模块三 函数(教用)-【加速度中考】2025年陕西中考数学练透教材

模块三 函 数 第1节 一次函数(含平面直角坐标系) [6年9考] #练 教前考点 V& 各象 (一,+)(+,+) 0 限内 (一,一)(+,一) 点在:轴上:① -0(如点M): 坐标 .M 点在y轴上:② -0(如点M): 轴上 原点坐标:③(0.0) 注:坐标轴上的点不属于任一象限 各象限 点的坐 点在第一、三象限的角平分线上:y一④工(如点A); 角平分 标特征 → 点在第二、四象限的角平分线上:y--(如点A。) 线上 与坐标 )1 7 轴平行 平行于;轴的直线上的点的纵坐标相同; I阅数(和画到) 的直 平行于v轴的直线上的点的横坐标相同 线上 知理展中点坐标公式:A(x,).B(x.V)为平面内任意两点,则线段AB的中 点M的坐标为() 一2 2 点P(a,)关于x轴对称的点的坐标为(a,一b) 口诀:关于谁对称谁不变, 对称点的点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为(一a,b) 关于原点对称都要变 坐标特征 点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为(一a,一b) 知识拓展点P(a,b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m一a,b) 平移前的坐标 平移方式(a>0) 平移后的坐标 规律 (-) 向左平移a个单位长度 左减 点的平 (十,) 向右平移a个单位长度 右加 移特征 (x,) ⑧(x十) 向上平移个单位长度 上加 -) 向下平移6个单位长度 下减 。14· [(1)点P(a,b)到x轴的距离为 ,到y轴的距离为al,到坐标系原点的距离为 点的 (2)平行于x轴的直线/.上的两点P(x,y),P(x,y)间的距离PP-|x.-xl; 距离 特征 平行于y轴的直线/上的两点Q(x,y).Q(x,y)间的距离QQ=y-yl (3)坐标系中任意两点P(x,y).P(x,)间的距离PP= (x一x)+(y一)② 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x和v,并且对于x的每一个 概念 确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是 x的函数 解析式法 解析式主要反映两个变量之间的数量关系 表示方法 列表法 表格具体地反映了函数与自变量的数值对应关系 图象法 图象直观地反映了函数随自变量变化而变化的规律和趋势 函数及其 画函数 阅数(和计回洲) 自变量的 图象的 列表 → 描点→ 连线 取值范围 一般步骤 整式型 任意实数 分式型 使分母不为0的实数 自变量的 二次根式型 使被开方数大于等于0的实数 取值范围 分式十二 使分母不为0且被开方数大于等于0的实数 次根式型 实际问题中 使实际问题有意义的实数 解析式 y-x十b(k,b为常数,且k0.特别地,当b-0时,y=hx为正比例函数) 一次函数y-k十b(h,b为常数,且去0)的图象是经过点(0, b). 图象所 b ,0)的一条直线;正比例函数y一r(是常数,且-0)的图象是一条 过的点 经过 原点 的直线 0时,图象从左到右呈上升趋势; <0时,图象从左到右呈下降趋势, 增减性 一次函数 即y随x的增大而① 增大 即y随:的增大而② 减小 的图象 ###4####### 与性质 图象 ④一、二、 二、三、 经过象限 一、二、四 二、四 四 三 四 与y轴的 0一交点在y轴正半轴上;<0一交点在y轴负半轴上 交点位置 · 15. 续表 与轴 令y-0,求对应的x值,交点坐标为 的交点 一次函数 与y轴 的图象 令x-0,求对应的y值,交点坐标为(0,) 的交点 与性质 知识拓展在同一平面直角坐标系中,对于直线4;=x+b与直线:三x+b (bb),若l/,则一;若/,则·=-1 原解析式 平移方式(n0) 平移后的解析式 规律 向左平移n个单位长度 y-(x十m)十b 左加 图象的平移 向右平移n个单位长度 -+b y-(x-m)十b 右减 上加 (0) 向上平移个单位长度 -x+b十n 向下平移m个单位长度 -x十b-n 下减 原解析式 对称方式 对称后的解析式 x,y的变化 关于轴对称 --r- y变为一y 图象的对称 兴阅(和计回) y一 关于y轴对称 -十 x变为一 - 关于原点对称 x.y变为一x,一y [方法:待定系数法 ((1)设出一次函数的解析式-bx+b去0) 解析式 (2)找到满足一次函数解析式的两个点,并将两点坐标代入一次函数解析式,得到 的确定步骤 关于,的二元一次方程组 二 (3)解二元一次方程组,得到,b的值 (4)确定一次函数的解析式 (1)与一元一次方程的关系:方程kx十b一0的解一一次函数y一x十b(子0)的图象与 与一次方 x轴交点的横坐标 程(组)的 [-+b. (2)一次函数与二元一次方程组的关系(如图①):二元一次方程组 的解→ 关系 y-2十b2 一次函数y一hx十b与y一hx+b图象交点的横、纵坐标 y-kr+b -rb Vy=&rb2 图① 图② 与一元一 ((1)如图②,不等式kx十b0的解集→函数y一kx十b的图象位于x轴上方部分(y>0) 所对应的x的取值范围(xn) 次不等式 (2)如图②,不等式x十b<0的解集→函数y一kx十b的图象位于x轴下方部分(y 0) 的关系 所对应的x的取值范围(xn) 。16· ((3)如图①,不等式x十b&x十b:的解集就是函数y一x十b 的图象在函数 与一元一 y一hx十b。的图象上方部分所对应的x的取值范围,即x” 次不等式 (4)如图①,不等式&x十b<x十b:的解集就是函数y一bx十b 的图象在函数 的关系 y一x十b。的图象下方部分所对应的x的取值范围,即x” 兴阅(和画) 数材拓展平面直角坐标系内交点三角形(图中阴影部分)的面积(S)求法 一条边在 两条边在 一条边与 三条边均不与 坐标轴上 坐标轴上 坐标轴平行 坐标轴平行 #### 图示 #BOC# s-1B·0A= s-C·DE S-AC·BE- $-1-o1 面积 1cao 1 o 1xc-xBl 年教前变式 护教八下P8第2题改编已知一次函数y一(n一1)x+m. (1)该一次函数与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为(0,m),该函数过 定点(-1,1); (2)若y是关于x的正比例函数,则m的值为。,函数图象经过第 二、四 象限; (3)若函数值随x的增大而增大,则m的取值范围为 n1; (4)若m<0,点A(x,),B,y)在该函数图象上,且x,则y(填“”<”或“=”); (5)若该函数图象与一次函数y=4x一1的图象平行,则m- 5; (6)若函数图象经过点(一2,一1): ①m的值为 3 ,该一次函数的表达式为 -23: ②该函数的图象与y轴的交点坐标为(0,3),与x轴的交点坐标为 ③该函数的图象与直线y一5的交点坐标为 (1,5);关于x的不等式(n一1)x+m1的解集 是-1; ④将该函数图象先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后得到函数y 的图象,则的函 数表达式为y=2-5;若y与y的函数图象关于x轴对称,则y的函数表达式为=-2x+5; 设①中的函数图象与x轴,y轴分别交于点E,F.点M为y轴上一点,若△MEF是以EF为腰的等腰 0.6+3或0,6-3{ 三角形,则点M的坐标为 或(0,一3),△EFM的面积为 第2节 一次函数的实际应用 [6年5考] 二行教初变式 1.小李从西安通过快递公司给在广东的亲人邮寄陕西土特产,寄快递时,快递公司规定:不超过 1 kg时,收费12元;超过1kg时,超出部分每千克收4元费用.若小李给亲人邮寄了x(x>1)kg陕 西土特产,则快递的费用y(元)与x(kg)之间的函数表达式为 (C) A.y-12x C.y-4x十8 B.y-8x十8 D.y-4x+12 2.非师八上5第2题改编A,B两地相距12km.甲、乙两人分别从A,B两地沿同一条公路相向而 行,他们离A地的距离s(km)与时间t(h)的函数关系如图,则甲从出发到与乙相遇的时间为(D) s/km 12- 第2题图 A.1.2h B.15h C.1.6h D.1.8h 3.正师人上9例1改编弹挂物体会伸长,测得弹策长度v(cm)(弹策最大拉伸长度为20cm) 与所挂物体质量。(kg)之间有下面的关系; ./kg 2 0 ___ 。 /cm 8. 10 9.5 10 ___ 下列说法不正确的是 (D) A.y与x的函数表达式为y-0.5:十8 B. 所挂物体质量为6kg时,弹策长度为11cm C.y与x的函数表达式中,一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹策伸长的长度” D.挂42kg物体时,弹策长度为29cm 4. 样板题 某公司计划购买A.B两种设备共100台,要求B种设备数量不低于A种的,且不高 于A种的.