23章 图形的相似 复习讲义 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

《图形的相似》章节复习讲义 考点一：三个概念（成比例线段、相似多边形、位似图形） (一) 成比例线段 1.已知线段,,,则线段的第四比例= 2.已知三条线段的长为，，，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是 ； 3．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 4．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（     ）m A． B． C． D． （二）相似多边形 1．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（    ）       A B C D 2. 如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（　）时，矩形ABCD∽矩形EFGH． A. a＝b B. ab C. ab D. ab 2题图 3题图 3．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． （三）位似图形 1．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 1题图 2题图 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ． 3．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为 D．△ABC与△DEF的周长之比为 3题图 4题图 4．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 5．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ） A．18 B．12 C．24 D．9 5题图 6题图 7题图 6．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 7．如图，在中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使它与的相似比为2，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 考点二：一个作图（作位似图形） 1. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是． (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 考点三：五个性质（比例的性质、平行线分线段成比例的性质、相似三角形性质、中位线的性质、重心的性质） (一) 比例的性质 1. 若，则等于（　　） A. B. C. D. 1 2. 已知，则= 3．如果，且，则的值为 ． 4．已知，则 ． 5. 若，求的值． 6．已知满足，试求的最大值 ． （二）平行线分线段成比例的性质 （Ⅰ）由平行判断成比例的线段 1. 如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　） A. B. C. D. （Ⅱ）由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 1题图 2题图 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）． A．5 B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（     ） A． B． C． D． （Ⅲ）构造平行线截线求相关线段的长或比值 1. 如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为 ．    1题图 2题图 2．如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． （三）相似三角形性质 (Ⅰ) 利用相似求线段长 1．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．    1题图 2题图 2．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 4．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． （Ⅱ）利用相似求线段的比值 1．如图，与交于点，且．若，则 ．    1题图 2题图 2.如图，点D、E分别在△ABC边AB、AC上，，且，那么的值为（　　） A． B． C． D． 3. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为　 　. 3题图 4题图 4．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． （Ⅲ）利用相似证明线段相等 1.如图，M为正方形ABCD边AB上一点，BP⊥CM于P点，PN⊥PD交BC于N． 求证：BM=BN （Ⅳ）利用相似三角形的性质解决与角度有关的问题 1. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，，，则（ ） A、50° B、40° C、30° D、20° 2. 如图,四边形,,是三个正方形, 　　　.  (Ⅴ) 利用相似三角形的性质解决与周长有关的问题 1. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 (Ⅵ)利用相似三角形的性质解决与面积有关的问题 1. 如图，在□ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连结CO并延长交AD于点E，若的面积是2，则四边形ABOE的面积是 　 　； 2. 如图，在中，为的中点，、相交于点．若的面积为，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，为边上的高，动点P从点A出发，沿A到的D方向以的速度向点D运动，设的面积为，矩形的面积为，运动时间为t秒（），则当t＝_______秒时，． 4. 如图，在中，，于D，若、是关于x的方程的两个根，且，求m的值 。 （四）中位线的性质 1．如图所示，在中，，是斜边上的中线，E、F分别为、的中点，若，则　 ． 1题图 2题图 2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 3题图 4题图 5题图 4．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D．7 5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E和F分别是BD，AC的中点，若BC＝10，AD＝6，则线段EF的长为（　　） A．8 B．5 C．3 D．2 6．如图，在四边形中，点是边上的动点，点是边上的定点，连接，，，分别是，的中点，连接．点在由到运动过程中，线段的长度（　　） A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大 6题图 7题图 8题图 7．在中，，，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为，的中点，则的最小值是______. 8．如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．5 9．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线 （1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由． （2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度． （3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系． 10.如图，等边的面积为，顺次连接各边的中点得，顺次连接各边的中点得，…，如此下去得，则的周长为     ． 11.如图，中，，，取BC边中点E，作，，得到四边形EDAF，它的面积记作；取BE中点，作，，得到四边形，它的面积记作.照此规律作下去，则. 11题图 12题图 12．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　　） A．25° B．30° C．45° D．35° 13．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，． (1)求证：； (2)求的长． 14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． （五）重心的性质 1．△ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么AG= ． 2．如图，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG＝3，GC＝4，则BG的长是（　　） A． B．