件， 所以的取值范围是. 【变式3.2】（24-25高三上·北京·阶段练习）设函数．其中． (1)求函数的单调区间； (2)当时．对于，不等式恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）求导可得，令，可得或，分，，讨论可求单调区间； （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，由题意可得，进而分类讨论可求的取值范围． 【解答过程】（1）由， 可得， 令，可得，解得或， 当时，， 若，，函数在上单调递增， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增； 当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，， 若，，函数在上单调递增， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增； 综上所述： 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 因为对于，不等式恒成立， 所以， 由成立，所以①成立， 故时，可得对于，不等式恒成立， 当时，对于，不等式恒成立， 若时，也有①恒成立，满足题设； 以下讨论且， 此时，只需， 即， 令，所以， 令，所以， 所以，即， 所以在上单调递增，又， 所以时，成立， 综上所述：的取值范围为． 【题型4 利用导数研究存在性问题】 【例4.1】（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用分离变量将问题转化为，使得恒成立，令，利用导数求出其最大值可得结果. 【解答过程】，使得不等式成立，可得． 令，则，令，解得， 令，解得， 所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以，则依题意有， ∴实数a的取值范围是． 故选：C． 【例4.2】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数．若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 构造函数，利用导数求其最大值；再利用导数分析的单调性，利用函数的性质求解不等式即可. 【解答过程】 令，则， 当时，，函数在上单调递减， ， 若存在实数，使得不等式成立， 等价于成立，又 ， ， ，所以． 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 为正实数， ，又函数在上单调递增， ，解得 正实数的取值范围为． 故选：C． 【变式4.1】（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【解题思路】（1）求导，根据导数判断函数的单调性； （2）根据导数，对分情况讨论函数的单调性，进而可得函数最值情况，即可得解. 【解答过程】（1）当时，，， 则， 令，解得或（舍）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题可知，令 当时，由可知，即，所以在为增函数. 对任意都有，符合题意. 由解得或. ，下面讨论与1的大小: ②当时，，则在上单调递增. 存在，使得. ③当时，，对任意都有，即 在上为减函数，恒成立，不符合题意. 综上所述，时，存在，使得. 【变式4.2】（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性； （2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得． 【解答过程】（1）由题意知函数的定义域为， 而， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解， 令，则． 令，则， 所以函数在上单调递增，所以． 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是． 模块三 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型5 利用导数研究双变量问题】 【例5.1】（23-24高三上·山东·阶段练习）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可. 【解答过程】解：由题意，令，则，， 所以，，， 令，所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有最小值， 即的最小值为. 故选：D． 【例5.2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D. 【解答过程】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且， 所以，解得，所以A正确； 对B，，且，，故，， 所以，所以B正确； 对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定， 所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，所以D正确； 故选：C. 【变式5.1】（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 【解题思路】（1）求导后，根据的正负可确定单调区间； （2）根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可. 【解答过程】（1）当时，，则定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 【变式5.2】（23-24高二下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数仅有两个零点时． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【解题思路】（1）对函数求导，对参数分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解； （2）①分类讨论，利用函数单调性讨论零点问题； ②构造新函数讨论与大小关系，利用在上单调性，证明结论. 【解答过程】（1）定义域为，且， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或， 当，即时，在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，在上单调递增； 当，即时，在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）①时，只有一个零点； 当时，在上单调递增，在上恒小于0，不存在两个零点； 当时，时，，在上单调递减，在上单调递增，不存在两个零点； 当时，在上单调递增，在上单调递减； ，当且 此时函数有两个零点.∴. ②证明：设，由①知， ∵为零点，∴， ∴， ∴， 令， ， 当时， ∴在上单调递减， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在上单调递减， ∴， ∴. 【题型6 导数中的新定义问题】 【例6.1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【解题思路】首先根据题意求对称中心，再利用对称性求值. 【解答过程】，，得， 又，所以函数关于点对称， 即，则， 且， . 故选：B. 【例6.2】（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【解答过程】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B. 【变式6.1】（23-24高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【解题思路】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【解答过程】（1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， （ⅰ）先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设 ， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以.                                           （ⅱ）由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证，                   只需证， 即 ， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 【变式6.2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【解题思路】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【解答过程】（1）函数是上的“双中值函数”． 理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 模块四 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型7 导数在实际问题中的应用】 【例7.1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用勾股定理与锥体体积公式可得，构造相应函数，再借助导数研究其单调性即可得其最大值. 【解答过程】由题意，设内角所对的边为，则有， 则该圆锥的体积， 设，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：D. 【例7.2】（23-24高二下·吉林·期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 【解题思路】写出销售利润，求导得到函数单调性和最值，得到答案. 【解答过程】设销售利润为， 则， 所以， 令得，令得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大. 故选：A. 【变式7.1】（23-24高一上·上海·期末）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 【解题思路】（1）根据已知条件，求出塑胶跑道面积表达式，并确定定义域； （2）根据已知条件写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，求最小值即可. 【解答过程】（1）塑胶跑道面积 因为所以，故定义域为 （2）设运动场造价为元； ，令， ，当时，解得， 所以在上恒成立，所以在上为减函数， 所以函数在上为减函数，因为， 所以当时，运动场造价最低为626510元. 