已知A.B两种设备的单价分别是1000元/台、1500元/台,设购买A种设备x台. (1)求该公司计划购买这两种设备所需费用v(元)与x的函数表达式; 【思路分析】总费用一A种设备所需费用十B种设备所需费用,根据此等量关系列函数表达式 y关于x的函数表达式:y-1000x+1500(100-x)--500x+150000 (2)求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案 组,进一步根据x的值确定方案 根据题意列不等式组; 解得 75r80. 100-1 ·.x为整数...x可以取 75,76,77,78,79,80 。18. 答:该公司按计划购买这两种设备有6种方案. (3)由于市场行情波动,实际购买时,A种设备单价上调了240元/台,B种设备单价下调了 360元/台,求公司购买这两种设备所需最少费用. 【思路分析】利用“总费用一A种设备所需费用十B种设备所需费用”列函数表达式,再根据函数 的增减性确定最低费用. 购买设备的总费用y=(1000+240)x+(1500-360)(100-x)-100x+114000. . 1000,y随x的增大而 增大, .当x-75 时,最小. .y- 100×75+114000-121500. 答:公司购买这两种设备所需最少费用为121500元 5. 人教从下P95图形素材改编某歌舞团计划采购甲、乙两种道具若于件,某商场对甲种道具的出售 价格根据购买量给予优惠,对乙种道具按40元/件的价格出售,设该歌舞团购买甲种道具x件, 付款v元,v与x之间的函数关系如图所示。 /元{ 3400--_---_ 2640---- 1 6080 科 第5题图 (1)求出与x之间的函数表达式: (2)若该歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件,且甲种道具数量不少于乙种道具数量 (元)最少? 解:(1)当0x60时,设 根据题意得60:-2640,解得-4 当文60时,设y-/. [60+b-2640. {-38. 根据题意得 解得 .y-38x+360. l80。+-3400. 1-360. [44x(0r60). ..y与:之间的函数表达式为y 38.x+360(x60). (2)设购进甲种道具a件,则购进乙种道具(120一a)件 . 解得75<<85. 120-a35. .60.w-38a+360+40(120-a)--2a+5160. ·.-20...当a-85时,w取得最小值,最小值为4990...120-a-35. 答:购进甲种道具85件,乙种道具35件,才能使歌舞团付款总金额最少 。 19. 第3节 反比例函数及其应用 [6年6考] 行教前考点 定义:一般地,形如① (b为常数,0)的函数叫做反比例函数,反比例函数的自变量x不能 为②0 表达式 y-(或xy=k,y-kx)(为常数,k-0) 10 <0 ## 图象 图象与 所在 第一、三象限 性质 第二、四象限 象限 增减性 在每一个象限内,y随x的增大而③减小 在每一个象限内,y随x的增大而④增大 区阅数区域习里 对称性 关于直线y一一x或y一x成轴对称,关于原点成中心对称 抢分要点因为正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称,所以在同一平面直角坐 标系中,正比例函数和反比例函数的图象若有交点,必有两个,且这两个交点关 于原点对称 如图,过反比例函数y-(h-0)图象上任意一点P(x,y)分别作:轴、y轴 的垂线PM.PN,所得矩形PMON的面积S= PN ·PM-|xyl= 的几 常见的四种面积类型(P,P关于原点对称) 何意义 SPp-|l Sp-2 (2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b) 待定系数法 (3)将点P(a,b)代人表达式得一ab 表达式 (4)确定反比例函数的表达式y-ab 的确定 , 利用的几何意义:题中已知面积时,考虑用反比例函数比例系数的几何意义,由面积 得到,再结合图象所在象限判断的正负,从而得到的值,代人 表达式即可 · 20· 二-教前度式 1.人教九下9第9题改编已知反比例函数ym+3. (1)若该函数图象的一支位于第一象限,则函数图象的另一支位于第三 象限,m的取值范围 为n-3; (2)若该函数图象在每一分支上,v随x的增大而增大,则n的取值范围为 (3)如图①,已知该函数的图象过点A(2,3),则; ①m一3,函数的表达式为 ,函数图象位于第 一、三 象限; ②若点(a,)在该函数的图象上,则点(一a,一b)在该函数的图象上(填“在”或“不在”); ③已知B(x,y),C(x,y)为该函数位于x轴上方图象上两点,若y>y,则x<x。