5 C． D．7 2题图 3题图 4题图 3．已知点G是的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 4．如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为18，则△ABC的面积是（　　） A．54 B．51 C．42 D．41 考点四：四个判定（三角形相似的四种判定方法） 1. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 2．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 3. 如图，在菱形中，E边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 4．如图，，分别是与边上的高．求证：． 5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） ( C B A 第 5 题图 9 题 A B C D ) 6．如图，在平面直角坐标系中，已如，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是 ．    考点五：证明等积式或比例式 (一) 三点定型法 1．如图，在中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是的中线，求的值． （二）等线段代换法 1．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： （三）等比代换法(找中间比) 1．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2＝EF•EC．求证： （1）△ABD∽△FCB； （2）BD•BE＝AD•CE． （四）等积代换法(找中间积) 1. 如图，中，、是高，于，交于，交的延长线于。 求证： 考点六：相似三角形的性质在实际问题中的应用 （一）利用相似三角形解决测量高度问题 （Ⅰ）利用太阳光的影子测量高度 （ⅰ）影子在地面 1. 阳光下同一时刻，物高与影长成正比例，如果身高为1.5m的小丽，影长为2.5m，则此时影长为30m的旗杆的高为（ ） A、20m B、18m 、16m D、15m （ⅱ）影子在墙面 常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法,这三种方法的实质都是构造三角形相似,在构造的时候我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角 1．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． （ⅲ）影子在坡面 1. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，是水平的，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知铁塔底座宽，塔影长，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为和，那么塔高为（ ） A. B. C. D. （Ⅱ）利用标杆测量高度。 1．如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上)．已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，求树高CD． （Ⅲ）利用平面镜测量高度 1.如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是______米． （二）利用相似三角形解决测量宽度问题 1. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为        米． 考点七：相似三角形中动点问题 （一）相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1.如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 2．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 3. 如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题． （1）当为何值时，？ （2）当为何值时，四边形的面积等于矩形面积的？ （3）当为______时，是等腰三角形． （二）相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 1． 如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 2．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． （三）相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 1. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为 2. 如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是_____． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《图形的相似》章节复习讲义 考点一：三个概念（成比例线段、相似多边形、位似图形） (一) 成比例线段 1. 已知线段,,,则线段的第四比例= 解析：（注意顺序性）比例的形式：a:b=c:d其中,a,d称为外项,b,c称为内项比例的性质：外项的乘积=内项的乘积即：a×d=b×c所以 d=(b×c)÷a这道题中的x就等于d,把a=3,b=5,c=7代入得x=(b×c)÷a=5×7÷3=35/3（cm） 2. 已知三条线段的长为，，，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是 ；【答案】16cm或4cm或1cm 3．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴，解得， 故选：C． 4．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（    ）m A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 解：设下部的高度为，则上部高度是， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴，解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴，故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． （二）相似多边形 1．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（    ）       A B C D 【答案】A 解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似， 故选：A． 【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键． 2.如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（　D　）时，矩形ABCD∽矩形EFGH． A. a＝b B. ab C. ab D. ab 解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，∴, 即 化简得：， 3．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． （三）位似图形 1．如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可． 【详解】根据题意，得位似中心为点D， 故选A． 2．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【知识点】判断位似中心 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 3．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为 D．△ABC与△DEF的周长之比为 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形的识别 【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意； △ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将△ABC的三边缩小到原来的， ∴△ABC与△DEF的周长之比为，故D选项不正确，符合题意； ∵面积比等于相似比的平方， ∴△ABC与△DEF的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键． 4．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键． 