2025年九年级中考数学一轮复习课件：第十四讲二次函数的图象与性质

第十四讲　二次函数的图象与性质 必备知识·夯根基 【知识要点】 1.二次函数的概念及其表达式 (1)二次函数的概念:形如_______________(a,b,c是常数,a≠0)的函数.  (2)二次函数的表达式: ①一般式:____________________.  ②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是_________.  ③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 　y=ax2+bx+c　 　y=ax2+bx+c(a≠0)　 　(h,k)　 【对点练习】 1.(1)(教材再开发·北师九下P30随堂练习T1改编)下列函数表达式中,一定为二次 函数的是( ) A.y=2x-5　　 B.y=ax2+bx+c C.h= D.y=x2+ (2)已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式是 ( ) A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2 C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2 (3)二次函数解析式为y=(m+1)+4x+7,则m的取值是_______.  C C 　2　 【知识要点】 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 (1)当a>0时: ①开口方向:向上. ②顶点坐标:. ③对称轴:直线__________.  　x=-　 ④增减性:当x<-时,y随x的增大而__________;  当x>-时,y随x的增大而__________.  ⑤最值:当x=-时,y最小值=_________.  　减小　 　增大　  　 (2)当a<0时: ①开口方向:向下. ②顶点坐标:. ③对称轴:直线__________.  ④增减性:当x<-时,y随x的增大而__________;  当x>-时,y随x的增大而__________.  ⑤最值:当x=-时,y最大值=_________.  　x=-　 　增大　 　减小　  　 【对点练习】 2.(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为x=,且经过点 (-1,0).下列结论:  ①3a+b=0;②若点(,y1),(3,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2; ③10b-3c=0;④若y≤c,则0≤x≤3.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是( ) A.有最大值4 B.有最小值4　 C.有最大值6 D.有最小值6 C D 【知识要点】 3.二次函数图象的平移 平移前的 解析式 移动方向 (m,n>0) 平移后的 解析式 规律 y=a(x- h)2+k 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)2+k 给x______右减 向右平移m个单位 y=a(x-h-m)2+k 给等号右边整体上 加______ 向上平移n个单位 y=a(x-h)2+k+n 向下平移n个单位 y=a(x-h)2+k-n 左加 下减 【对点练习】 3.(1)将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛 物线必定经过( ) A.(-2,2) B.(-1,1) C.(0,6) D.(1,-3) (2)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物 线的解析式为_____________.  B 　y=2x2+4x　 【知识要点】 4.二次函数与方程、 不等式的关系 【对点练习】 4.(1)(教材再开发·人教九上P47T5改编)如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( ) A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1 D.x<-1或x>5 (2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+ bx+c+m=0(m>0)有两个整数根,其中一个根是3,则另一个根是( ) A.-5 B.-3 C.-1 D.3 D A 考点1　二次函数的图象和性质 【一题多设问】 【例1】已知抛物线y=-x2+x+3. (1)将y=-x2+x+3化为顶点式. 【解析】y=-x2+x+3=-(x2-4x)+3=-(x2-4x+4-4)+3 =-(x-2)2+4. 高频考点·释疑难 (2)抛物线y=-x2+x+3的开口方向为__________,对称轴为_____________;顶点坐标 为_________.当x=_______时,y有最________值为_______;若y随x的增大而增大, 则x的取值范围是_________.  　向下　 　直线x=2　 　(2,4)　 　2　 　大　 　4　 　x<2　 (3)设抛物线y=-x2+x+3与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,顶点为D.求四边形ABDC的面积. 【解析】令y=0,则-x2+x+3=0,解得x1=-2,x2=6, ∴y=-x2+x+3与x轴的交点为A(-2,0),B(6,0). 令x=0,则y=3.∴y=-x2+x+3与y轴的交点为C(0,3). 由y=-x2+x+3=-(x-2)2+4可知顶点为D(2,4). 如图,过点D作DE⊥x轴于点E.则S四边形ABDC=S△AOC+S四边形OCDE+S△DEB =×2×3+×(3+4)×2+×4×4=18. (4)将抛物线y=-x2+x+3向下平移3个单位,再向左平移1个单位,求所得新的抛物线的解析式. 【解析】由y=-x2+x+3=-(x-2)2+4, 将抛物线y=-x2+x+3向下平移3个单位,再向左平移1个单位, 则y=-(x-2+1)2+4-3=-(x-1)2+1=-x2+x+. ∴所得新的抛物线的解析式为y=-x2+x+. (5)若抛物线y=-x2+x+3上有A(-1,y1),B(3,y2),C(4,y3)三点,试比较y1,y2,y3的大小. 【解析】抛物线对称轴为直线x=2. ∵A(-1,y1),∴A点关于x=2的对称点A'(5,y1), ∵a=-<0,∴在x=2的右边y随x的增大而减小, ∵A'(5,y1),B(3,y2),C(4,y3),5>4>3,∴y1<y3<y2. (6)对于抛物线y=-x2+x+3,当0≤x≤8时,求y的最大值和最小值. 【解析】∵抛物线y=-x2+x+3的开口向下,且对称轴为直线x=2, ∴当x<2时,y随x的增大而增大. 当x>2时,y随x的增大而减小. 结合问题(3)中的函数图象,得当x=2时,y取最大值为4,当x=8时,y取最小值,最小值为y=-×82+8+3=-5. (7)请直接写出-x2+x+3<0的解集______________.  (8)若抛物线y=-x2+x+3解析式改为y=(m-)x2+x+3,且抛物线y=(m-)x2+x+3与x轴有 交点,则m的取值范围是_______________.  【跟踪训练】 若抛物线y=-x2+x+3解析式改为“若函数y=(m-)x2+x+3与x轴有交点”,则m的取值 范围是_________.  　x<-2或x>6　 　m≤且m≠　 　m≤　 【满分技法】 1.