模块六 圆(教用)-【加速度中考】2025年陕西中考数学练透教材

模块六 圆 第1节 圆的基本性质 [6年6考] 练教而店日 圆：在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成 的图形叫做圆，其固定的端点O叫做①圆心，线段OA叫做②半径， 以点O为圆心的圆记作③⊙O 弧：圆上任意两点间的部分（如图中的AC,BC,ABC).④小于半圆的弧叫做 相关 劣弧（如图中的AC,BC),大于半圆的弧叫做优弧（如图中的ABC) 概念弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC).经过⑤圆心的弦叫做直径，直 径是最长的弦（如图中的AB) 圆心角：顶点在⑥圆心的角叫做圆心角（如图中的∠BOC) 圆周角：⑦顶点在圆上，并且两边都与圆⑧相交的角叫做圆周角（如图 圆的相关 中的∠BAC) 概念及性质 (1)圆是轴对称图形，任何一条⑨直径所在的直线都是圆的对称轴 性质 (2)圆也是中心对称图形，四圆心是它的对称中心 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧①相等，所对的弦也②相等 弦、弧、 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦 圆心角的 相等 圆 推论 关系 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优 基 弧和劣弧分别相等 定理：垂直于弦的直径⑧平分弦，并且①平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径⑤垂直于弦，并且⑩平分弦所对的两条弧 根据圆的对称性，有以下五个结论：(1)AC=⑦BC:(2)⑧AD=BD: (3)AE=⑩BE;(4)AB⊥CD:(5)CD是直径.只要满足其中的两个结论，另外三个 结论一定成立，即“知二推三” 只有 “知二求其一”：已知半径、弦长、弦心距中的任意两个，直接利用勾股 一条弦 定理可求出另一个 已知弦AB与弦CD的长、⊙O的半径，AB∥CD.设两条弦之间的距 离为d 垂径定理 当两条弦位于圆心同侧时 当两条弦位于圆心异侧时 定 及其推论 同时出现 的 两条互相 用 平行的弦 d-HG=OG-OH d=HG=OG+OH ·46 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的@圆心角的一半 圆周角定理 (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 及其推论 推论 1(2)半圆（或直径）所对的圆周角是④直角，90的圆周角所对的弦是②直径 圆 的 定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆（如图中的⊙O) 圆心（三角形的外心）：三角形三条边的②垂直平分线的交点 本 性 性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 质 三角形的外接圆角度关系：∠BOC=2∠A (1)圆内接四边形的对角④互补 圆内接四边形的性质 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 练载机变式 1.北师九下P83第1题改编如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AO,CO,∠B=60° (1)∠A0C=120°∠D=120∠BAO+∠OCB=60°； (2)若点D是AC的中点，则有： ①∠OAD=60°，四边形AOCD的形状为菱形 ②若AB=2,则⊙O半径的最小值为1，此时四边形OADC的周长是4： ③连接BD,若AB=BC=2,则BD= 45 3 (3)若AB=BC=6,延长AO与BC交于点F,与⊙O相交于点G,则GF的长为3· 第1题图 第2题图 2.人教九上P122第1题改组如图，AB,BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分OD,交OD于点E, ∠ABC=75°，BC=4V2,则∠ABO=30°，⊙O的半径长为4，AB=43. 3.人教九上P89第3题改编在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,以点C为圆心，以AC为半 径作⊙C,交AB于点D,求BD的长. 