根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】∵，∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长：四边形的周长， ∵四边形的周长是8， ∴四边形的周长为28， 故答案为：28． 5．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ） A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了图形位似，坐标与图形．熟练掌握位似图形的面积比等于相似比平方，坐标与图形的性质，是解决问题的关键． 由与是位似比为的位似图形，得到面积比等于位似比的平方，即可求解． 解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴，且相似比为， ∴， ∵，∴． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍，则点A对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标 【分析】根据题意可得，如图：过A作轴于C，再根据等边三角形的性质可得，即可确定点，再根据题意可得与位似为2比1，然后根据位似变换的性质进行计算即可解答． 解：∵等边三角形的顶点，∴， 过A作轴于C，    ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的4倍， ∴与位似比为2比1， ∴点A的对应点的坐标是或． 故选：D． 【点睛】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 7．如图，在中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使它与的相似比为2，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 解：设点的横坐标为， 则、间的水平距离为，、间的水平距离为， ∵放大到原来的2倍得到， ∴， 解得：， 故选：A． 考点二：一个作图（作位似图形） 1. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是． (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 考点三：五个性质（比例的性质、平行线分线段成比例的性质、相似三角形性质、中位线的性质、重心的性质） (一) 比例的性质 1.若，则等于（　A　） A. B. C. D. 1 解：∵，∴设，则，则．故选：A． 2.已知，则= 3．如果，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、三元一次方程组的定义及解、比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 解：设， 则，，， ， ，， ，，， ； 故答案为． 4．已知，则 ． 【答案】或． 【分析】由，可得，再分两种情况讨论即可． 解：∵， ∴， ∴， 当时， ∴，则， 当时，， ∴，则， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键． 5. 若，求的值． 【分析】分两种情况：当时，当时，分别求出m的值即可． 解：当时， 根据比例的等比性可得：； 当时，可得，∴． 6．已知满足，试求的最大值 ． 【答案】25 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、比例的性质 【分析】设，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解． 解：设， ∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2， ∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2 =4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4) =4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4 =-3k2-18k-2 =-3(k2+6k+9-9)-2 =-3(k+3) 2+25 ∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0， ∴a2+b2−c2的最大值为25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键． （二）平行线分线段成比例的性质 （Ⅰ）由平行判断成比例的线段 1. 如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　D　） A. B. C. D. 【详解】A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确； B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确； C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确； D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选D． （Ⅱ）由平行截线求相关线段的长或比值 1．如图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长． 解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC， ∴△CGH∽△CAB，∴， ∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， △BGH∽△BDC，∴， ∴， ∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）． A．5 B． C． D．    【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键． 过A点作于点N，交于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得，进而可得，再利用勾股定理可得，结合三角形的面积即可求解． 【详解】过A点作于点N，交于点M，如图，    ∵在矩形中，，∴，， ∵直线且相邻两直线间距离相等，，∴， ∴， ∵，∴， ∴在中，， ∵，∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC，∴，∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （Ⅲ）构造平行线截线求相关线段的长或比值 1. 如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为 12 ．    解：如图，过点作于点；则； 而，， ； 为边的中点，，，故答案为：． 2．如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为 ． 【答案】8:5 【分析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到，则CE=DF，由DF∥AE得到，则AE=4DF，然后计算的值． 【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图， ∵DF∥CE，∴， 而BD：DC=2：3，∴，则CE=DF， ∵DF∥AE，∴， ∵AG：GD=4：1，∴，则AE=4DF，∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. （三）相似三角形性质 (Ⅰ) 利用相似求线段长 1．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 解：为等边三角形，． ． ，， ，， ，，，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 2．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 解：∵正方形，，∴， ∵正方形，，∴，∴， 由题意得，∴， ∴，即，解得， 故选：B． 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形应用举例 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：，∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即，∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 4．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 解：如图，过点作于点，交于点． ，，， 四边形是矩形，，，， ，， ，， ，，，， ． （Ⅱ）利用相似求线段的比值 1．如图，与交于点，且．若，则 ．