【变式7.2】（23-24高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 【解题思路】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达，进而求出，则可得栈道总长度； （2）利用导数研究函数单调性求最值即可. 【解答过程】（1）由题意知，，， 则，， 所以. 所以栈道总长度为 （2）建造栈道的费用为，则， 令，得，又，解得， 当时， ，当时， ， 则在单调递减，在单调递增， 故， 此时， 故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元. 一、单选题 1．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意同构可得，构建，结合单调性可得，参变分析可得，构建，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解. 【解答过程】由题意可知：，整理可得， 设，则，可知在内单调递增， 由题意可知：，则对任意内恒成立， 可得对任意内恒成立， 设函数，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的最小值为，可得， 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】首先证明、，利用判断①②③，令令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可说明④. 【解答过程】令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以（当且仅当时取等号）； 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以（当且仅当时取等号）； 对于①：当时，所以，故①正确； 对于②：因为（当且仅当时取等号），所以，当且仅当时取等号，故②正确； 对于③：（当且仅当时取等号），故③错误； 对于④：令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以（当且仅当时取等号），故④正确；综上可得①②④正确． 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值. 【解答过程】依题意，得， 令，得， 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值. 故选：B. 4．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 5．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】分离参数，利用导函数求函数的最值即可. 【解答过程】由能成立， 问题转化为， 令， 由；由， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，则， 故m的最小值为4． 故选：D. 6．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到是的一个零点，转化为和时，分别有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解. 【解答过程】解：由函数，若有且只有3个零点， 当时，可得，可得是的一个零点， 当时，由，可得，解得； 当时，，可得，可得， 要使得函数在上有一个零点， 即函数与的图象有一个公共点，则满足， 综上可得：，即函数有三个零点时，实数的范围为 故选：B.    7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误. 【解答过程】，则，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 在上，且，，，即. 综上，的图象如下：结合，，令， 如上图，若且，则，则不一定成立，A错误； 又，故，则不一定成立，B错误； 令， 则， 当时，，得，则； 当时，，得，则， 所以函数在R上单调递增，且， 所以在R上恒成立，得， 即，又，所以， 由，且函数在单调递减，得，即，D正确. 又，则，即，故，C错误. 故选：D. 8．（2024·山西太原·二模）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出函数的图象，转化为两个函数有三个交点，利用数形结合计算特殊位置即可. 【解答过程】 如图所示，作出函数的图象， 方程恰有三个不同实数根，等价于上述两个函数图象有三个交点， 易知， 显然与必有一个交点， 所以要满足题意需与有两个交点， ①先求与相切时的值， 设切点为，则， 令， 即单调递增， 又，所以， 当过点时，， 此时满足条件的 ②再求与相切时的值， 联立，， 易知切点横坐标为，显然时，，符合要求， 当过点时，， 此时满足条件的， 综上：. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 【解题思路】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得的范围. 【解答过程】由，可化为， 则又可化为， 令，则，令，得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故，且当，. 再令，则， 则关于的不等式在恒成立， 即在恒成立， 令，， 则，由解得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 要使在恒成立，则. 故选：ABC. 10．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在单调递减，则 B．若，则函数存在2个极值点 C．若，则有三个零点 D．若在恒成立，则 【解题思路】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，然后就可以得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范围. 【解答过程】由题可知， 对于选项A：由题意可知：是解集的子集，当时，显然恒成立，当时，， ∵，∴，即，∴，故选项A错误； 对于选项B：若，，则有两个解， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数存在2个极值点，故选项B正确； 对于选项C：若，则时，，，单调递增， ，单调递减，，单调递增， 所以有极大值，有极小值，∴三次函数有三个零点，故选项C正确； 对于选项D：当时，恒成立， 当，令，则，令，， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减； ∴，则； 当，令，则，令， ∴当时，，单调递增； ∴，则； 综上所述：若在恒成立，则，故选项D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．恒成立 C．若方程有两个不等实根，则的范围是 D．直线与函数图象有两个交点 【解题思路】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假. 【解答过程】对A：当时，；当时，；时，， 所以函数只有1个零点.A错误； 对B：欲证，须证 在上恒成立. 设，则， 由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为，因为，所以.故B正确； 对C： . 设， 则，. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在单调递减. 所以的最大值为：，又当时，. 如图所示： 所以有两个解时，.故C正确； 对D：问题转化为方程：有两解，即有两解. 设，，所以. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为. 因为，，所以 所以. 且当且时，；时，. 所以函数的图象如下： 所以有两解成立，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为 2 m． 【解题思路】设长方体的宽为，体积为，则，利用导数求出的最大值即可求解. 【解答过程】设长方体的宽为，则长方体的长为，故长方体的高为， 则解得，设长方体的体积为， 所以， 则，令，解得，令，解得， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，此时长为． 故答案为：2. 13．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知不等式恒成立，则的取值范围是 . 【解题思路】由已知可得对恒成立，令，利用导数求的最小值即可. 【解答过程】由不等式恒成立，可得对恒成立， 所以， 令，求导得， 当时，，所以在上为减函数， 当时，，所以在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 【解题思路】恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，利用导数研究函数单调性，作出函数图象，数形结合求解. 【解答过程】令，得，即， 令， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以的图象如图所示， 设是的图象的切线，切点为，则切线斜率为， 所以的方程为，又经过点， 所以，即，解得或， 或， 所以由图可知，当或，即或时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程. (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【解题思路】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，恒成立，函数在上单调递增，至多有一个零点，不合题意； ②当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则，而，则在上有唯一零点； 由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 当时，，即， 当时，，在上有唯一零点； 因此当时，有两个不同零点， 所以实数的取值范围为. 16．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）求导得，再对分类讨论即可； （2）同构得，则有，即，再构造函数，得到其最值即可得到，解出即可. 【解答过程】（1）的定义域为，. 当时，，则在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由，可得，即. 令，因为在上均单调递增，则单调递增. 由，可得，则，即. 令，则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 则，解得，故的取值范围为. 17．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值； (2)当时，证明：. 