专题3.5 函数的奇偶性及其应用（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第一册）

专题3.5 函数的奇偶性及其应用 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南大理·期末）函数 是（    ） A．奇函数，且在上单调递增 B．奇函数，且在上单调递减 C．偶函数，且在上单调递增 D．偶函数，且在上单调递减 3．（23-24高一上·福建三明·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·内蒙古通辽·期末）若函数在R上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是 A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南周口·期中）已知定义在上的偶函数的单调递减区间为，则使成立的自变量取值范围是 A． B． C． D． 6．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）已知定义在实数集R上的偶函数在区间是单调递减函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设为奇函数,且在内是减函数,,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一·全国·课后作业）函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024-2025高一上·全国·专题练习）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 11．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为4 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是 . 13．（24-25高一·全国·课后作业）已知是定义在区间上的偶函数，则 . 14．（23-24高三上·天津和平·期末）已知函数，若，则的值为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·江苏·课后作业）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 16．（23-24高一上·福建宁德·期中）如图所示，定义域在上的奇函数的部分图象是抛物线的一部分. （1）补全的图象并求的值； （2）求的解析式. 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）若函数，求的值； 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）对于函数，分析并求解下列问题： (1)试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． (2)解不等式：． 19．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）已知函数. (1)若，判断的奇偶性并加以证明. (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 函数的奇偶性及其应用 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，，可求得，由奇偶性可知，从而得到解析式. 【详解】当时，，则， 为上的奇函数，当时，. 故选：A. 2．（23-24高一上·云南大理·期末）函数 是（    ） A．奇函数，且在上单调递增 B．奇函数，且在上单调递减 C．偶函数，且在上单调递增 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【分析】根据奇偶性定义和单调性定义可以解出正确结果. 【详解】因为，所以，所以函数为奇函数. 设 ，且，则. 因为，，所以，所以，即， 所以在上单调递减. 故选:B. 3．（23-24高一上·福建三明·期中）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，结合选项即可判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，排除B、C； 又由当时，可得，所以只有选项A适合. 故选：A. 4．（23-24高一上·内蒙古通辽·期末）若函数在R上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由题意可知对于A，根据函数为减函数，则得A错；对于B，由奇函数得-f（-4）=f（4），则得B错；由奇函数得-f（-3）=f（3），又函数为减函数，所以f（3）<f（-4），故正确；对于D，根据函数为减函数，则得D错 考点：本题考查函数的奇偶性和单调性 点评：解决本题的关键是掌握函数的奇偶性和单调性的性质 5．（23-24高一上·河南周口·期中）已知定义在上的偶函数的单调递减区间为，则使成立的自变量取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数定义，把不等式化为，然后利用单调性求解． 【详解】∵是偶函数，∴不等式可化为，又在上是减函数，∴，即或． 故选D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，在利用单调性解函数不等式时，一定要把变量化在同一个单调区间内，才可求解． 6．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）已知定义在实数集R上的偶函数在区间是单调递减函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】根据偶函数的性质求出函数在区间的单调性，再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为偶函数在区间是单调递减函数，所以在区间是单调递增函数，又，所以，解得. 故选：A 7．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设为奇函数,且在内是减函数,,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质可以判断出函数大于零、小于零时,自变量的取值范围,结合分式运算的法则可以求出不等式的解集. 【详解】因为为奇函数,,所以,又因为在内是减函数,所以有：当时, ；当时, ,根据奇函数的图象关于原点对称的性质可知：当时, ；当时, . 因此或.可得或,解得 故选：B 【点睛】本题考查了利用奇函数的性质解分式不等式问题,考查了数学运算能力和数形结合能力. 8．