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 解：，，， 故答案为：． 2.如图，点D、E分别在△ABC边AB、AC上，，且，那么的值为（　A　） A． B． C． D． 解：∵， ∴设AB＝3a，AD＝a，AE＝3b，CE＝b，则AC＝4b， ∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴△DAE∽△CAB，∴，即，解得， ∴， 故选：A． 3. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，，射线ED和CB的延长线交于点F，则的值为　 　. 解：过作∥交于， ∴，∴， ∵，∴， ∵∥，∴，∴． 本题也可过作∥交于， 4．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵，∴，∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． （Ⅲ）利用相似证明线段相等 1.如图，M为正方形ABCD边AB上一点，BP⊥CM于P点，PN⊥PD交BC于N． 求证：BM=BN 证明：∵BP⊥MC，∴∠PBC+∠PCB=90°， 又∵∠PCB+∠PCD=90°，∴∠PBC=∠PCD． ∵PD⊥PN，∴∠DPN=90°． ∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°，∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°， ∴∠BPN=∠DPC． ∴△PBN∽△PCD（两角对应相等的两个三角形相似）． ∴． 又∵BP⊥MC， ∴△PBM∽△PCB，∴． ∵BC=CD，∴． ∴BN=BM． （Ⅳ）利用相似三角形的性质解决与角度有关的问题 1. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，，，则（ D ） A、50° B、40° C、30° D、20° 解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是△ABD的中位线，∴， 同理，， ∵AD＝BC，∴PE＝PF， ∴， 2. 如图,四边形,,是三个正方形, 　　　.  解析：设正方形的边长是1,则,, 由勾股定理得,,, ∵,，， ∴, ∴∽,∴, ∵四边形是正方形,∴, ∴, ∴. (Ⅴ) 利用相似三角形的性质解决与周长有关的问题 1. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　A　） A．16 B．17 C．24 D．25 解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F， ∴DF＝AD＝15， 同理BE＝AB＝10， ∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5； ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8， 在Rt△ABG中，， ∴AE＝2AG＝12， ∴△ABE的周长等于10+10+12＝32， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF， ∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2， ∴△CEF的周长为16．故选：A． (Ⅵ)利用相似三角形的性质解决与面积有关的问题 1. 如图，在□ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连结CO并延长交AD于点E，若的面积是2，则四边形ABOE的面积是 　5 　； 2. 如图，在中，为的中点，、相交于点．若的面积为，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，证明，进而得出，，根据平行四边形的性质得出，进而根据四边形的面积是，即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵，∴， ∵的面积为，∴， ∵，∴，∴， ∵四边形是平行四边，∴， ∴四边形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3. 如图，在中，为边上的高，动点P从点A出发，沿A到的D方向以的速度向点D运动，设的面积为，矩形的面积为，运动时间为t秒（），则当t＝_______秒时，． 【答案】6 【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出和，然后根据，即可列方程求解． 解：∵中，为边上的高， 又∵，则， ,解得：． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，以及直角三角形的性质，正确表示出和是关键． 4. 如图，在中，，于D，若、是关于x的方程的两个根，且，求m的值 16 。  解：∵、的长是方程的根， ∴，； ∵的面积为20，∴；∴； ∵在中，， ∴，，∴ （四）中位线的性质 1．如图所示，在中，，是斜边上的中线，E、F分别为、的中点，若，则　4 ． 解：∵E、F分别为MB、BC的中点，∴CM＝2EF＝2， ∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线， ∴AB＝2CM＝4，故答案为：4． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　B　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC＝14，∴， ∵∠AFB＝90°，AB＝8， ∴， ∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3， 故选：B． 3．如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 解：延长交于， 在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND， ∴AD＝AB＝8，BN＝ND， ∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6， ∴AC＝AD+CD＝14，故选：B． 4．如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（　A　） A．1 B．2 C． D．7 解：在△AFG和△AFC中， ，∴△AFG≌△AFC， ∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2， ∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF＝GB＝1，故选：A． 5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E和F分别是BD，AC的中点，若BC＝10，AD＝6，则线段EF的长为（　D　） A．8 B．5 C．3 D．2 解：连接DF，并延长交BC于点G， ∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠GCF， 在△ADF和△GCF中， ，∴△ADF≌△CGF（ASA）， ∴DF＝FG，CG＝AD＝6， ∴BG＝BC﹣CG＝10﹣6＝4， ∵BE＝DE，∴EF＝BG＝2．故选：D． 6．如图，在四边形中，点是边上的动点，点是边上的定点，连接，，，分别是，的中点，连接．点在由到运动过程中，线段的长度（　A　） A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大 解：连接AQ， ∵点Q是边BC上的定点，∴AQ的大小不变， ∵E，F分别是AP，PQ的中点，∴EF＝AQ， ∴线段EF的长度保持不变，故选：A． 7．在中，，，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为，的中点，则的最小值是______. 解：连接CM， ∵点D、E分别为，的中点，∴. 当时，的值最小，此时的值也最小. 由勾股定理得：. ∵，∴， ∴，故答案为：． 8．如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　D　） A．8 B．6 C．4 D．5 解：如图，连结， ∵，，∴， 当点与点重合时，的值最大即最大， 在中，∵，，， ∴，∴的最大值．故选：D． 9．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线 （1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由． （2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度． （3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系． （1） 易得，是等腰三角形 （2） （3） 当点F在线段DE时，由（2）得 当点F在线段DE的延长线上时， 解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴，DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC， ∵BE是∠B的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠DEB＝∠DBE， ∴，∴， ∴是等腰三角形； （2）由（1）得，，， ∴； （3）当点F在线段DE时，由（2）得，； 当点F在线段DE的延长线上时，． 