【解题思路】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值， （2）利用导数求解的最小值，即可根据的最大值求解. 【解答过程】（1），令得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，取得最大值，且最大值为. （2）设，，则， 在上单调递增， ，即在上的最小值为4， ，，， 当时，. 18．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)若时，不等式有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）求出函数的导数，按分类讨论，求出函数的单调区间. （2）根据给定条件，将不等式分离参数得，再构造函数，，利用导数求出函数的最大值即可. 【解答过程】（1）函数，求导得，由，得， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增. （2）依题意，不等式在时有解，即在时有解， 令，，求导得， 由，得；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，因此， 所以实数的取值范围是. 19．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：（为函数的导函数）. 【解题思路】（1）求导函数，分与两类讨论函数的单调性即可； （2）①结合（1）的分析，若有两个零点，则且极大值可得，再通过找点使，然后利用零点存在性定理证明当时有两个零点； ②由不等式，利用放缩法先证明.由零点满足的关系式得消，再结合整体换元转化为证明关于的，再构造函数，利用导函数证明可得. 【解答过程】（1）的定义域为. ①当时，，，则， 所以在上单调递减； ②当时， 当时，，在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）①因为是的两个零点， 由（1）可知，且， 由在上单调递增，在上单调递减， 则，解得. 而当时，，， 由且，则在与各有一个零点. 又由单调性可知，至多两个零点. 故当时，有两个零点. 综上可知，的取值范围是. ②因为是的两个零点， 所以，解得， 所以， 令，即，代入上式得： . 令，. ，令， 则，. 所以在上单调递减，且， 由，所以，即； 所以在上单调递减，且， 由，所以，又， 所以. 由，且， 可知. 又因为，则在上是减函数， 所以，. 故得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 导数的综合应用 【人教A版2019】 模块一 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 利用导数研究函数零点（方程根）】 【例1.1】（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高三上·湖北·期中）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中． (1)求的值； (2)当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【变式1.2】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 模块二 导数中的不等式问题 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 2．导数中的不等式恒成立、存在性问题 解决不等式恒（能）成立问题有两种思路： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题． (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可. 【题型2 利用导数证明不等式】 【例2.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，证明：存在唯一零点； (2)当时，证明：． 【例2.2】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，的图象在处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：. 【变式2.1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数有两个极值点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【变式2.2】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数， (1)证明：有两个零点； (2)记是的导数，为的两个零点，证明：． 【题型3 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例3.1】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，，. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式3.2】（24-25高三上·北京·阶段练习）设函数．其中． (1)求函数的单调区间； (2)当时．对于，不等式恒成立，求的取值范围． 【题型4 利用导数研究存在性问题】 【例4.1】（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数．若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【变式4.2】（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 模块三 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型5 利用导数研究双变量问题】 【例5.1】（23-24高三上·山东·阶段练习）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【变式5.1】（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 【变式5.2】（23-24高二下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当函数仅有两个零点时． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【题型6 导数中的新定义问题】 【例6.1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例6.2】（23-24高二下·江苏常州·期中）设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高三下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【变式6.2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 模块四 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型7 导数在实际问题中的应用】 【例7.1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二下·吉林·期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 【变式7.1】（23-24高一上·上海·期末）学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元. (1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式； (2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低?（精确到元）. 【变式7.2】（23-24高三上·安徽·期中）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． (1)求； (2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 一、单选题 1．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①，②，③ ，④ 中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高三·全国·专题练习）小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 4．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（    ） A． B． C． D．4 6．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数，若，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山西太原·二模）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 10．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，则（    ） A．在单调递减，则 B．若，则函数存在2个极值点 C．若，则有三个零点 D．若在恒成立，则 11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．恒成立 C．若方程有两个不等实根，则的范围是 D．直线与函数图象有两个交点 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为 m． 13．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知不等式恒成立，则的取值范围是 . 14．（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数， (1)若，求在点处的切线方程. (2)若有两个零点，求a的取值范围. 16．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知，函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. 17．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值； (2)当时，证明：. 18．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)若时，不等式有解，求的取值范围. 19．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：（为函数的导函数）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$