模块四 三角形(教用)-【加速度中考】2025年陕西中考数学练透教材

模块四 三角形 第1节 线段、角、相交线与平行线 [6年5考] 练教和专点 (1)经过两点有且只有①一 条直线（两点确定一条直线） 两个基本事实 (2)两点之间，②线段最短 线段的和与差：如图①，在线段AC上取一点B,则有③AB+BC=AC:AB=AC ④BC:BC=⑤AC-AB 直线与 A B C 线段 图① 图② 线段的中点：如图②，点B把线段AC分成相等的两条线段AB,BC,则点B叫做线段AC的 中点，即AB=O=号AC 两点之间的距离：连接两点之间的线段的长度 角的分类(a):锐角(0°a<90)、直角(a=90°)、钝角(90°<a<180)、平角(a=180)、周角 (a=360) 度、分、秒的换算：1°=60,1'=60”，度、分、秒之间是60进制 线段、 角及 余角：如果两个角的和为⑦90°，那么这两个角互为余角 角平分线余角、补角 补角：如果两个角的和为⑧180°，那么这两个角互为补角 角 性质：同角（等角）的余角⑨相等，同角（等角）的补角⑩相等 相 性质：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线 逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在@角的平分线上 线 三线八角：对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角 ()在同平面内，过一点有且只有⑧一条直线与已知直线垂直 相交线 垂线的性质 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 线段垂直性质：⑤线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的奶垂直平分线上 公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理及 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相⑦平行 推论 (注：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行) (1)同位角⑧相等 判定两直线平行 性质 平行线的 (2)内错角©相等 性质和判定 判定两直线平行 性质 (3)同旁内角@互补 判定两直线平行 性质 定义：过一条平行线上任意一点作另一条平行线的垂线，①垂线段的长度叫做两条 平行线间的 平行线间的距离 距离 性质：两条平行线间的距离处处②相等 ·28· 【抢分要点】平行线求角度的辅助线作法 段 作法一： - 作平行线 D 角 ---- 相 作法二： 拐点处的 D 平 延长线 相交 D DF C E 线 ∠EAB+∠CDE+ 角度关系∠B十∠C=∠BEC ∠AED=360 ∠ABE-∠C=∠E ∠ABE-∠DCE ∠BEC 练变式 L.人教八上P48“思考"改编如图，AB∥CD,CE交AB于点F,CG平分∠DCE交AB于点G,GN ⊥CD于点N,GMCE于点M -B D 第1题图 (I)GM=GN,依据为角平分线上的点到该角两边的距离相等，∠1与∠4之间的数量 关系为∠1=∠4； (2)若∠1=2522'，则∠2=504，∠AFE=12916:与∠1互余的角为∠CGN ∠CGM,与∠2互补的角为∠AFE,∠CFG,∠MGN: (3)点F在CG的垂直平分线上，依据为到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上· 2.实物背景如图是某品牌自行车放在水平地面上的示意图，其中AB∥CD, 第2题图 (1)若∠ACB=64°，则当∠MAC=64°时，AM∥CB,依据为内错角相等，两直线平行； (2)若CD与地面l平行，则AB∥，依据为如果两条直线都和第三条直线平行，那么这 两条直线也互相平行； (3)点C到1的距离与点D到！的距离相等，依据为两条平行线间的距离处处相等 ·29· 第2节 三角形及其性质 [6年4考] 练载动吉点 锐角三角形：三个角都是锐角 按角分直角三角形：有一个角是直角 钝角三角形：有一个角是钝角 三角形的分类 三边都不相等的三角形 按边分 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形（三条边都相等） 三边关系：三角形两边的和①大于第三边，三角形两边的差②小于第三边 三角形的稳定性：当三角形的三边确定时，它的形状和大小就不会发生变化内角和 定理：三角形三个内角的和等于③180 (1)三角形的任意一个外角④等于与它不相邻的两个内角的和 内外角关系 (2)三角形的任意一个外角⑤大于任何一个和它不相邻的内角 边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，大边对⑥大角，小边对⑦小角 三角形的 【抢分要点】利用三角形三边关系的三种常见考查设问 三 边和角 (1)利用三条线段能否构成三角形 角 思路点拔：找其中较短的两条线段，计算它们的和，再与最长的一条线段比较大小.