(填 “>”或“<”); ④当x>6时,y的取值范围为 y1;当3y4时,x的取值范围为 一次函数y-x-1与该反比例函数图象的交点坐标为(-2,一3),(3,2) ; 。 解集为0r3或<一2; (4)如图②,A为反比例函数的图象上一点,且横坐标为3.AB x轴于点B,AC y轴于点C. 点G在位于AB右侧的反比例函数的图象上,GE :轴于点E,GF AB于点F,四边形GEBF 为正方形,且AF一FG,则这个正方形的面积为3 ## 图 图② 第1题图 2. 人教九下2思考(1)改编一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足 函数关系t-.其图象为如图所示的一段曲线,且端点为A(40,1),B(m,0.5),则m= 80.若 行驶速度不得超过60km/h,则汽车通过该路段最少需要时间为 /h 0 40 (kmh) 第2题图 第4节 二次函数的图象与性质 [6年9考] 二年教初弯点 定义:一般地,形如y一ar}十bx十c(a,b.c是常数,a去0)的函数叫做二次函数,特别地,当a去0,b-c-0 时,-x 二次函数y-ax2十br十c(a-0) (1)直接运用公式:-① 求解; (2)将一般式配方转化为顶点式y一a(x一h){②}十k(a去0),则对称轴为直线x 对称轴 11次阅程图去 ②; (3)利用x-(xvxo。为抛物线上y值相等的两点的横坐标)求对称轴 2 D c-r (1)直接运用顶点坐标公式③ 求解; 密数层 1顶点坐标 (2)将一般式配方转化为顶点式一a(-h)十(a-0),则顶点坐标为④(\h,) (3)将对称轴,一代入函数表达式求得对应的y 当a0时,在对称轴左侧,y随x 当a0时,在对称轴左侧,y随x的增 增减性 的增大而 减小 ;在对称轴右 大而 增大 ;在对称轴右侧,y随 侧,y随:的增大而 增大 的增大而⑧减小 a0时,y有最小值,最小值为 根据表 a0时,y有最大值,最大值为 最值 4- 达式判 tc-/ 断函数 的图象 a(决定开 开口向上 与性质 口方向) 开口向下 一0 对称轴为y轴 a,b(决定 #~(→),):同 对称轴 对称轴在y轴 左侧(左同) 位置) ##(~),即:) 对称轴在y轴右侧(右异) c-0 c(决定与 抛物线过原点 y轴交点 0 抛物线与y轴交于 正 半轴 位置) c_0 抛物线与y轴交于 负 半轴 P一4a( 2-4ac-0 与:轴有唯一交点(顶点) (决定与 b2-4ac>0 与:轴有两个不同的交点 :轴交点 的个数) b2-4ac<0 与.轴没有交点 ·22。 二次函数y=ax*+bx十c(a:0) ## # 图 根据 结 a>0,b<0,>0,b<0, a>0,b0. a>0,b-0. c①>0.b-4ac 论 <0,-4ac0=0,-4a c$ c=0,-4ac=0 2 0 ####1# 图 善 论 a<,b④ 0,<0,b0.a<o,b②0, <o,b③_。, 0. c -0. 0. c③<0. 论 0 6-4uc⑧0-4ac③ -4ac② -4ac③ <0 一般式:y=ax*+bx+c(a-0) 表达式的三种形式顶点式:y=a(x一h)}十 (a关0) 表达 门阅程圈细E 交点式:y=a(r一x)(x-xo)(a0) 式的 (1)设:设二次函数表达式 确定 确定表达 ((2)代:用待定系数法将在图象上的点的坐标代入所设表达式中,得到关于待定系 式的步骤 数的方程(组) (3)解:解方程(组),求得待定系数的值,将其代回所设表达式中即可 [(1)平移二次函数图象前,一般将其表达式化为项点式y一a(x一h)十人, 平移的方法 确定其项点坐标 (2)保持抛物线的形状不变,平移顶点(,) 二次函数 平移前的表达式 平移方式(一0) 平移后的表达式 规律 图象的平移 向左平移n个单位长度 y-a(r-h十n)?十k 左加 平移 向右平移n个单位长度 y-a(x-h-n)*十b y-a(x-h)②十b 右减 规律 (70) 向上平移n个单位长度 y-a(r-h)?+b十n 上加 向下平移n个单位长度 y-a(x-h)②+-n 下减 变化后变化后的 表达式 变化形式 a的值 顶点坐标 变化后的表达式 关于:轴对称 - (h,一) 二次函数的 y--a(:-h)-b d 关于y轴对称 翻折与对称 (一h,) y-a(r-h){十k y-a(r十h)②十b (a70) 关于原点O中心对称 -a (-h,-) y--a(x十h)*-k 绕顶点旋转180{ (h,) y--a(x-h)*十b ·23·