10.如图，等边的面积为，顺次连接各边的中点得，顺次连接各边的中点得，…，如此下去得，则的周长为     ． 解：∵等边△ABC的面积为，∴AB=BC，∠B=60° ∴AB•BCsin60°=，则AB=BC=2，∴△ABC的周长为6． ∵顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，∴△A1B1C1的周长=×6=3， 同理：△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长=×3=，… 以此类推，△AnBnCn的周长=△An-1Bn-1Cn-1的周长=．故答案是：． 11.如图6，中，，，取BC边中点E，作，，得到四边形EDAF，它的面积记作；取BE中点，作，，得到四边形，它的面积记作.照此规律作下去，则. 12．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB＝CD，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠GEF的大小是（　A　） A．25° B．30° C．45° D．35° 略解：， 13．在中，点是边的中点，平分，，的延长线交于点，，． (1)求证：； (2)求的长． （1）证明：平分，． ，． 在与中，，． （2），， ． 是的中点，， 14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． 证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形； （2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF＝∠BAC， ∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高， ∴DH＝AD，FH＝AF， ∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH＝∠BAC， ∠DHA+∠FHA＝∠DHF， ∴∠DHF＝∠BAC， ∴∠DHF＝∠DEF （五）重心的性质 1．△ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么AG= ． 【答案】4 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】过点D作交AC于点E，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出，然后代入计算即可． 【详解】如图，过点D作交AC于点E，    ∵G是△ABC重心，∴AD，BF都是△ABC的中线， ． ，， ． ，． ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 2．如图，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG＝3，GC＝4，则BG的长是（　　） A． B．5 C． D．7 解析：如图，延长BG交AC于点H； ∵点G是△ABC的重心，∴AH＝CH； ∵AG⊥GC，∴AC＝2GH，∴BG＝AC． 由勾股定理得：AC2＝AG2+GC2，而AG＝3，GC＝4， ∴AC＝5，∴BG＝5． 故选：B． 3．已知点G是的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】连接CG并延长交AB于E，如图，利用三角形重心性质得到，则利用平行线分线段成比例得到，再根据三角形面积公式得到，则，接着求出，从而得到，然后利用CE为中线得到． 解：连接CG并延长交AB于E，如图， ∵点G是的重心，∴， ∵DG∥AB，∴，∴，∴， 而EG＝CG，∴， ∴， ∵CE为中线，∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式． 4．如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为18，则△ABC的面积是（　A　） A．54 B．51 C．42 D．41 解析：如图所示，连接CF， ∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，∴S△BCE＝S△ABD， ∴S四边形CDFE＝S△ABF＝18， ∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线， ∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE， ∴S△BCF＝S△BAF＝18， 同理可得，S△ACF＝S△BAF＝18， ∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝18， ∴S△ABC＝3S△BAF＝3×18＝54， 故选：A． 考点四：四个判定（三角形相似的四种判定方法） 1. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ D ） A. B. C. D. 【详解】∵，∴， A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定，故本选项符合题意，故选：D． 2．如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据正方形的性质证明、证明两三角形相似 【分析】（1）先判断出，再利用角平分线判断出，即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可求，可得结论． 【详解】（1）证明：由旋转可知：，． 平分，，， ，； （2）证明：，， ． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3. 如图，在菱形中，E边上一点，． （1）求证：； （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键． （1）根据菱形的性质，得出，进而证明结论即可； （2）根据菱形的性质和相似三角形的性质，得到，即可求出菱形的边长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形，，， ，； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，， ， ，，， 为边长， 4．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 证明：，分别是与边上的高，， ，，，即， ，． 5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ A ） ( C B A 第 9 题图 9 题 A B C D ) 6． 如图，在平面直角坐标系中，已如，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是 ．    【答案】或或 【分析】分两种情形：当点P在x轴上时，时，当点在y轴上时，或，分别求解即可． 解：如图，    ∵，∴，∴， 当点P在x轴上时，时， ∴，∴，∴，∴，∴， 当点在y轴上时，， ∵，∴，∴，∴． 当时，有， ∴∴ ∴ 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题． 考点五：证明等积式或比例式 (一) 三点定型法 1．如图，在中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是的中线，求的值． （1）证明：，，，， ，，，． （2）解：，， ，， AD是的中线，， ，即：， ∴． （二）等线段代换法 1．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【详解】（1）证明：，， 在和中，，，． （2）证明：，， ，即， 在和中，，，， 由（1）已证：，，． （三）等比代换法(找中间比) 1．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2＝EF•EC．求证： （1）△ABD∽△FCB； （2）BD•BE＝AD•CE． 证明：（1）∵BE2＝EF•EC，∴， ∵∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴∠EBF＝∠ECB， ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∴△ABD∽△FCB； （2）由（1）知△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB ∴，， ∴，∴BE•BD＝AD•CE． （四）等积代换法(找中间积) 1. 如图，中，、是高，于，交于，交的延长线于。 