（24-25高一·全国·课后作业）函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数关系，利用赋值法推理计算得（），再利用奇偶性定义判断作答. 【详解】对任意的实数x，y，，有成立， 令，则有，又， 因此，显然，得，， 又，于是， 当且时，，整理得，于是， 因此，，有且， 所以函数（）既是奇函数又是偶函数． 故选：C 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据为奇函数，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 对于A：因为，则，满足题意，故A正确； 对于B：因为，则，满足题意，故B正确； 对于C：，则，所以为偶函数，不满足题意，故C错误； 对于D：因为，所以其定义域是，没有奇偶性，故D错误. 故选：AB 10．（2024-2025高一上·全国·专题练习）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】BD 【分析】由奇偶函数的定义逐一判断即可 【详解】对于A：令，则， 所以A中的函数是偶函数，所以A错误； 对于B：令，则 ，所以B中的函数为奇函数，故B正确； 对于C：令 ，则 ，故C错误； 对于D：令，则 ，故D正确． 故选：BD 11．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】BC 【分析】根据奇函数可求解判断A，根据自变量即可代入求值判断B，结合函数的图象即可判断CD. 【详解】由对于一切恒成立得，代入得，故A错误； ，所以，故B正确； 由奇函数知，所以当时，， 当时，，画出图象，如图， 令，解得或，令时，解得或， 由图象可知，要使值域为，， ，故C正确，D错误. 故选：BC 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据偶函数的对称性计算可得； 【详解】解：因为函数是定义在上的偶函数，在上是增函数， 所以在单调递减，又，所以， 所以当时，当时， 当时，当时， 综上可得当或时，即不等式的解集为或； 故答案为：或 13．（24-25高一·全国·课后作业）已知是定义在区间上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义域可求得实数的值，结合二次函数的对称轴可计算出实数的值，即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得， 因为定义在区间上的偶函数，则，得. 因此，. 故答案为：. 14．（23-24高三上·天津和平·期末）已知函数，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】求出函数的定义域，并化简函数解析式，然后判断函数的奇偶性，根据奇偶性即可得出结果. 【详解】依题意，解得：， 即函数的定义域为，关于原点对称，此时恒成立， 则， ∵， ∴函数为奇函数， ∴． 故答案为：4． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·江苏·课后作业）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数． 【分析】根据函数的奇偶性的判定方法，准确运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由，即， 所以函数为偶函数. （2）由，解得或，所以函数的定义域为或，其定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数． （3）由题意，函数满足，解得或， 即函数的定义域为，关于原点对称，可得函数， 又由，所以函数为奇函数， 即函数是奇函数． 16．（23-24高一上·福建宁德·期中）如图所示，定义域在上的奇函数的部分图象是抛物线的一部分. （1）补全的图象并求的值； （2）求的解析式. 【答案】（1）作图见解析，；（2）. 【分析】（1）根据奇函数的性质可补全函数的图象，根据图象并结合奇函数的性质可求得的值； （2）利用两根式可求得函数的解析式，然后设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质得出在的表达式，结合可得出函数的解析式. 【详解】（1）如图所示补全图象. 由图有，，因此，； （2）由图可设当时，. 由图有，有，故，所以当时，； 当时，； 当时，则，. 综上所述，函数的解析式为. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性求函数解析式的基本步骤如下： （1）设属于所求的区间，可得出属于已知区间； （2）求出的表达式； （3）利用函数奇偶性的定义可得出（偶函数）或（奇函数）； （4）综合可得出函数的解析式. 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）若函数，求的值； 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）先设，则，然后根据时的函数解析式及为偶函数，满足，代入可求得函数的解析式． （2）当时，，当时，，解方程即可求解的值． 【详解】（1）当时，， 设，则，， 为偶函数，， ， 故. （2）当时，， 解可得，或（舍， 当时，， 解可得，（舍或， 综上可得，或． 【点睛】本题考查分段函数奇偶性的求解、根据函数值求自变量的值，考查基本运算求解能力，求解时要注意进行验算． 18．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）对于函数，分析并求解下列问题： (1)试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． (2)解不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性结合题意得到关于的不等式，即可求解. 【详解】（1）证明：，且， 则 ， ， ， ， ， 在上单调递增. （2）， ， 为奇函数， 又由（1）知在区间上单调递增， 在上单调递增， 令，解得或， 又，即， 或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 19．（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）已知函数. (1)若，判断的奇偶性并加以证明. (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义，可得答案； （2）利用参编分离，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）， 定义域为，且， 所以为奇函数. （2）由， 则，在上恒成立， 整理为在上恒成立， 令，根据二次函数的性质， 当时，，所以， 故实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$