解：如答图，过点C作CH⊥AB于点H 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 由勾股定理得AB=AC+BC=10, .CH-AC BC-4.8. AB 第3题图 CH⊥AD,点C为圆心，∴AH=号AD, 在Rt△ACH中，AH=/AC-CF=3.6, ∴.AD=2AH=7.2,∴.BD=AB-AD=2.8. D 第3题答图 ·47 第2节 与圆有关的位置关系 [6年6考] 练载动专豆 点与圆的位置关系点在圆外台d①>r(如右图中点A) (设平面内任一点 点在圆上d②=r(如右图中点B) 到圆心的距离为d)点在圆内台d③ <r(如右图中点C) 位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的 位置关系 d与r的关系 d④>r d⑤=r d⑥<r (设圆的半径 为r,圆心到 图示 0/ O/ 直线的距离 为) 公共点的个数 没有公共点 有且只有一个公共点 有两个公共点 (1)圆心到切线的距离等于半径 切线的性质 (2)圆的切线⑦垂直于过切点的半径 定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线与圆相切，这条直线叫做圆的切 与圆 线，这个点叫做切点 有关的 定义法：满足切线的定义即可 内容：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 使用条件：直线与圆的公共点明确 判定 方法步骤：连半径，证垂直（如图，连接OA,证明 系 定理法 切线的判定 OA⊥CD) 方法 巧记：公共点明确，连半径，证垂直 内容：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线 使用条件：直线与圆的公共点不明确 距离法方法步骤：作垂直，证垂线段的长与半径长相等（如图，过点O作OA⊥CD 于点A,证明OA=r) 巧记：公共点不明确，作垂直，证半径 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角（如图，过⊙O外一点P可引两条切 线PA,PB,则PA=PB,PO平分∠APB) 定义：与三角形各边都相切的圆 三角形的 圆心（三角形的内心）：三角形三条角平分线的交点 内切圆 性质：三角形的内心到三角形的⑧三条边的距离相等 角度关系：∠B0C=90+2∠A ·48· 【知识拓展】三角形的内切圆半径（记为）的求法： (1)任意三角形的内切圆：如图①，已知三角形的面积以及三边长，利用等面积法求得 与 r= 2SAA a+bici 有关的 (2)直角三角形的内切圆：如图②，已知直角三角形的三边长，利用等面积法求得 位 a+b十c,利用切线长定理求得r=a十b-c ab 2 置 三角形的 系 内切圆 图① 图② 1.北师九下P90例1改编如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8,AC=4.以点C为圆心，r为半 径作圆 (1)若r=5,点D在⊙C外，线段CD的长为d,则d的取值范围为>5； (2)设P为⊙C外一点，若点P到⊙C的最短距离为2，最长距离为6，则⊙C的半径为2： (3)若r=4,则点A与⊙C的位置关系是点A在⊙C上，AB所在直线与⊙C的位置关系 是相交； (4)若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为4<≤43或r=2,3. 第1题图 第2题图 第3题图 2.人教九上P101第3题改编如图，AB,AC均与⊙O相切，切点分别为B,C,则∠ABO=90°， AB,AC间的数量关系为AB=AC.若∠A=50°，则∠COB=130° 3.北师九下P84第3题改编如图，已知△ABC,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,过点 D作DF⊥AC于点E,交BA的延长线于点F (1)连接OD,则OD与AC的位置关系为OD∥AC,DF所在的直线与⊙O的位置关系为 相切（填“相交”“相切”或“相离”）： (2)若∠C=30°，AB=4,则∠F=30°，△FBD的周长为6+43，面积为33；连接 AD,则∠ADF=30°； (3)连接AD,OD.若CE=3,CD=4,则AD= 47 .OD= (④)若AE=3,cOsB=号，则AF的长为 75 ·49· 第3节 弧长、扇形面积的相关计算 练教初雪包 弧长公式：1=① 1元R 180 (n°是弧所对的圆心角的度数，R是半径) 扇形 (1)S形=② nnR (n是弧所对的圆心角的度数，R是半径) R 360 面积公式 (2)S形= 2R1是弧长，R是半径) 知识拓展夏常见阴影部分面积的计算方法 直接公式法 直接和差法 构造和差法 D D 弧长、扇形面积的 D S阴影=S角形me SH影=S算形一S△程 SnHs=Sm形n一S△ 关计算 中心角：0=360 边心距：d=③ 圆与正n边形 周长：l=a 面积：S=0d三 d1为正n边形的周长)。 底面周长：C=2πr(r是底面圆半径) 底面圆面积：S=π产(r是底面圆半径) 侧面积：S=⑤*(1是母线长，r是底面圆半径) 圆锥 全面积：S全=S侧十Sg=πrl十πr 【知识拓展(1)圆锥的母线长为侧面展开后的扇形的⑥半径： (2)圆锥的侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的⑦周长 练载动变式 人教九上P116第10题改组如图，A,B,C,D是半径为2的⊙O上的点，AB与CD为互相垂直的直 径，以点B为圆心，BC长为半径作CD,交AB于点E. (1)扇形CBD的弧长为√2π，面积为2x; (2)若将扇形CBD围成一个圆锥，则圆锥的底面圆周长为2x,底面圆半 径为 2 ,侧面积为2π，圆锥的高为 30 2 (3)阴影部分的面积为4· ·50