若 及其 它们的和大于最长的线段则可构成三角形，反之则不能构成三角形 (2)根据三角形已知两边长或两边关系，确定第三边的长或取值范围 ⑧ 思路点拨：根据两边之和大于第三边与两边之差小于第三边列不等式组求解 (3)利用“三角形三边关系”及“三点共线”求线段和的最小值或线段差的最大值 中线 高线 角平分线 中位线 图示 B AD是△ABC AD是△ABC AD是△ABC DE是△ABC 的中线 的高线 的角平分线 的中位线 三角 ∠BAD=∠CAD= 形中 AD⊥BC,即∠ADB= 性质 1 的 BD-=DC-号BC ∠ADC=90 ∠BAC DE/IC.DE 重要 线段 面积 SAABD SAAIC SAAID BD 关系 S.ME DC (1)三角形的三条角 三角形三条中线的 三角形三条高线所 平分线的交点是三 延伸 交点是三角形的 在直线的交点是三 角形的内心： 重心 角形的垂心 (2)内心到三角形三 边的距离相等 30- (1)两腰⑧相等，即AB=AC (2)等边对等角→两个底角相等，即∠B=∠C 性质(3)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相⑨重合，简称 ⑩“三线合一” (4)是轴对称图形，有①1条对称轴 C (1)两边②相等的三角形是等腰三角形 判定 等腰三角形 (2)两角③相等的三角形是等腰三角形（简述为“等角对等边”） 面积：S= 2ah(a是底边的长，h是底边上的高) (1)具有等腰三角形的所有性质 (2)三边G相等，即AB=BC=AC 性质 (3)三个角相等，且每一个角都等于⑤60°，即∠BAC=∠B=∠C=60 (4)是轴对称图形，有西3条对称轴 h (1)三边都⑦相等的三角形是等边三角形 判定(2)三个角都是⑧60的三角形是等边三角形 等边三角形 (3)有一个角是60的⑧等腰三角形是等边三角形 面积：S= h-(a为边长h为边上的高，h= (1)两锐角的和等于@90，即∠A十∠B=@90 三角形及其性质 (2)斜边上的中线等于斜边的@ -半，即CD-2AB 特殊三角形 (3)30角所对的直角边等于③斜边的一半，在R1△ABC中，若∠A=30°，则 性质 BC=☑ AB (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对 的角等于30 (5)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和⑤等于斜边的平方，即 h 公+f@= a B (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形 直角三角形 (2)有两个角互为余角的三角形是直角三角形 (3)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形（需证明，不可 判定 直接使用) (4)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是直角三角形 面积：S=h=2a6(a,b为两直角边的长，c是斜边长，h是斜边AB上的高) 抢分要点】利用直角三角形解决常见的含30角的几种三角形问题 B 图形 309 309 609E D 45 b303 B D C 309 C D A D C AD平分∠BAC BE平分∠ABD 结论 DF=DE=FC AE=BE=2DE BC=2AC=4DC BD=AD=2BC · 31· (1)两直角边相等，即AC=⑦BC (2)两锐角相等且都等于45°，即∠A⑧=∠B=45 性质 (3)斜边上的中线将三角形分成两个全等的等腰直角三角形 (4)是轴对称图形，对称轴为斜边的垂直平分线 (1)顶角为90的等腰三角形是等腰直角三角形 等腰直角三角形判定 (2)有两个角是45的三角形是等腰直角三角形 (3)有一个角为45的直角三角形是等腰直角三角形 角形及其性 (4)两边相等的直角三角形是等腰直角三角形 殊三角形 赵爽弦图 伽菲尔德总统拼图 如图，S大正为形=(2，S小正方形=(a一b), 如图Se=u+ba+b)=女+F+ 勾股定理 ∴c2=4×2ab+(a-b=d+,即 ah又：s=2xh+2=+ab, 及其探索 a2+b=c2 ∴.a2+=2 过程 练 教初变式 1.人教八上P17第9题政编如图，已知△ABC (1)BC<AB十AC(填“>”或“=”)： (2)若∠ACB>∠ABC,则AB>AC(填“>”或“<”)，依据为在同一个三角形中，大边对 大角，小边对小角； (3)P为△ABC内一点，连接PB,PC,M,V分别为PB,PC上的点.设四边形BMNC的周长为 C,△BPC的周长为C2,则C<C2(填“>”“<”或“=”)，依据为三角形两边之和大于第 三边， B 第1题图 2.