求证： 证明：， ，， ∽， ，即 又易证∽， ，即 考点六：相似三角形的性质在实际问题中的应用 （一）利用相似三角形解决测量高度问题 （Ⅰ）利用太阳光的影子测量高度 （ⅰ）影子在地面 1. 阳光下同一时刻，物高与影长成正比例，如果身高为1.5m的小丽，影长为2.5m，则此时影长为30m的旗杆的高为（ B ） A、20m B、18m 、16m D、15m （ⅱ）影子在墙面 常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法,这三种方法的实质都是构造三角形相似,在构造的时候我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角 1．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】过点D作于点E，根据题意，，得到矩形,继而得到，根据同一时刻，物高与影长成正比，建立等式计算即可． 本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的应用，熟练掌握解矩形的应用是解题的关键． 【详解】过点D作于点E，根据题意，得， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据同一时刻，物高与影长成正比， ∴即，解得， ∴． 故选C． （ⅲ）影子在坡面 1. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，是水平的，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知铁塔底座宽，塔影长，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为和，那么塔高为（ A A. B. C. D. 解：过作，交于点，过作，垂足为. 由题意得：,∴． ∴． 又∵,∴． ∴． 答：铁塔的高度为．故选A． （Ⅱ）利用标杆测量高度。 1．如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上)．已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，求树高CD． 【答案】6.5米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形应用举例 【分析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，则EH⊥AB，证明四边形EFDH为矩形，可得HD的长，再根据△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知． 解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，则EH⊥AB，如下图所示： 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH为矩形， ∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米， ∴AG＝AB−GB＝2.9−1.7＝1.2（米）， ∵AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴，∴， ∴CH＝4.8， ∴CD＝CH＋DH＝4.8＋1.7＝6.5（米）． 答：树高CD为6.5米． 【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形． （Ⅲ）利用平面镜测量高度 1.如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是___8___米． 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°， ∵∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP, ∴， 即, 解得：CD=8米．故答案为：8． （二）利用相似三角形解决测量宽度问题 1. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为   22.5     米． 解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示 设河宽为米． ∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB， ∴△PDC∽△PBA，∴，∴， 依题意CD=20米，AB=50米，∴，解得：（米）． 答：河的宽度为22.5米． 考点七：相似三角形中动点问题 （一）相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1.如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 解：∵在中，，，， ∴， ①当时，，， 若，∴ 则，∴，解得：； 若，∴则，∴，解得： ②当时，，， 同理可得或 解得：（舍去）或 综上所述，或或， 故答案为：或或． 2．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，秒．理由见解析． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题 【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． （2）如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 3. 如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题． （1）当为何值时，？ （2）当为何值时，四边形的面积等于矩形面积的？ （3）当为______时，是等腰三角形． 【答案】（1）； （2）； （3）的值为或． 【分析】()由勾股定理求出BD，由得到，由相似三角形对应线段成比例则可得出答案； ()面积关系列出方程可得出答案； ()由等腰三角形的性质分三种情况可求出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 若，则， ∴，∴，∴， 故当时，； 【小问2详解】 过点作于，则， ∴，∴，∴，∴ ∴， ∴， ∵四边形的面积等于矩形面积的， ∴ ，∴， ∴，， ∵，不合，舍去，∴； 【小问3详解】或． 若，则，解得 ； 若， 过点作于点， 则，， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得； 若， 过点作于点， 则，， 又∵，∴，∴，∴， 解得 ，不合，舍去，∴或； 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （二）相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 1．如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 解：四边形是正方形， ，， ，，． 当时，，，， 当时，，，， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为：8或． 2．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ，， ，， ，，， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”，或， 当时， ，， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，，， ，， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”，， 又，， ，即，， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． （三）相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 1. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为 解：如图，作于，连接． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 在中，， ∴， 在中， ∵，，∴， 易知的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为1， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 2. 如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是___5__． 解：如图所示：过点C作，且，连接FG， 设，则, 当点A、F、G三点共线时，的最值小， ∵，且， ∴四边形CEFG是平行四边形； ∴，， 又∵点A、F、G三点共线，∴， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵，∴四边形AECF是菱形，∴， 在中，由勾股定理得， 又∵，，则， ∴，解得：，∴， 在中，由勾股定理得， ，所以 ∴， 又∵，∴，， ∴， ∴，即，∴， 又∵，， ∴，即最小值是5， 故答案：5． 54 学科网（北京）股份有限公司 $$