将二次函数一般式化为顶点式的一般步骤 (1)一提:将二次项系数化为1,方法是含未知数的项提取二次项的系数. (2)二配:将含有x的项配成完全平方式,即加一次项系数一半的平方. (3)三化:化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式. 2.求抛物线的对称轴的两种方法 (1)直接运用公式x=-求解. (2)利用x=(其中x1,x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解. 特别提醒:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c的关系是互逆的.即由字母的符号能确定图象的特征,反之,由图象特征也能确定字母的符号. 3.求顶点坐标的三种方法 (1)直接运用顶点坐标公式(-,)求解. (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为(h,k). (3)将对称轴x=x0代入函数解析式求得对应的y0. 4.利用二次函数图象解一元二次不等式的方法 (1)准确画出函数图象,求出抛物线与x轴的交点坐标. (2)观察图象在x轴上方部分对应的x的取值范围即为不等式ax2+bx+c>0的解集;图象在x轴下方部分对应的x的取值范围即为不等式ax2+bx+c<0的解集. 特别提醒:若函数没有明确函数类型,注意要分类讨论. 考点2　二次函数图象与系数的关系 【例2】(2024·甘孜州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象如图所示,给出下列 结论:①c<0;②->0;③当-1<x<3时,y<0.其中所有正确结论的序号是( )  A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ D 【跟踪训练】 1.(2024·湖北中考)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1,-2),抛物线与y轴的交点位于x轴 上方.以下结论正确的是( ) A.a<0 B.c<0 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 C 2.(2023·烟台中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(-,m),与x轴的一个交 点位于0和1之间,则以下结论:①abc>0;②2b+c>0;③若图象经过点(-3,y1),(3,y2),则 y1>y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0无实数根,则m<3.其中正确结论的 个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 考点3　确定二次函数解析式 【例3】已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(3,1),点B(0,4).求该二次函数的解析式. 【解析】把点A(3,1),点B(0,4)代入y=-x2+bx+c中得解得 ∴二次函数的解析式为:y=-x2+2x+4. 【跟踪训练】 1.(2023·上海中考)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左 侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是_______________________.  　y=-x2+1(答案不唯一)　 2.已知一个二次函数的图象过(-1,10),(1,4),(0,3),求这个二次函数的解析式. 【解析】设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 根据题意,得, 解得, ∴所求二次函数解析式为y=4x2-3x+3. 【名师点金】 求二次函数解析式时设法技巧 所给条件 解析式设法(a≠0) 顶点在原点 y=ax2 对称轴是y轴(或顶点在y轴上) y=ax2+c 顶点在x轴上 y=a(x-h)2 抛物线过原点 y=ax2+bx 已知顶点(h,k) y=a(x-h)2+k 1.(2023·贵州中考)已知,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,b)所在的象 限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 贵州3年真题 D 2.(2024·贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐 标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是( ) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时,y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 D 3.(2022·黔东南州中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数 y=ax+b与反比例函数y=-在同一坐标系内的大致图象为( ) C 4.(2022·遵义中考)新定义:我们把抛物线y=ax2+bx+c(其中ab≠0)与抛物线y=bx2+ ax+c称为“关联抛物线”.例如:抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1.已知抛物线C1:y=4ax2+ax+4a-3(a≠0)的“关联抛物线”为C2. (1)写出C2的解析式(用含a的式子表示)及顶点坐标; (2)若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于点M,N. ①当MN=6a时,求点P的坐标; ②当a-4≤x≤a-2时,C2的最大值与最小值的差为2a,求a的值. 【解析】(1)根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为y=ax2+4ax+4a-3, ∵y=ax2+4ax+4a-3=a(x+2)2-3, ∴C2的顶点坐标为(-2,-3); (2)①设点P的横坐标为m,∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于点M,N, ∴M(m,4am2+am+4a-3),N(m,am2+4am+4a-3), ∴MN=|4am2+am+4a-3-(am2+4am+4a-3)|=|3am2-3am|, ∵MN=6a,∴|3am2-3am|=6a, 解得m=-1或m=2,∴P(-1,0)或(2,0). ②∵C2的解析式为y=a(x+2)2-3, ∴当x=-2时,y=-3, 当x=a-4时,y=a(a-4+2)2-3=a(a-2)2-3, 当x=a-2时,y=a(a-2+2)2-3=a3-3, 根据题意可知,需要分三种情况讨论, Ⅰ、当a-4≤-2≤a-2时,0<a≤2, 且当0<a≤1时,函数的最大值为a(a-2)2-3,函数的最小值为-3,∴a(a-2)2-3-(-3)=2a,解得a=2-或a=2+(舍); 当1≤a≤2时,函数的最大值为a3-3,函数的最小值为-3,∴a3-3-(-3)=2a, 解得a=或a=-(舍); Ⅱ、当-2≤a-4≤a-2时,a≥2, 函数的最大值为a3-3,函数的最小值为a(a-2)2-3;∴a3-3-[a(a-2)2-3]=2a,解得a=(舍); Ⅲ、当a-4≤a-2≤-2时,a≤0,不符合题意,舍去.综上,a的值为2-或. $$