人教八上P9第9题改编如图，在△ABC中，∠BAC=80°，D为BC边上一点，E为AC边上一 点，连接AD,DE (1)若AD平分∠BAC,DE为△ADC中AC边上的高，则∠ADE=50°； (2)若AD平分∠BAC,DE∥AB,AE=2,则∠ADE=40°，∠DEC=80, DE=2: (3)若D,E分别为BC,AC的中点，AB=5,则： 第2题图 ①DE= 2 ②若S△De=1,则S△E=1,S△c=4,在△ABC中，AB边上的高为 ·32· 3.北师八下P23第1题改编已知在△ABC中，AB=BC (1)若△ABC的一个角为50°，则它的底角为0或65°： (2)若△ABC的一边长为7，周长为17，则AB=7或5： (3)如图，点D在AC边上（不与点A,C重合），E是AB边中点，连接DE,AB=6,AC=6√3. ①若DE⊥AB,则AC边上的高为3，DE=3,∠BDC=60°，△ABD的周长为 6十43，△CBD的面积为6/3： ②当BD的长最短时，DE与AB的数量关系是DE=。AB D 第3题图 4.人教八上P51第2题改编如图，已知△AOP为等边三角形，OP=4. (1)△AOP的周长为12，面积为43 (2)若B为OP边上一动点，BC⊥OA于点C,BD⊥AP于点D,则BC+BD=23: (3)若M为OP的中点，E为AP边上一点，且AE=AM,则∠MEP=1o5°，PE=4-23: (4)在(2)(3)的条件下，若点D与点E重合，则BM=43一6· B 第4题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上一动点，连接BD. (1)若∠A=35°，则∠C=55: (2若AB=4,BC=2,BDLAC.则AC=25,BD= (3)若∠A=30°，AB=2√3，则： ①BC=2,sinA=支tanC=3_ ②以BD为直角边，D为直角顶点，在BD左侧作等腰直角三角形BDE,则BE的最小值为6， △BDE的面积最小值为号，最大值为6；当∠DBC=60时，点D到BC的距离为3， B 第5题图 ·33· 第3节全等三角形 [6年8考] 练载动专豆 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 (1)全等三角形的对应边①相等，对应角②相等 性质(2)全等三角形的周长③相等_，面积④相等 (3)全等三角形的对应中线、高线、角平分线、中位线都⑤相等 (1)边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等 (2)边角边（⑥SAS):两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 判定(3)角边角（⑦ASA):两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (4)角角边（⑧AAS):两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (5)斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 图示 隐含条件 共线 公共边相等 全等三角形 对顶角相等： 共角 全等 公共角相等 三角 形的 平行四边形的对 常见 边相等且平行： 类型 特殊 正方形四条边都 四边形 相等，对边平行， CABCD 正方形ABCD 四个角都是直角 三角形的内外角 “K”形图 关系：同角的余 角相等 ∠1=∠2=∠3 练教M变式 1.断教八上P44第17题改编如图，已知△ABC≌△A'BC',点A在A'C'上，BC交AC于点D. (1)若AC=7,AB=5,则A'C'=7,AB=5; (2)若∠ABC=66°，∠C=40°，则∠ABA'的度数为32° (3)添加一个条件使△AA'B≌△ADB,下列所添加的条件正确的是① ②③④（填序号）. 第1题图 ①∠A'BA=∠DBA:②AA'=AD:③A'B=DB:④∠A'=∠ADB. ·34· 2.人教八上P56第9题改编如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=5,OA⊥AC,线段PQ= AB,若P,Q两点分别在线段AC和射线AO上运动，则AP=5或10时，△ABC与△PQA 全等 P 第2题图 第3题图 3.李样板题人教八上P44第11题改编（本题满分5分）如图，点A,F,C,D在同一条直线上，已知 AF=DC,AB=DE,BC=EF.求证：BC∥EF. 证明：，'AF=DC,.AF+CF=DC+CF,即AC=DF (1分) AB=DE 在△ABC和△DEF中， BC-EF AC=DF. ∴.△ABC≌△DEF(SSS),… (3分) ∴∠BCA=∠EFD(全等三角形的对应角相等)，… (4分) .BC∥EF(内错角相等，两直线平行)。… (5分) 4.人教八上P43练习第1题改编小聪拿着等腰直角三角板ABC玩，不小心把三角板掉到两墙之间 (如图，每块砖的厚度相等).已知AB一26c,试求砌墙砖块的厚度（提示：一线三等角型 全等) D 第4题图 第4题答图 解：如答图，过点B作BF⊥AD于点F 设砌墙砖块的厚度为x,则BE=2.x,AD=3.x :∠ACB=90°，.∠ACD+∠ECB=90. ,∠ECB+∠CBE=90°，∴.∠ACD=∠CBE. ∠ADC=∠CEB, 在△ACD和△CBE中 ∠DCA=∠EBC,'.△ACD≌△CBE(AAS), AC=CB, ..AD=CE,CD=BE,..DE=5,AF=AD-BE=x. 在R1△AFB中，AF+BF=AB2,x2+25.x2=26, 解得x=√26（负值已舍去）. 答：砌墙砖块的厚度为√26cm ·35· 第4节 相似三角形及其应用（含位似） [6年4考] 练载前店点 基本性质：号-号台ad=Dc_(ab,c,d≠0) 比例的性质 合比性质：如果号-台那么店吉6.d0) 等比性质：如果号=子=…=m(b.d.…,w≠0)，那么士士…十m=只（叶d什十≠0 b十d+十nb 黄金分制：知如图，一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果6=② BC ,那么称线 段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC和AB C B 14AC=-1+5≈0.618 的比叫做黄金分制比（是？ 平行线 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 相 分线段 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 成比例 (1)对应角③相等_，对应边成比例 (2)对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于④相似比 形 性质 相似三 (3)周长的比等于⑤相似比 角形的 (4)面积的比等于⑥相似比的平方 应 性质及 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定 (2)三边⑦对应成比例的两个三角形相似 含 判定 (3)两边对应成比例且⑧夹角相等的两个三角形相似 (4)⑨两角对应相等的两个三角形相似 类型 图示 结论 369 △BCD≌△BED,△AED∽△ADB, 黄金三角形 △Dn△Ac是畏-5号 728 相似三角形模型 △ABD≌△ACE,△CDA∽△CAB, 36 36 △AEDACAE器是瓷5 入字型 △ADE∽△ACB, △BMD∽△EMC D CE) ·36 续表 类型 图示 结论 A B 4>B D p C 图①中，△AOBc∽△DOC, 8字型 AB∥CD ∠A=∠C,∠B=∠D 图②中，△AOB∽△COD 图① 图② 相似 三角形 点P在线段AB上，∠1= 模型 同侧型 ∠2=∠3，则△ACP △BPD 一线三 等角型 点P在AB的延长线上， 三角 异侧型 ∠1=∠2=∠3，则 △ACP△BPD 及其 用 概念：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别⑩相等，边①成比例_，那么这两个 相似 多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做⑧相似比 位 多边形 (1)相似多边形的对应角⑧相等，对应边④成比例 性质 (2)相似多边形的周长比等于⑤相似比，面积比等于⑩相似比的平方 概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，像这样的两个图 形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，此时的相似比又称位似比 图形的 (1)如果两个图形位似，那么任意一组对应点到位似中心的距离之比都等于位似比， 位似 任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上） 性质 (2)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形上对应 点坐标的比等于k或一k 1.人教九下P31第2题改编如图，已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的一点，DE∥BC,则 -凭=怎诺m△ADE的周长为4，则-立△AC的周长为& 第1题图 第2题图 2.人教九下P31图形素材改编如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连接DE, DF,BE,DF与BE交于点G. (1)若四边形DFCE是平行四边形，则DE∥ BC,DF∥AC,△ADE∽△ABC和 △DBF,△BFGC∽△BCE和△EDG: 2)在1)的条件下若AC=25,且号，则 BC BC= ,AE=10,GF=9; ·37·